四川省成都市外国语学校2019届高三数学一诊模拟考试试题 理（含解析）

四川省成都外国语学校2019届高三一诊模拟考试数学（理）试题一、选择题.1.设全集，集合，，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】分析：化简集合，先求，再求.详解：，，，故选A.点睛：本题主要考查集合的交、并、补运算，属于送分题，解题时注意先将参与运算的集合化到最简形式，再按照要求进行运算.2.已知复数，（为虚数单位），若为纯虚数，则（）A.1B.C.2D.【答案】A【解析】【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用纯虚数得到答案．【详解】∵z1=2+ai（a∈R），z2=1﹣2i，∴，由为纯虚数，则，解得a=1，故选：A．【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了纯虚数的定义，是基础题．3.在等差数列中,，则（）A.5B.8C.10D.14【答案】B【解析】试题分析：设等差数列的公差为，由题设知，，所以，所以，故选B.考点：等差数列通项公式.4.“”是“直线的倾斜角大于”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】设直线的倾斜角为，则.若，得，可知倾斜角大于；由倾斜角大于得，或，即或，所以“”是“直线的倾斜角大于”的充分而不必要条件，故选A.5.已知，则（）A.1B.-1C.D.0【答案】D【解析】.故选D.6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由三视图可知：该几何体为一个半圆柱挖取一个倒立的四棱锥．【详解】解：由三视图可知：该几何体为一个半圆柱挖取一个倒立的四棱锥．∴该几何体的体积.故选：D．【点睛】本题考查了三棱台的三视图的有关知识、圆柱与四棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7.如图所示，在中，，点在线段上，设，，，则的最小值为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】用，表示，由，，三点共线得出，的关系，消去，得到关于的函数，利用导数求出的最小值．【详解】解：．∵，，三点共线，∴．即．由图可知．∴．令，得，令得或（舍）．当时，，当时，．∴当时，取得最小值.故选：D．【点睛】本题考查了平面向量的基本定理，函数的最值，属于中档题．8.已知函数，，的零点依次为，，，则以下排列正确的是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用数形结合，画出函数的图象，判断函数的零点的大小即可．【详解】函数，，的零点依次为，，，在坐标系中画出，，与的图象如图：可知，，，满足．故选：B．【点睛】本题考查了函数的零点的判定理，数形结合的应用，属于基础题.9.已知是定义域为的奇函数，满足．若，则（）A.50B.2C.0D.-2018【答案】B【解析】【分析】由题意可得，为周期为4的函数，分别求得一个周期内的函数值，计算可得所求和．【详解】解：是定义域为的奇函数，可得，即有，即，进而得到，为周期为4的函数，若，可得，，，则，可得.故选：B．【点睛】本题考查抽象函数的函数值的求和，注意运用函数的周期性，考查转化思想和运算能力，属于中档题．10.过双曲线：的右顶点作轴的垂线，与的一条渐近线相交于点．若以的右焦点为圆心、半径为4的圆经过，两点（为坐标原点），则双曲线的方程为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据圆的性质，求出圆心坐标，即求出的坐标，代入圆的方程进行求解即可．【详解】解：∵以的右焦点为圆心、半径为4的圆经过，两点（为坐标原点），∴半径，则圆的标准方程为，，，即，则，即，即，即，则，，则双曲线的方程为，故选：D．【点睛】本题主要考查双曲线方程的求解，根据圆的性质先求出半径是解决本题的关键．属于简单题.11.在正项等比数列中，，．则满足的最大正整数的值为（）A.10B.11C.12D.13【答案】C【解析】【分析】由，，结合等比数列的通项公式可求及，然后根据已知不等式及等比数列的求和公式可得关于的不等式，解不等式可求．【详解】解：∵正项等比数列中，，，∴.∵，解可得，或（舍），∴，∵，∴.整理可得，，∴，经检验满足题意，故选：C．【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式，等比数列的性质等知识的简单综合应用，属于中档试题．12.已知关于的不等式有且仅有两个正整数解（其中为自然对数的底数），则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】化简不等式可得mex＜，根据两函数的单调性得出正整数解为1和2，列出不等式组解出即可．【详解】当x＞0时，由x2﹣mxex﹣mex＞0，可得mex＜（x＞0），显然当m≤0时，不等式mex＜（x＞0），在（0，+∞）恒成立，不符合题意；当m＞0时，令f（x）=mex，则f（x）在（0，+∞）上单调递增，令g（x）=，则g′（x）==＞0，∴g（x）在（0，+∞）上单调递增，∵f（0）=m＞0，g（0）=0，且f（x）＜g（x）有两个正整数解，则∴，即，解得≤m＜．故选：D．【点睛】本题考查了不等式整数解问题，考查函数与方程思想，数形结合思想，属于中档题.二、填空题。13.在的二项展开式中，项的系数为.（结果用数值表示）．【答案】21.【解析】【分析】利用二项式展开式的通项公式求得展开式中x2的系数．【详解】二项式（1+x）7展开式的通项公式为Tr+1=•xr，令r=2，得展开式中x2的系数为=21．故答案为：21．【点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第r＋1项，再由特定项的特点求出r值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第r＋1项，由特定项得出r值，最后求出其参数.14.已知向量，夹角为，且，；则______．【答案】【解析】【分析】把已知式子两边平方，结合数量积的定义可得关于的一元二次方程，解方程可得．【详解】∵，∴==10，代入数据可得4×1+4×1××+=10，化简可得+﹣6=0，解得=，或﹣3（负数舍去）故答案为：【点睛】本题考查向量模长的求解，涉及数量积和向量的夹角，属基础题．15.公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出的值为_____．（参考数据：，）【答案】24【解析】【分析】列出循环过程中与的数值，满足判断框的条件即可结束循环．【详解】解：模拟执行程序，可得，，不满足条件，，，不满足条件，，，满足条件，退出循环，输出的值为24．故答案为：24．【点睛】本题考查循环框图的应用，考查了计算能力，注意判断框的条件的应用，属于基础题．16.如图，正方体的棱长为，动点在对角线上，过点作垂直于的平面，记这样得到的截面多边形（含三角形）的周长为，设，则当时，函数的值域为______．【答案】【解析】【分析】当时，截面多边形是六边形HIJKLM，利用相似比可知邻边长之和为定值即可得到结果.【详解】当时，截面多边形是六边形HIJKLM，设==λ，则==1﹣λ，∴HI+IJ=，∴截面六边形的周长为；故答案为：【点睛】本题考查了几何体中动点问题，截面周长问题,考查了空间想象力，属于中档题.三、解答题。17.如图，在中，边上的中线长为3，且，.（1）求的值；（2）求及外接圆的面积．【答案】(1)；(2)；.【解析】【分析】在中，由正弦定理可得；由题意结合两角和的余弦公式可得，在中，由余弦定理可得．结合正弦定理可知外接圆半径，外接圆面积.【详解】在中，，，，由正弦定理，得；，，，，，为BC中点，，在中，由余弦定理得：，．设外接圆的半径为R，，，外接圆的面积.【点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．18.已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查.（I）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？（II）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.（i）用X表示抽取的3人中睡眠不足．．的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望；（ii）设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率.【答案】（Ⅰ）从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．（Ⅱ）（i）答案见解析；（ii）．【解析】分析：（Ⅰ）由分层抽样的概念可知应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．（Ⅱ）（i）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3．且分布列为超几何分布，即P（X=k）=（k=0，1，2，3）．据此求解分布列即可，计算相应的数学期望为．（ii）由题意结合题意和互斥事件概率公式可得事件A发生的概率为．详解：（Ⅰ）由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．（Ⅱ）（i）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3．P（X=k）=（k=0，1，2，3）．所以，随机变量X的分布列为X0123P随机变量X的数学期望．（ii）设事件B为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人”；事件C为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人”，则A=B∪C，且B与C互斥，由（i）知，P(B)=P(X=2)，P(C)=P(X=1)，故P(A)=P(B∪C)=P(X=2)+P(X=1)=．所以，事件A发生的概率为．点睛：本题主要在考查超几何分布和分层抽样.超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．超几何分布的特征是：①考查对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体个数X的概率分布，超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型．进行分层抽样的相关计算时，常利用以下关系式巧解：(1)；(2)总体中某两层的个体数之比＝样本中这两层抽取的个体数之比．19.如图所示，在平行四边形中，，，，点是边的中点，将沿折起，使点到达点的位置，且.（1）求证：平面平面；（2）若平面和平面的交线为，求二面角的余弦值．【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】【分析】（1）先证明，可得平面，从而证得结果；（2）以E为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系.求出平面与平面的法向量，代入公式即可得到结果.【详解】解：（1）连接BE，在平行四边形中，∵，，∴，即，且.在中，得又因为，，∴，即.又∵平面，平面，且，∴平面又∵平面，∴平面⊥平面.（2）由（1）得两两垂直，故以E为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系.则，，，.∴，.可知是平面的一个法向量，设平面的一个法向量为，则，可取所以，即所求二面角的余弦值为【点睛】空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.20.已知椭圆：的左、右焦点分别是、，离心率，过点的直线交椭圆于、两点，的周长为16．（1）求椭圆的方程；（2）已知为原点，圆：与椭圆交于、两点，点为椭圆上一动点，若直线、与轴分别交于、两点，求证：为定值．【答案】(1)(2)见解析【解析】试题分析：（1）根据的周长为16，可得，再根据离心率，得出，从而可得椭圆的方程；（2）根据圆及椭圆的对称性可得，两点关于轴对称，设，，则，从而得出直线的方程，即可得到点的横坐标，同理可得点的横坐标，从而列出的表达式，化简求值即可得到定值.试题解析：（1）由题意得，则，由，解得，则，所以椭圆