四川省成都市实验外国语学校2019届高三数学10月月考试题 理（含解析）

四川省成都市实验外国语学校2019届高三10月月考数学（理）试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合1，2，，，则的元素个数为A.2B.3C.4D.8【答案】B【解析】【分析】由题意求出A∩B={0，1，2}，由此能求出A∩B的元素个数．【详解】∵集合A={0，1，2，3}，B={x∈N|0≤x≤2}，∴A∩B={0，1，2}，∴A∩B的元素个数为3．故选：B．【点睛】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．2.命题“若都是偶数,则是偶数”的逆否命题是（）A.若是偶数,则与不都是偶数B.若是偶数,则与都不是偶数C.若不是偶数,则与不都是偶数D.若不是偶数,则与都不是偶数【答案】C【解析】试题分析：命题的逆否命题是将条件和结论对换后分别否定，因此“若都是偶数，则也是偶数”的逆否命题是若不是偶数，则与不都是偶数考点：四种命题3.执行如图所示的程序框图输出的结果是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据程序框图循环结构运算，依次代入求解即可。【详解】根据程序框图和循环结构算法原理，计算过程如下：所以选A【点睛】本题考查了程序框图的基本结构和运算，主要是掌握循环结构在何时退出循环结构，属于基础题。4.已知，，那么为A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】将变为，利用两角差的正切公式，求得的值．【详解】，本题正确选项：【点睛】本题主要考查两角差的正切公式的应用，属于基础题．关键在于能够将所求角利用已知角表示出来，从而可以快速求解.5.设，则二项式展开式的常数项是A.160B.20C.D.【答案】D【解析】【分析】利用微积分基本定理求出，利用二项展开式的通项公式求出通项，令的指数等于，求出常数项．【详解】展开式的通项为令得故展开式的常数项是本题正确选项：【点睛】本题考查微积分基本定理、二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题，属于基础题．6.若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积等于A.24B.30C.10D.60【答案】A【解析】【分析】根据几何体的三视图得出该几何体是三棱柱去掉一个三棱锥所得的几何体，结合三视图的数据，求出它的体积．【详解】根据几何体的三视图，得该几何体是三棱柱截去一个三棱锥后所剩几何体几何体是底面为边长为的三角形，高为的三棱柱被平面截得的，如图所示：由题意：原三棱柱体积为：截掉的三棱锥体积为：所以该几何体的体积为：本题正确选项：【点睛】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．7.函数其中，的图象如图所示，为了得到的图象，则只要将的图象A.向左平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度D.向右平移个单位长度【答案】A【解析】由图象可知A＝1，，所以T＝π，又T＝＝π，所以ω＝2，即f(x)＝sin(2x＋φ)，又f＝sin＝sin＝－1，所以＋φ＝＋2kπ，k∈Z.即φ＝＋2kπ，k∈Z，又|φ|，所以φ＝，即f(x)＝sin.因为g(x)＝cos2x＝sin＝sin，所以直线将f(x)向左平移个单位长度即可得到g(x)的图象．8.与圆及圆都相外切的圆的圆心在()A.一个椭圆上B.一支双曲线上C.一条抛物线上D.一个圆上【答案】B【解析】试题分析：如图，圆化为，其圆心为；，半径为：；圆化为，其圆心为；，半径为：，设与它们都外切的圆的圆心为：，半径为：，则，所以点形成的双曲线的一支。故选B。考点：双曲线点评：本题由双曲线的定义：到两定点的距离之差的绝对值为一个常数的点形成的轨迹，可判断圆心为双曲线的一支。9.如图，在正方体中，，分别是为，的中点，则下列判断错误的是（）A.与垂直B.与垂直C.与平行D.与平行【答案】D【解析】分析：在正方体中，连接，可得，即可判定与不平行.详解：由题意，在正方体中，连接，在中，因为分别是的中点，所以，在面中，，所以与不平行，所以与平行是错误的，故选D.点睛：本题考查了空间几何体的线面位置关系的判定与证明，其中紧扣正方体的结构特征和熟记线面平行的判定与性质是解答的关键.10.设双曲线的一个焦点为，过作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，且与另一条渐近线交于点，若，则双曲线的离心率为A.B.2C.D.【答案】C【解析】分析：由可得，求得双曲线的渐近线方程，联立求得坐标，根据向量坐标运算，整理即可求得双曲线的离心率；详解：∵的一条渐近线为另一条渐近线为∵过其焦点的直线与垂直，∴的方程为∴由得垂足A的横坐标则进而可得：由由可得，故选C.点睛：本题考查双曲线的标准方程及简单几何性质，考查双曲线的离心率公式，考查计算能力，属于中档题.11.定义在上的函数满足：，且函数为奇函数给出以下3个命题：函数的周期是6；函数的图象关于点对称；函数的图象关于轴对称其中，真命题的个数是A.3B.2C.1D.0【答案】A【解析】【详解】由，知.所以，①正确；将的图像向左平移个单位，即为的图像，而的图像关于原点对称，所以，②正确；由②知，，则为偶函数，所以，③正确.12.设是函数的极值点，数列，若表示不超过x的最大整数，则=（）A.2017B.2018C.2019D.2020【答案】A【解析】由题意可得，∵是函数的极值点，∴，即．∴，∴，，，，，以上各式累加可得．∴．∴====．∴．选A．点睛：（1）已知数列的递推公式求通项时，要掌握由递推公式求通项公式的基本方法，即先对递推公式进行变形，然后利用转化与化归的思想解决递推数列问题．（2）数列求和时要根据通项公式的特点选择相应的求和方法，如通项为分式的形式时一般用裂项相消法求和等．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若复数满足是虚数单位，则的虚部为____．【答案】.【解析】分析：先求出复数z，再求复数z的虚部.详解：由题得所以复数z的虚部为-1.故答案为：-1点睛：（1）本题主要考查复数的运算及复数的虚部的概念，意在考查学生复数基础知识的掌握能力.(2)复数的虚部是b,不是bi,这一点要注意.14.麻团又叫煎堆，呈球形，华北地区称麻团，是一种古老的中华传统特色油炸面食，寓意团圆。制作时以糯米粉团炸起，加上芝麻而制成，有些包麻茸、豆沙等馅料，有些没有。一个长方体形状的纸盒中恰好放入4个球形的麻团，它们彼此相切，同时与长方体纸盒上下底和侧面均相切，其俯视图如图所示，若长方体纸盒的表面积为576，则一个麻团的体积为_______．【答案】【解析】分析：根据麻团与长方体纸盒上下底和侧面均相切，可知长方体纸盒的长宽相等：设球形半径r，可得长方体长宽a=4r，高为h=2r，长方体纸盒的表面积为576cm2，即32r2+32r2=576，即可求解r，可得一个麻团的体积．详解：根据麻团与长方体纸盒上下底和侧面均相切，可知长方体纸盒的长宽相等.设麻团球形半径r，可得长方体长宽a=4r，高为h=2r，长方体纸盒的表面积为576cm2，即32r2+32r2=576，解得：r2=9，即r=3，可得一个麻团的体积V==36π．故答案为：36π点睛：本题主要考查球的体积，考查几何体的内切球问题，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和空间观察想象能力.15.若满足不等式组，则目标函数的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】由约束条件作出可行域，利用目标函数的几何意义，即可行域内的动点与定点连线的斜率加得答案．【详解】由满足不等式组作出可行域如图：由题意可知：，，目标函数的几何意义为可行域内的动点与定点连线的斜率加，目标函数的取值范围是，即本题正确结果：【点睛】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，关键是能够明确目标函数的几何意义，是中档题．16.已知向量与的夹角为，，，，，在时取得最小值若，则夹角的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】由已知可得，，从而可得，结合二次函数的对称轴可求，可求得的范围，进而得到夹角的范围.【详解】，，，在时取得最小值解可得：则夹角的取值范围本题正确结果：【点睛】本题主要考查了平面向量数量积的运算性质的简单应用，二次函数的性质的应用，能够通过模长的平方将问题转化为与模长和夹角有关的二次函数问题是求解本题的关键.三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知公比为整数的正项等比数列满足：，．求数列的通项公式；令，求数列的前项和．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）设等比数列的公比为，由，，，化为：，由，可得：，联立解出即可；（2）由，利用错位相减法即可得出结果.【详解】（1）设等比数列的公比为由，，，化为：由，可得：联立化为：由，且为整数，可解得故数列的通项公式为：（2）由数列的前项和化为：【点睛】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.已知函数．（1）求函数的对称轴方程；（2）将函数的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的2倍，然后再向左平移个单位，得到函数的图象．若，，分别是△三个内角，，的对边，，，且，求的值．【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）先运用二倍角公式将转化为的形式后再令，解出x即为的对称轴方程；（2）由三角函数图像平移变换、伸缩变换的方法求出的解析式,再由求出角B后，应用余弦定理即可求出b值.试题解析：解：（Ⅰ）函数，令，解得，，所以函数f（x）的对称轴方程为，，．（Ⅱ）函数f（x）的图象各点纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象，再向左平移个单位，得到函数的图象，所以函数．又△ABC中，（B）=0，所以，又，所以，则．由余弦定理可知，，所以.19.在直角梯形中，，，，为的中点，如图将沿折到的位置，使，点在上，且，如图2．求证：平面；求二面角的正切值；在线段上是否存在点，使平面？若存在，确定的位置，若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）为的中点.【解析】【分析】（法一）（1）由题意可知，题图中，易证，由根据直线与平面垂直的判定定理可得平面；（2）三垂线法：由考虑在上取一点，使得，从而可得，所以平面，过作交于，连接，为二面角的平面角，在中求解即可；（3）取中点，所以，又由题意，从而可得，所以有平面.（法二：空间向量法）（1）同法一；（2）以为原点建立直角坐标系，易知平面的法向为，求平面的法向量，代入公式求解即可；（3）由平面，所以，利用向量数量积的坐标表示，可求出结果.【详解】（1）证明：在题图中，由题意可知，，为正方形所以在题图中，，，且四边形是边长为的正方形因为，，所以平面又平面，所以又，所以平面（2）在上取一点，使，连接因为，所以所以平面过作交于，连接则平面所以所以为二面角的平面角，在中，，，，即二面角的正切值为（3）当为中点时，平面理由如下：取的中点，连接交于连接，所以，又由题意平面，平面所以平面即当为的中点时，平面解法二：（1）同方法一（2）如图，以A为原点建立直角坐标系，，，，，易知平面的法向量为设平面的法向量为，且由，得：令，得：，；则所以所以即二面角的正切值为设存在，使得平面设所以，由平面所以，所以即，即为的中点【点睛】本题主要考查了空间直线与平面的位置关系：直线与平面平行及直线与平面平行的判定定理的运用，空间角中的二面角的平面角的作法及求解，利用向量的方法求解空间角的方法．20.以椭圆的离心率为，以其四个顶点为顶点的四边形的面积等于．1求椭圆的标准方程；2过原点且斜率不为0的直线与椭圆交于两点，是椭圆的右顶点，直线分别与轴交于点，问：以为直径的圆是否恒过轴上的定点？若恒过轴上的定点，请求出该定点的坐标；若不恒过轴上的定点，请说明理由．【答案】（1）；（2），．【解析】【分析】（1）由题意可得，从而解得椭圆的标准方程；（2）易知，设，，，从而可得，且，，，从而化简可得，，假设存在满足题意的轴上的定点，化简可得，再结合解得结果.【详解】（1）依题意，得，解得故椭圆的标准方程为（2），设，，则由题意，可得由椭圆对称性可知：，因为三点共线，所以，解得同理，可得假设存在满足题意的轴上的定点，则有，即因为，所以，即整理得，又解得或．故以为直