上海市浦东新区2017-2018学年高一数学上学期期末质量测试试题（含解析）

上海市浦东新区2017-2018学年高一数学上学期期末质量测试试题（含解析）一、填空题（本大题满分36分）本大题共有12题)1.函数的定义域是___________.【答案】【解析】【分析】根据偶次方根被开方数为非负数，列出不等式，解不等式求得函数的定义域.【详解】由于偶次方根被开方数为非负数，故，解得，故函数的定义域为.【点睛】本小题主要考查函数的定义域的求法.属于基础题.函数的定义域主要由以下方面考虑来求解：一个是分数的分母不能为零，二个是偶次方根的被开方数为非负数，第三是对数的真数要大于零，第四个是零次方的底数不能为零.对于含有多个以上情况的解析式，要求它们的交集来得到最终的结果.2.不等式的解集为______．【答案】（－2,1）【解析】．点睛：解分式不等式的方法是：移项，通分化不等式为，再转化为整式不等式，然后利用二次不等式或高次不等式的结论求解．3.已知指数函数（且）的图像过点，则实数___________.【答案】【解析】【分析】将点的坐标代入指数函数，解方程求得的值.【详解】将点代入指数函数得，，解得（负根舍去）.【点睛】本小题主要考查指数函数的解析式的求法，考查指数的运算，属于基础题.4.设集合、，若，则实数＝___________.【答案】【解析】【分析】根据真子集的知识，分别令和，解得的值后利用集合元素的互异性来排除错误的值，由此得出实数的值.【详解】由于集合是集合的子集，令时，或，当时集合中有两个，不符合题意，故舍去.当时，符合题意.令，解得，根据上面的分析，不符合题意.综上所述，故实数.【点睛】本小题主要考查真子集的概念，考查集合元素的互异性，属于基础题.5.某班共30人，其中有15人喜爱篮球运动，有10人喜爱兵乓球运动，有3人对篮球和兵乓球两种运动都喜爱，则该班对篮球和乒乓球运动都不喜爱的人数有___________.【答案】12【解析】试题分析：设两者都喜欢的人数为x人，则只喜爱篮球的有（15-x）人，只喜爱乒乓球的有（10-x）人，由此可得（15-x）+（10-x）+x+8=30，解得x=3，所以15-x=12，即所求人数为12人，故答案为：12．考点：交、并、补集的混合运算.6.已知，，则___________.【答案】【解析】【分析】分别求得函数和的定义域，取它们的交集，然后将两个函数相乘，化简后求得相应的解析式.【详解】对于函数，由解得；对于函数，同样由解得；故函数的定义域为，且.【点睛】本小题主要考查函数的定义域的求法，考查两个函数相乘后的解析式的求解方法.属于基础题.7.已知二次函数在区间上是增函数，则实数的范围是___________.【答案】【解析】试题分析：由于二次函数的单调递增区间为，则得.考点：二次函数的单调性.8.函数的定义域为R，则常数的取值范围是______________。【答案】【解析】因为函数的定义域为R，所以不等式恒成立。当时，不等式变为10,显然恒成立，所以符合题意；当时，，解得。所以。所以的取值范围是。【点睛】求函数的定义域，应使得函数解析式有意义。分母中根式的被开放式大于0，转化成不等式恒成立，二次项系数为字母，讨论是否为零，不为零时，结合二次函数图像来解。注意三个二次之间的关系。9.函数（）的值域是___________.【答案】【解析】【分析】将函数化简后，利用函数的单调性求得函数的值域.【详解】函数，下面求函数在的单调性.设，，其中.当时，故，函数递减.当时，，故，函数递增.所以函数在处取得最小值.所以函数的值域为.【点睛】本小题主要考查函数的值域，考查利用定义法求函数的单调区间，属于基础题.用定义法求函数的单调区间的方法如下：首先在定义域内任取两个，且，然后计算的值，如果，则函数在这个区间上为减函数；如果，则函数在这个区间上为增函数.10.函数()，若，则的值为___________.【答案】【解析】【分析】利用列方程，并化简，然后化简的表达式，进而计算出它的值.【详解】依题意，所以，而.【点睛】本小题主要考查求函数值的计算，考查运算求解能力，考查观察能力，属于基础题.11.已知是定义在上的奇函数，当时，则当时___________.【答案】【解析】【分析】当时，利用及求得函数的解析式.【详解】当时，，由于函数是奇函数，故.【点睛】本小题主要考查已知函数的奇偶性以及轴一侧的解析式，求另一侧的解析式，属于基础题.12.关于x的方程在上有两个不同的实数根，则实数a的取值范围是___________.【答案】【解析】【分析】令，两原方程转化为一元二次方程，根据方程根的个数列不等式，从而求得实数的取值范围.【详解】令则原方程化为，这个方程在的范围内有两个不同的实数根.故对称轴要大于，判别式要大于零，且将代入方程的左边所得的值应为非负数，即解得.【点睛】本小题主要考查指数函数二次函数结合一起的复合函数对应方程的根的分布问题，属于中档题.二、选择题（本大题满分12分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D13.下列四组函数中，表示为同一函数的是（）A.B.与C.D.【答案】A【解析】【分析】根据函数的定义域、对应法则和值域，对四个选项逐一进行判断，从而得出正确选项.【详解】对于选项，由于，故为相同的函数.对于选项，的定义域为，的定义域为，故两个函数不相等.对于选项，的定义域为，的定义域为，故两个函数不相等.对于选项，由求得的定义域为，由求得的定义域为，故两个函数不相等.综上所述，选A.【点睛】本小题主要考查两个函数相等的概念，两个函数相等，必须定义域、值域和对应法则都相等.14.“”是“”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充分必要条件D.既非充分又非必要条件【答案】B【解析】【分析】先求得的解集，再根据充分必要条件的概念来得出正确选项.【详解】由，得，解得.包含，故应选必要不充分条件.【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查充要条件的判断，属于基础题.充要条件的判断方法是将两个条件进行互推，然后根据能否推出来得出结论.另一种方法是根据两者之间的包含关系来得出：大范围是小范围的必要不充分条件，小范围是大范围的充分不必要条件.15.下列函数在其定义域上，既是奇函数又是减函数的是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先利用函数为奇函数对选项进行第一轮排除，再利用函数在定义域上为减函数进行排除，由此得出正确选项.【详解】对于A选项，由于函数的定义域为，所以函数是非奇非偶函数，排除.对于B选项，函数不是在定义域上递减，而是在定义域的每个区间上递减，排除.对于D选项，函数为递增函数，排除.C选项即是定义域上的奇函数，又是减函数，符合题意，故选C.【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性以及函数的单调性.属于基础题.奇偶函数的定义域必须关于原点对称.16.函数的零点个数为（）A.0B.1C.2D.无数【答案】C【解析】试题分析：原题等价于“函数与函数的图像交点个数为”在同一坐标系中作出两函数图像可知选C.考点：函数的零点.三、解答题（本大题满分52分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤.17.解不等式组【答案】.【解析】试题分析：本题是一到解不等式组的基础题，先求一元二次不等式的解，再求绝对值不等式的解，再求它们的交集.试题解析：解不等式得4分解不等式得7分所以不等式的解为8分.考点：不等式得解法.18.已知全集，设集合，集合，若，求实数a的取值范围.【答案】.【解析】试题分析：先解方程，的x=a,-4将a,与-4比较进行讨论，再利用得进行求解.试题解析：因为，又因为当时满足，此时当时若，则当时，满足，此时综合以上得：实数的取值范围,所以.考点：1.一元二次不等式的解法；2.集合的运算.19.已知幂函数（）在是单调减函数，且为偶函数.（1）求的解析式；（2）讨论的奇偶性，并说明理由.【答案】（1）；（2）答案见解析。【解析】【分析】（1）根据幂函数的性质，幂函数在（0，+∞）是单调减函数，且为偶函数，得幂指数小于0，再由m∈z可求m的值；（2）由（I）知F（x）=a•+（a﹣2）x，分a=0，a=2，a≠0且a≠2三种情况利用定义分别判断函数的奇偶性．【详解】(1)由于幂函数f(x)＝x在(0，＋∞)上单调递减，所以m2－2m－30，求得－1m3，因为m∈Z，所以m＝0,1,2.因为f(x)是偶函数，所以m＝1，故f(x)＝.(2)F(x)＝af(x)＋(a－2)x5·f(x)＝a·＋(a－2)x.当a＝0时，F(x)＝－2x，对于任意的x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)都有F(x)＝－F(－x)，所以F(x)＝－2x是奇函数；当a＝2时，，对于任意的x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)都有F(x)＝F(－x)，所以是偶函数；当a≠0且a≠2时，F(1)＝2a－2，F(－1)＝2，因为F(1)≠F(－1)，F(1)≠－F(－1)，所以是非奇非偶函数．【点睛】本题考查了幂函数的性质，考查了函数奇偶性的判定，数列掌握幂函数的性质是解题的关键．20.心理学家通过研究学生的学习行为发现；学生的接受能力与老师引入概念和描述问题所用的时间相关，教学开始时，学生的兴趣激增，学生的兴趣保持一段较理想的状态，随后学生的注意力开始分散，分析结果和实验表明，用表示学生掌握和接受概念的能力,x表示讲授概念的时间(单位:min)，可有以下的关系:（1）开讲后第5min与开讲后第20min比较,学生的接受能力何时更强一些?（2）开讲后多少min学生的接受能力最强?能维持多少时间?（3）若一个新数学概念需要55以上（包括55）的接受能力以及13min时间,那么老师能否在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这个概念?【答案】（1）开讲后第5min比开讲后第20min，学生接受能力强一些.；（2）6min;（3）详见解析.【解析】试题分析：第一步已知自变量值求函数值，比较后给出答案；第二步是二次函数求最值问题；第三步试题解析：（1），，则开讲后第5min比开讲后第20min，学生的接受能力更强一些.]（2）当时，，当时，开讲后10min（包括10分钟）学生的接受能力最强，能维持6min.（3）由当时，，得；当时，，得持续时间答：老师不能在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这个概念.考点：1.求函数值；2.配方法求二次函数的最值；3.分段函数解不等式.21.已知,函数.（1）当时，画出函数的大致图像；（2）当时，根据图像写出函数的单调减区间，并用定义证明你的结论；（3）试讨论关于x的方程解的个数.【答案】详见解析【解析】【分析】（1）当时，将函数化为，由此画出函数的图像.（2）根据（1）的图像写出函数的单调减区间，利用单调性的定义，通过计算，证得函数单调性.（3），由于，故函数图像与（1）中的图像类似.将方程解的个数问题转化为与图像的交点个数来解.将分成五种情况，讨论两个函数交点的个数.【详解】（1）如图所示（2）单调递减区间：证明：设任意的因为，所以于是，即所以函数在上是单调递减函数(3)由题意知方程的解得个数等价于函数的图像与直线的交点个数.即函数的图象与直线的交点个数又，注意到，当且仅当时，上式等号成立，借助图像知所以，当时，函数的图像与直线有1个交点；当，时，函数的图像与直线有2个交点；当，时，函数的图像与直线有3个交点；【点睛】本小题主要考查含有绝对值函数的图像与性质，考查函数的零点问题的解决策略，属于中档题.