上海市静安区2020届高三数学上学期第一次模拟考试试题

上海市静安区2020届高三数学上学期第一次模拟考试试题一、填空题：（本大题12小题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1.计算lim(10.9)nn_____.【答案】1【解析】lim(10.9)nn12.双曲线在单位圆中，60的圆心角所对的弧长为_____.【答案】3【解析】23lr3.若直线1l和直线2l的倾斜角分别为32和152则1l与2l的夹角为_____.【答案】60【解析】18015232604.若直线l的一个法向量为(2,1)n，则若直线l的斜率k_____.【答案】2【解析】(2,1)n，则单位向量(1,2)d，221k5.设某种细胞每隔一小时就会分裂一次，每隔细胞分裂为两个细胞，则7小时后，1个此种细胞将分裂为_____个.【答案】128【解析】7121286.设ABC是等腰直角三角形，斜边2AB,现将ABC（及其内部）绕斜边AB所在的直线旋转一周形成一个旋转体，则该旋转体的体积为_____.【答案】23【解析】22112(2)333r7.如图，在平行四边形ABCD中，2AB，1AD,则ACBD的值为_____.【答案】-3【解析】()()14-3ACBDABADADAB8.三倍角的正切公式为tan3_____.【答案】【解析】322tantantan313tan.9.设集合A共有6个元素，用这全部的6个元素组成的不同矩阵的个数为________.【答案】2880【解析】4种类型的矩阵6642880P10.现将函数sec,(0,)yxx的反函数定义为正反割函数，记为：secyarcx.则sec(4)arc________.（请保留两位小数）【答案】1.82【解析】cosy，(0,)x，故可知4cost，arccos(1.824t）.11.设双曲线222xyaa的两个焦点为2F、F，点P在双曲线上，若2PFPF，则点P到坐标原点O的距离的最小值为________.【答案】32【解析】22caa,12a时，可知min32c.12.设0,,0,0aaMN，我们可以证明对数的运算性质如下：loglogloglogaaaaMNMNaaaMN，①logloglogaaaMNMN.我们将①式称为证明的“关键步骤”.则证明loglograaMrM（其中0,MrR）的“关键步骤”为________.【答案】loglograaMrM【解析】,loglog()aaMrMrraaM,loglograaMrM.二、选择题13.“三个实数,,abc成等差数列”是“2bac”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】因为三个实数,,abc成等差数列”，所以2bac.14.设,xyR，若复数xiyi是纯虚数，则点(,)pxy一定满足（）A.yxB.yxC.yxD.yx【答案】B【解析】2221()()()()()()xxiyixyxyixyxyiyiyiyiyyy，并且1xyi为纯虚数，则0xy，1yx.15.若展开()(2)(3)(4)(5)aaaaa，则展开式中3a的系数等于()A.在2345，，，，中所有任取两个不同的数的乘积之和；B.在2345，，，，中所有任取三个不同的数的乘积之和；C.在2345，，，，中所有任取四个不同的数的乘积之和；D.以上结论都不对.【答案】A【解析】由二项式定理可知展开式中3a的系数等于在2345，，，，中所有任取两个不同的数的乘积之和.16.某人驾驶一艘小游艇位于湖面A处，测得岸边一座电视塔的塔底在北偏东2方向，且塔顶的仰角为8，此人驾驶游艇向正东方向行驶1000米后到达B处，此时测得塔底位于北偏西39方向，则该塔的高度约为（）A.265米B.279米C.292米D.306米【答案】C【解析】000sin5sin60cos69tan87292.728米.三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17.（本题满分12分，第1小题6分，第2小题8分）如图，在正六棱锥PABCDEF中，已知底边为2，侧棱与底面所成角为60.（1）求该六棱锥的体积V；（2）求证：PACE【答案】（1）12；（2）见解析.【解析】（1）连接BE、AD，设交点为O，连接POPABCDEF为正六棱锥ABCDEF为正六边形侧棱与底面所成角即PBO23PO1163231233VSh（2）PO面ABCDEF，CE面ABCDEFPOCE底面为正六边形AOCEAOPOOCE面PAOPA面PAOCEPA18.（本题满分14分，第1小题7分，第2小题7分）请解答以下问题，要求解决两个问题的方法不同.（1）如图1，要在一个半径为1米的半圆形铁板中截取一块面积最大的矩形ABCD，如何截取？并求出这个最大矩形的面积.（2）如图2，要在一个长半轴为2米，短半轴为1米的半个椭圆铁板中截取一块面积最大的矩形ABCD，如何截取？并求出这个最大矩形的面积.图1图2【答案】（1）1（2）2【解析】（1）设(01)OAxx，1OD21ADx221Sxx22211122xxxx当且仅当21xx，即22x时等号成立1212S（3）椭圆方程为221(01)4xyy设(2cos,sin)0,C22cossin2sin2S当且仅当sin1，即4时取得最大值面积最大值为2，此时2OB，22BC.19.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）设na是等差数列，公差为d，前n项和为nS.（1）设140a，638a，求nS的最大值.（2）设11a，*2()nanbnN，数列nb的前n项和为nT，且对任意的*nN，都有20nT，求d的取值范围.【答案】（1）2020（2）29-,log10【解析】（1）有等差数列可知，1(1)naand，由140a，638a可知d=2-5，由240(1)05nan可得，101n，所以当n=100或者n=101时取得最大值，由公式可知为2020.（2）设1(1)nadn，得122(2)naddnnb，可知nb为等比数列，对任意的*nN，都有20nT12lim201212nddbT恒成立且21dd29-,log1020.（本题满分18分，第1小题5分，第2小题6分，第3小题7分）已知抛物的准线方程为02yx.焦点为1,1F.（1）求证：抛物线上任意一点P的坐标yx,都满足方程：;088222yxyxyx（2）请支出抛物线的对称性和范围，并运用以上方程证明你的结论；（3）设垂直于x轴的直线与抛物线交于BA、两点，求线段AB的中点M的轨迹方程.【答案】（1）见解析（2）关于xy对称1,1-yx。（3）4xy（在抛物线内）【解析】（1）根据定义得：221122yxyx;088222yxyxyx啊（2）将yx,对称互换方程没有发生变化，若yxP,在图像上xyP,'也在图像上，所以图像关于xy对称，10088222yyyxyx，1x同（3）设2211,,,yxByxA，4,088222ttMyxyxyxtx所以中点的轨迹方程是4xy（在抛物线内）21.（本题满分18分，第1小题5分，第2小题6分，第3小题7分）现定义：设a是非零实常数，若对于任意的Dx，都有xafxaf，则称函数xfy为“关于的a偶型函数”（1）请以三角函数为例，写出一个“关于2的偶型函数”的解析式，并给予证明（2）设定义域为的“关于的a偶型函数”在区间a,-上单调递增，求证在区间,a上单调递减（3）设定义域为R的“关于21的偶型函数”xfy是奇函数，若*Nn，请猜测nf的值，并用数学归纳法证明你的结论【答案】（1）2cosxy答案不唯一（2）证明见解析（3）0nf【解析】（1）xfxfxxfxxfxy22cos2),cos()2(2cos，的（2）xfxafxafxaf2.任取axaxaaxx,22,,2121啊因为函数在a,-单调递增，所以212122xfxfxafxaf.所以函数在,a上单调递减（3）猜测xfy数学归纳法：1.当1n时102121ffxfxf因为xfy是奇函数，所以01f得证2.假设当*Nkkn，0kf成立，因为xfxfxfxf12121，又因为奇函数所以xfxfxfxf1，所以当*1Nkkn时，01kfkf，所以得证。