上海市进才中学2020届高三数学上学期期中试题（含解析）

上海市进才中学2020届高三数学上学期期中试题（含解析）一.填空题1.方程4220xx的解是【答案】0x【解析】【分析】利用换元法，结合指数方程和一元二次方程之间的关系进行求解即可．【详解】由4220xx得22220xx，设t＝2x，则t＞0，则方程等价为t2+t-2＝0，即（t+2）（t﹣1）＝0，解得t＝1，或t＝-2（舍）由2x＝1得x＝0，故答案为：0x．【点睛】本题主要考查指数的方程的求解，利用换元法将方程转化为一元二次方程是解决本题的关键，属于基础题．2.若集合{|20}Mxx，2{|5}Nxx，则MN________【答案】{5}【解析】【分析】求出集合M、N中x的取值，根据交集定义求解即可．【详解】∵{|20}{|2}Mxxxx，2{|5}{5,5}Nxx，∴M∩N＝{﹣5}．故答案为：{﹣5}【点睛】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．3.函数sincosyxx的最小正周期是______．【答案】p【解析】1sin22yx，周期2ππ2T.4.设函数2()log(1)fxx的反函数为1()fx，则1(3)f________【答案】7【解析】【分析】互为反函数的两个函数图象关于直线y＝x对称，若f（x）的图象上有（a，b）点，则（b，a）点一定在其反函数的图象上．【详解】令13fa则2()log(1)3faa，即321a，∴a＝7，故答案为：7【点睛】本题考查了互为反函数的两个函数图象的性质的应用，考查了指对互化的运算，属于基础题．5.函数f（x）=x+|x﹣2|的值域是．【答案】[2，+∞）【解析】试题分析：根据函数的解析式，去绝对值符号，根据函数的单调性求得函数的值域．解：因为当x∈（﹣∞，2]时，f（x）=2；当x∈（2，+∞）时，f（x）=2x﹣2＞2，故f（x）的值域是[2，+∞）．故答案为：[2，+∞）．考点：函数的值域．6.若3a，则13aa的最小值是.【答案】5【解析】试题分析：3a，111332335333aaaaaa，当且仅当133aa，即4a时取等号，13aa的最小值是5，考点：基本不等式7.设函数()fx是R上的奇函数，函数()gx是R上的偶函数，且对任意的xR，都有()()2xfxgx，于是22()()gxfx________【答案】1【解析】【分析】利用奇偶性列出关于(),()fxgx的方程组，再利用平方差公式直接得解.【详解】∵函数()fx是R上的奇函数，函数()gx是R上的偶函数，且对任意的xR，都有()()2xfxgx①，∴将x换为-x代入可得()()2xfxgx，即()()2xfxgx，与①相乘可得22()()gxfx22xx=1，故答案为：1【点睛】本题考查了奇偶性的应用，属于基础题.8.设正数x，y满足xyaxy恒成立，则a的最小值是______.【答案】2【解析】【分析】将原问题转化为求解xyxy的最大值的问题，然后利用均值不等式求得其最值即可确定实数a的最小值.【详解】由已知maxxyaxy≥，22xyxy≤，当且仅当xy时等号成立，2xyxy≤，2xyxy.max2xyxy，2a.【点睛】本题主要考查恒成立问题的处理方法，基本不等式求最值的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.9.若函数21yaxax的定义域为R，则a的取值范围为__________.【答案】04，【解析】由题意得210axax在R上恒成立．①当0a时，则10恒成立，∴0a符合题意；②当0a时，则2040aaa，解得04a．综上可得04a，∴实数a的取值范围为[0,4]．答案：[0,4]点睛：不等式20axbxc＋＋的解是全体实数(或恒成立)的条件是当0a＝时，0,0bc＝；当0a时，00a；不等式20axbxc＋＋的解是全体实数(或恒成立)的条件是当0a＝时，0,0bc＝；当0a时，00a．10.如图，由曲线()1sinfxkx（其中[0,2]xÎ，常数(0,1]k）、x轴、y轴及直线2x所围成图形（阴影部分）的面积等于________【答案】2【解析】【分析】利用正弦函数的对称性及周期性，直接计算即可．【详解】由()1sinfxkx可知曲线关于（,1）对称，且周期为2，故阴影部分的底面边长为2，且图中M与N的面积相等，利用割补法将M补到N中，则阴影部分的面积为212，故答案为：2【点睛】本题考查了割补法求面积，关键是利用正弦函数的对称性得到M与N的面积相等．11.若“ab”是“11ab”的必要非充分条件，则a、b满足的条件为________【答案】答案不唯一：0a【解析】【分析】根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．【详解】由题意可得11baabab，若11ab＜成立，则b﹣a与ab异号，即ba且ab0，或ba且ab0，若“ab”是“11ab”的必要非充分条件，则由11abab，但由ab¿11ab，∴a、b满足的条件可以为0a（也可以写0b），故答案为：0a．【点睛】本题主要考查不等式的性质以及充分条件和必要条件的应用，要求熟练掌握不等式的性质，比较基础．12.设函数()fx满足对任意xZ，都有()(1)(1)fxfxfx成立，(1)fa，(1)fb，则(2019)(2020)ff________【答案】2ab【解析】【分析】根据周期函数的定义推导f（x+T）＝f（x）即可．【详解】∵函数()fx满足()(1)(1)fxfxfx，∴(1)()(2)fxfxfx，两式相加得到0(1)(2)fxfx，即()(3)0fxfx，①∴f（x+3）+f（x+6）＝0，②由①②可得f（x）＝f（x+6）∴函数f（x）的一个周期T＝6，∴f（2019）＝f（6×336+3）＝f（3）＝-f（0），f（2020）＝f（6×336+4）＝f（4）＝-f（1）,又(0)(01)(01)(1)(1)fffffab，∴(2019)(2020)(0)(1)2ffffab故答案为：2ab．【点睛】本题主要考查函数周期的求解，根据条件推导f（x+T）＝f（x）的形式是解决本题的关键．二.选择题13.设{4,5,6}A，{1,2,3}B，则集合{|,,}CxxmnmAnB中的所有元素之和为（）A.15B.14C.27D.14【答案】A【解析】【分析】由C＝{x|x＝m﹣n，m∈A，n∈B}，A＝{4，5，6}，B＝{1，2，3}，先求出C，然后再求集合C中的所有元素之和．【详解】∵C＝{x|x＝m﹣n，m∈A，n∈B}，A＝{4，5，6}，B＝{1，2，3}，∴C＝{1，2，3，4，5}，∴集合C中的所有元素之和＝1+2+3+4+5＝15．故选：A．【点睛】本题考查元素与集合的关系的判断，解题时要认真审题，注意新定义的合理运用．14.设不等式20axbxc的解集为(2,3)，则不等式20cxbxa的解集为（）A.(2,3)B.(3,2)C.11(,)32D.11(,)23【答案】C【解析】【分析】根据一元二次不等式与对应方程的关系，利用根与系数的关系,求出b、c与a的关系，代入所求不等式，求出解集即可．【详解】一元二次不等式ax2+bx+c＞0的解集为（2，3），∴a＜0，且2，3是方程ax2+bx+c＝0的两个实数根，∴2323baca，解得b＝﹣5a，c＝6a，其中a＜0；∴不等式cx2+bx+a0化为6ax2﹣5ax+a0，即6x2﹣5x+1＜0，解得1132x＜＜，因此所求不等式的解集为（13，12）．故选：C．【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法以及一元二次方程的根与系数的关系，是基础题．15.将函数(24)yfx的图像上的所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，然后再将所得图像经过怎样的变换才能得到()yfx的图像（）A.向左平移4个单位B.向右平移4个单位C.向左平移2个单位D.向右平移2个单位【答案】B【解析】【分析】根据函数的图象的变化规律：先把函数(24)yfx变为(4)yfx，再根据平移规律得出结论．【详解】由于函数y＝f（2x+4）的图像上的所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到(4)yfx，故只需把函数(4)yfx的图象向右平移4个单位可得到函数y＝f（x）的图象，故选：B．【点睛】本题主要考查函数的图象的变化规律，熟练掌握伸缩变换及平移变换是关键，属于基础题．16.函数213()22fxxx是区间I上是增函数，且函数()fxyx在区间I上又是减函数，那么区间I可以是（）A.[1,)B.[3,)C.[1,3]D.[1,3]【答案】D【解析】【分析】由题意，求f（x）21322xx的增区间，再求y12fxxx﹣132x的减函数，从而求得结果．【详解】f（x）21322xx在区间[1，+∞）上是增函数，y12fxxx﹣132x，y′22213130222xxx，解得x[3，0）(0，3]；故y12fxxx﹣132x在[3，0）及(0，3]上是减函数，故区间I为[1，3]；故选：D．【点睛】本题考查了函数的性质应用，属于基础题．三.解答题17.记函数4()21xfxx定义域为A，3()log[(2)()]gxxmxm定义域为B.（1）求A；（2）若AB，求实数m的取值范围.【答案】（1）(1,2]A；（2）(,3](2,)U.【解析】【分析】（1）根据使函数解析式有意义的原则，构造关于x的不等式，解不等式可以求出x的取值范围，即集合A；（2）根据对数函数真数大于0的原则，我们可以求出集合B，进而根据A⊆B，构造关于m的不等式，解不等式即可求出实数m的取值范围．【详解】（1）41xx2≥0，得21xx0，﹣1＜x≤2，即A＝（﹣1，2].（2）由（x﹣m﹣2）（x﹣m）＞0，得B＝（﹣∞，m）∪（m+2，+∞），∵A⊆B∴m＞2或m+2≤﹣1，即m＞2或m≤﹣3故当B⊆A时，实数a的取值范围是（﹣∞，﹣3]∪（2，+∞）．【点睛】本题考查的知识点是函数定义域及其求法，集合关系中的参数取值问题，其中根据使函数解析式有意义的原则，构造不等式求出函数的定义域是解答本题的关键．18.举行动物运动会其中有小兔大兔接力赛跑一项，跑道从起点A经过点P再到终点B，其中10AP米，40PB米，规定小兔跑第一棒从A到P，大兔在P处接力完成跑第二棒从P到B，假定接力赛跑时小兔大兔的各自速度都是均匀的，且它们的速度之和为定值10米/秒，试问小兔和大兔应以怎样的速度接力赛跑，才能使接力赛成绩最好（所需时间最短），并求其最短时间.【答案】小兔和大兔应分别以103米/秒、203米/秒的速度接力赛跑，到达终点最快时间为9秒.【解析】【分析】设出小兔大兔的速度，构造基本不等式求解即可.【详解】设小兔和大兔应分别以x米/秒、y米/秒的速度接力赛跑，则由题意知x+y=10，问题相当于求解1040xy的最小值，1040xy=1040110xy（）（x+y）=1104011040505025491010yxyxxyxy（）（），当且仅当1040yxxy，即y=2x=203时等号成立，所以小兔和大兔应分别以103米/秒、203米/秒的速度接力赛跑，到达终点最快时间为9秒.【点睛】本题考查了基本不等式的实际应用，找准模型是