上海市金山区2019届高三数学下学期质量监控（二模）试题（含解析）

上海市金山区2019届高三二模数学试卷一.填空题。1.函数的定义域是________【答案】【解析】【分析】函数有意义即保证被开方的式子为非负。【详解】由可得.故答案为：【点睛】本题考查定义域的定义是保证函数有意义，凡是开偶次根，被开方的式子要求非负。2.函数的最小正周期是________【答案】【解析】【分析】利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式可得函数，根据最小正周期等于求出结果.【详解】∵函数∴函数的最小正周期为故答案为.【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式的应用，正弦函数的周期性及其求法，属于基础题．3.若关于、的线性方程组的增广矩阵为，该方程组的解为，则的值是________【答案】【解析】【分析】首先应理解方程增广矩阵的定义，由增广矩阵写出原二元线性方程组，根据方程的解x，y，最后求m+n的值．【详解】解由二元线性方程组的增广矩阵为，可得到二元线性方程组的表达式方程组的解为则则m+n的值为10故答案为：10【点睛】此题主要考查二元线性方程组的增广矩阵的涵义，计算量小，属于较容易的题型．4.二项式的展开式中含项的系数值是______【答案】【解析】【分析】先求得二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于3，求得r的值，即可求得含x3项的系数值．【详解】二项式（x+1）7的展开式的通项公式为Tr+1•x7﹣r，令7﹣r＝3，求得r＝4，可得展开式中含x3项的系数值为35，故答案为：35．【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．5.已知全集U=R，集合，则______【答案】【解析】试题分析：，所以．考点：集合的运算．6.若，，其中i为虚数单位，且R，则______【答案】【解析】【分析】根据复数的运算法则结合复数为实数求出a的值，结合复数模长的公式进行计算即可．【详解】a+i，则z1•（1+i）（a+i）＝a﹣1+（a+1）i，若R，则a+1＝0，即a＝﹣1，则z2＝a﹣i＝﹣1﹣i，则|z2|，故答案为：【点睛】本题主要考查复数模长的计算，结合复数的运算法则进行化简是解决本题的关键．7.方程（t为参数，tR）所对应曲线的普通方程为______【答案】【解析】【分析】由方程消去参数t可得y＝3﹣（x﹣1），再化简可得．【详解】解：由方程消去参数t可得y＝3﹣（x﹣1）2，化简得y＝﹣x2+2x+2，故答案为：y＝﹣x2+2x+2．【点睛】本题考查了参数方程化成普通方程，属基础题．8.在Rt△ABC中，，，则______【答案】【解析】【分析】本题是一个求向量的数量积的问题，解题的主要依据是直角三角形中的垂直关系和一条边的长度，解题过程中有一个技巧性很强的地方，就是把变化为两个向量的和，再进行数量积的运算．【详解】∵∠C＝90°，∴0，∴（）42＝16故答案为：16【点睛】启发学生在理解数量积的运算特点的基础上，逐步把握数量积的运算律，引导学生注意数量积性质的相关问题的特点，以熟练地应用数量积的性质．9.若生产某种零件需要经过两道工序，在第一、二道工序中生产出废品的概率分别为0.01、0.02，每道工序生产废品相互独立，则经过两道工序后得到的零件不是废品的概率是________（结果用小数表示）【答案】【解析】【分析】利用对立事件概率计算公式和相互独立事件概率乘法公式能求出经过两道工序后得到的零件不是废品的概率．【详解】生产某种零件需要经过两道工序，在第一、二道工序中生产出废品的概率分别0.01、0.02，每道工序生产废品相互独立，则经过两道工序后得到的零件不是废品的概率：p＝（1﹣0.01）（1﹣0.02）＝0.9702．故答案为：0.9702．【点睛】本题考查概率的求法，考查对立事件概率计算公式和相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．10.已知函数和的定义域都是，则它们的图像围成的区域面积是________【答案】【解析】【详解】将的图象补充为完整的圆，则由中心对称性易知答案是圆面积的一半，为.故答案为：11.若集合Z中有且只有一个元素，则正实数的取值范围是________【答案】【解析】【分析】由f（x）＝x2﹣（a+2）x+2﹣a＜0可得x2﹣2x+1＜a（x+1）﹣1，即直线在二次函数图像的上方的点只有一个整数1，则满足题意，结合图象即可求出．【详解】f（x）＝x2﹣（a+2）x+2﹣a＜0，即x2﹣2x+1＜a（x+1）﹣1，分别令y＝x2﹣2x+1，y＝a（x+1）﹣1，易知过定点（﹣1，﹣1），分别画出函数的图象，如图所示：∵集合A＝{x∈Z|f（x）＜0}中有且只有一个元素，即点（0，0）和点（2,1）在直线上或者其直线上方，点（1,0）在直线下方，结合图象可得∴，解得a故答案为：（，]【点睛】本题考查了二次函数的性质以及参数的取值范围，考查了转化思想和数形结合的思想，属于中档题12.正方形ABCD的边长为2，对角线AC、BD相交于点O，动点P满足，若，其中m、nR，则的最大值是________【答案】【解析】【分析】建立合适的直角坐标系写出坐标表示，，又，所以，则，其几何意义为过点E（﹣3，﹣2）与点P（sinθ，cosθ）的直线的斜率，由点到直线的距离得：设直线方程为y+2k（x+3），点P的轨迹方程为x2+y2＝1，由点到直线的距离有：，可得解。【详解】建立如图所示的直角坐标系，则A（﹣1，﹣1），B（1，﹣1），D（﹣1，1），P（，），所以（1，sinθ+1），（2，0），（0，2），又，所以，则，其几何意义为过点E（﹣3，﹣2）与点P（sinθ，cosθ）的直线的斜率，设直线方程为y+2k（x+3），点P的轨迹方程为x2+y2＝1，由直线与圆的位置关系有：，解得：，即的最大值是1，故答案为：1【点睛】本题考查了平面向量的坐标运算、直线与圆的位置关系及点到直线的距离，属难度较大的题型。二.选择题。13.在长方体中，下列计算结果一定不等于0的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】以D为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，根据向量的运算和向量的数量积的关系即可判断【详解】如图，以D为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设长方体的长宽高分别为a，b，c则A（a，0，0），B（a，b，0），C（0，b，0），D（0，0，0），B1（a，b，c），C1（0，b，c），D1（0，0，c），∴（﹣a，0，c），（﹣a，0，﹣c），（﹣a，﹣b，c），（﹣a，b，0），（0，b，0），（﹣a，0，0），∴•a2﹣c2，当a＝c时，•0，•a2﹣b2，当a＝b时，•0，•0，•a2≠0，故选：D．【点睛】本题考查了向量的数量积，建立坐标系是关键，属于基础题。14.在我国南北朝时期，数学家祖暅在实践的基础上提出了体积计算的原理：“幂势既同，则积不容异”．其意思是，用一组平行平面截两个几何体，若在任意等高处的截面面积都对应相等，则两个几何体的体积必然相等．根据祖暅原理，“两几何体A、B的体积不相等”是“A、B在等高处的截面面积不恒相等”的（）条件A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要【答案】A【解析】【分析】先阅读题意，再由原命题与其逆否命题的真假及充分必要条件可得解【详解】由已知有”在任意等高处的截面面积都对应相等”是“两个几何体的体积必然相等“的充分条件不必要条件，结合原命题与其逆否命题的真假可得：“两几何体A、B的体积不相等”是“A、B在等高处的截面面积不恒相等”的充分不必要条件，故选：A．【点睛】本题考查了阅读能力、原命题与其逆否命题的真假及充分必要条件，属中档题。15.设、是双曲线：的两个焦点，是上一点，若，是△的最小内角，且，则双曲线的渐近线方程是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】设|PF1|＞|PF2|，由已知条件求出|PF1|＝4a，|PF2|＝2a，e，进而求出b，由此能求出双曲线C：1的渐近线方程．【详解】设|PF1|＞|PF2|，则|PF1|﹣|PF2|＝2a，又|PF1|+|PF2|＝6a，解得|PF1|＝4a，|PF2|＝2a．则∠PF1F2是△PF1F2的最小内角为30°，∴|PF2|2＝|PF1||2+|F1F2|2﹣2|PF1||•|F1F2|cos30°，∴（2a）2＝（4a）2+（2c）2﹣2×4a×2c，同时除以a2，化简e2﹣2e+3＝0，解得e，∴c，∴b，∴双曲线C：1的渐近线方程为y±，即0．故选：B．【点睛】本题考查双曲线的渐近线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，要熟练掌握双曲线的简单性质16.若实数、满足，则的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，利用的几何意义即可求出的取值范围．【详解】作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）：则，的几何意义为阴影部分的动点（a，b）到定点原点连线的斜率的取值范围．由图象可知当点位于B时，直线的斜率最大，当点位于A时，直线的斜率最小，由，解得B（，），∴BO的斜率k＝3，由可得A（1，1），OA的斜率k＝1，∴1≤≤3，则（k）2∈．故选：D．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义是解决本题的关键，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法．三.解答题。17.已知△中，，，.求：（1）角的大小；（2）△ABC中最小边的边长.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由内角和定理，以及诱导公式化简tanC，将tanA与tanB代入值代入求出tanC的值，即可确定出C的度数；（2）由tanA与tanB的大小判断出BC为最小边，由tanA的值，利用同角三角函数间基本关系求出sinA的值，利用正弦定理求出BC的长．【详解】解：(1)=–=–，所以，(2)因为，所以最小角为又因为，所以，，又，所以．【点睛】此题考查了正弦定理，同角三角函数间的基本关系，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．18.如图，已知点P在圆柱的底面圆O上，AB为圆O的直径，圆柱的侧面积为，，.（1）求三棱锥的体积；（2）求直线与底面所成角的大小.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据侧面积公式计算圆柱的高，在底面中，根据等腰三角形知识求出AP，BP，带入棱锥的体积公式计算体积；（2）在Rt△AA1P中计算∠A1PA．【详解】解：(1)由题意，，解得，在△AOP中，，，所以，在△BOP中，，，所以，；(2)因为⊥底面，所以是直线与底面所成的角，在Rt△中，，即直线与底面所成角的大小为．【点睛】本题考查了棱锥的体积计算，直线与平面所成角的计算，属于中档题．19.从金山区走出去的陈驰博士，在《自然—可持续性》杂志上发表的论文中指出：地球正在变绿，中国通过植树造林和提高农业效率，在其中起到了主导地位．已知某种树木的高度(单位：米)与生长年限（单位：年，tN*）满足如下的逻辑斯蒂函数：，其中e为自然对数的底数.设该树栽下的时刻为0.（1）需要经过多少年，该树的高度才能超过5米？（精确到个位）（2）在第几年内，该树长高最快？【答案】（1）8年（2）第四年内或第五年内【解析】【分析】（1）解不等式f（t）5，即可（2）利用作差法求出f（t）﹣f（t﹣1）的表达式，判断函数的单调性和最值即可．【详解】解：(1)令5，解得，即需要经过8年，该树的高度才能超过5米；(2)当N*时，设，则，.令，则.上式当且仅当时，取得最大值此时，，即，解得.由于要求为正整数，故树木长高最快的可能值为4或5，又，，所以，该树在第四年内或第五年内长高最快．【点睛】本题主要考查函数的应用问题，利用作差法判断函数的最值是解决本题的关键．考查学生的计算能力．20.已知椭圆：，过点的直线：与椭圆交于M、N两点（M点在N点的上方），与轴交于点E.（1）当且时，求点M、N的坐标；（2）当时，设，，求证：为定值，并求出该值；（3）当时，点D和点F关于坐标原点对称，若△MNF的内切