上海市交通大学附属中学2019-2020学年高二数学上学期期中试题（含解析）

上海市交通大学附属中学2019-2020学年高二数学上学期期中试题（含解析）一.填空题1.若(2,1)nr是直线l的一个法向量，则l的倾斜角的大小为________（结果用反三角函数值表示）【答案】arctan2【解析】【分析】根据直线的法向量求出直线的一个方向向量，从而得到直线的斜率，根据tank，即可求解直线的倾斜角。【详解】由(2,1)nr是直线l的一个法向量，所以可知直线l的一个方向向量为(1,2)，直线l的倾斜角为，可得tan2k，所以直线的倾斜角为tan2arc。故答案为：tan2arc。【点睛】本题主要考查了直线的方向向量，以及直线的斜率与倾斜角的应用，其中解答中根据直线的方向向量求得直线的斜率是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题。2.直角坐标平面xOy中，若定点(1,2)A与动点(,)Pxy满足4OPOA，则点P的轨迹方程是________【答案】24xy【解析】【分析】设点(,)Pxy，则(,)OPxy，由(1,2)A，所以(1,2)OA，代入4OPOA，即可求解。【详解】设点(,)Pxy，则(,)OPxy，可得(1,2)OA，因为4OPOA，所以(,)(1,2)24xyOPOAxy，即24xy，所以点的轨迹方程为24xy。故答案为：24xy。【点睛】本题主要考查了向量的数量积的运算，以及轨迹方程的求解，其中解答中熟练应用向量的数量积的运算公式，准确计算即可求解，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。3.已知圆22440xxy的圆心是点P，则点P到直线10xy的距离是．【答案】22【解析】试题分析：圆的标准方程为：2228xy，圆心P点的坐标为：2,0，所以点P到直线10xy的距离22201122211d考点：1、圆的标准方程；2、点到直线的距离公式.4.若向量a、b满足a＝1，b＝2，且a与b的夹角为3，则ab＝_________.【答案】7【解析】【分析】由1,2,,abab夹角为3，利用平面向量数量积公式，求得ab平方的值，从而可得结果.【详解】1,2,,abab夹角为3，所以2222ababab142cos3ab152125272所以7ab，故答案为7..5.三阶行列式42354112k第2行第1列元素的代数余子式的值为10，则k________.【答案】14【解析】【分析】根据余子式的概念，在行列式中划去第2行第1列后，所余下的2阶行列式带上符号21(1)，即为所需代数余子式，由题意列出方程求解，即可得出结果.【详解】由题意，可得：三阶行列式42354112k第2行第1列元素的代数余子式为212(1)22141012kkk，解得14k.故答案为：14【点睛】本题主要考查已知行列式的代数余子式求参数的问题，熟记概念即可求解，属于常考题型.6.点(3,4)P关于直线1xy的对称点的坐标是_____．【答案】(5,2)【解析】【分析】设对称点坐标，利用两点连线与直线垂直、两点的中点在直线上可构造方程求得结果.【详解】设3,4P关于直线1xy的对称点坐标为,Pmn411334122nmmn，解得：52mn5,2P本题正确结果：5,2【点睛】本题考查点关于直线的对称点的求解问题，常用方法是采用待定系数法，利用两点连线与对称轴垂直且中点在对称轴上可构造方程组求得结果.7.己知两点(3,2)A，(1,5)B，直线l：1ykx与线段AB有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围________【答案】[,arctan6]4【解析】【分析】由直线l恒经过定点(0,1)P，由直线的斜率公式，求得1,6PAPBkk，再由倾斜角和斜率的关系，即可求解。【详解】由题意，直线1ykx恒经过定点(0,1)P，由直线的斜率公式，可得2(1)5(1)1,63010PAPBkk，要使直线:1lykx与线段AB有公共点，则满足1k³或6k，又由tank，且[0,)，所以arctan64。故答案为：[,arctan6]4【点睛】本题主要考查了直线的斜率公式，以及直线的倾斜角与斜率的关系的应用，着重考查了数形结合思想，以及推理与计算能力，属于基础题。8.已知点10,2A，5,7B．若在x轴上存在一点P，使PAPB最小，则点P的坐标为________．【答案】12,0【解析】【分析】求出点A关于x轴的对称点A′，连接A′B与x轴交于点P，则P点即为所求【详解】∵A（10，-2），∴点A关于x轴的对称点A′（10，2），设直线A′B的解析式为y＝kx+b，∴75210kbkb，解得k1，b12，∴直线A′B的解析式为yx12，令y＝0，解得，x12，∴P（12，0）．故答案为：（12，0）．【点睛】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，熟知“两点之间，线段最短”是解答此题的关键．9.若圆2220)xyRR（和曲线||||134xy恰有六个公共点，则R的值是________【答案】3【解析】【分析】作出圆222(0)xyRR和曲线||||134xy图象，结合图象，即可求解。【详解】由题意，圆222(0)xyRR和曲线||||134xy恰由六个公共点，作出图象，如图所示，此时3R，故答案为：3。【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，其中解答中在同一坐标系中作出图象，结合图象求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于中档试题。10.给出以下关于线性方程组解的个数的命题．111222axbycaxbyc①，111122223333axbyczdaxbyczdaxbyczd②，11112222axbyczdaxbyczd③，111222333axbycaxbycaxbyc④，（1）方程组①可能有无穷多组解；（2）方程组②可能有且只有两组不同的解；（3）方程组③可能有且只有唯一一组解；（4）方程组④可能有且只有唯一一组解．其中真命题的序号为________________．【答案】①④【解析】【分析】将①④的解看作平面上直线交点，将②③的解看作空间平面相交，由此判断出正确命题的序号.【详解】将①④的解看作平面上直线交点，将②③的解看作空间平面相交.对于①，当平面两条直线重合时，方程组①有有无穷多组解，①正确；对于②，空间三个平面相交，如果有两组不同的解，则三个平面必有一条公共直线，即方程组②的解有无数个，故②错误.对于③，空间两个平面相交，则两个平面有一条公共直线，即方程组③的解有无数个，故③错误.对于④，当平面三条直线相交于一点时，方程组④有且只有唯一一组解，正确.故真命题的序号为：①④.故答案为：①④.【点睛】本小题主要考查线性方程组解的个数问题，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.11.如图，边长为4的正方形ABCD中，半径为1的动圆Q的圆心Q在边CD和DA上移动（包含端点A,C,D），P是圆Q上及其内部的动点，设，,BPmBCnBAmnR则mn的取值范围是_____________.【答案】221-2+44，【解析】【分析】建立如图所示平面直角坐标系，可得0,4BA,BC＝（4，0），4,00,44,4BPmnmn.由图可知，当动圆Q的圆心经过点D时，P22(4,4)22.此时m+n取得最大值：4m+4n＝8+2，可得m+n＝2+24．当动圆Q的圆心为点C或点A时，利用三角函数求m+n的最小值．【详解】解：如图所示，边长为4的长方形ABCD中，动圆Q的半径为1，圆心Q在边CD和DA上移动（包含端点A，C，D），P是圆Q上及内部的动点，向量BPmBCnBA（m，n为实数），BA=（0，4），BC＝（4，0），可得BP＝（4m，4n）．当动圆Q的圆心经过点D时，如图：P22(4,4)22.此时m+n取得最大值：4m+4n＝8+2，可得m+n＝2+24．当动圆Q的圆心为点C时，BP与⊙C相切且点P在x轴的下方时，BP＝（4+cosθ，sinθ），此时，4m+4n＝4﹣2sin（θ+4），m+n取得最小值为：1﹣24，此时P（4﹣22，﹣22）．同理可得，当动圆Q的圆心为点A时，BP与⊙A相切且点P在y轴的左方时，m+n取得最小值为：1﹣24，此时P（-22，4﹣22）．∴则m+n的取值范围为221,244故答案为：221,244.【点睛】本题考查了向量的坐标运算、点与圆的位置关系，考查了分类讨论思想方法，考查了推理能力与计算能力．12.若实数1x、2x、1y、2y，满足22111xy，22221xy，121212xxyy，则1122|1||1|xyxy的最大值为________【答案】26【解析】【分析】设11221122(,),(,),(,),(,)AxyBxyOAxyOBxy，,AB两点在圆221xy上，1AB，可得,AB到直线10xy的距离1122121122xyxydd，由此利用两平行线的距离，即可求解1122|1||1|xyxy的最大值。【详解】设11221122(,),(,),(,),(,)AxyBxyOAxyOBxy,因为实数22221212112212121,,,1,1,2xxyyxyxyxxyy，，所以,AB两点在圆221xy上，且111cos2OAOBAOB,所以60AOB，所以AOB是等边三角形，1AB，点A到直线10xy的距离为11112xyd，点B到直线10xy的距离为22112xyd，,AB在第三象限，AB所在直线与直线10xy平行，可设:0,(0)ABxytt，由圆心O到直线AB的距离为12td，可得22112t，解得62t，即有两平行线之间的距离为6123222，所以112212112322xyxydd，所以1122|1||1|26xyxy，所以1122|1||1|xyxy的最大值为26。故答案为：26。【点睛】本题主要考查了代数式的最大值的求法，以及圆的性质和点到直线的距离公式等知识的综合应用，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题。二.选择题13.下列等式中不恒成立的是（）A.abbarrrrB.()ababrrrrC.222()ababD.22||||()()abababrrrrrr【答案】C【解析】【分析】根据向量的数量积的运算公式和向量的运算律，准确化简，即可求解。【详解】由题意，根据向量的数量积的运算公式，可得cos,,cos,abababbababarrrrrrrrrrrr，所以abbarrrr是正确；根据向量的数量积的运算律，可得()ababrrrr是正确；由向量的数量积的运算公式，可得22222222()cos,,ababababab，所以不恒成立；由2222()()||||ababababrrrrrrrr，所以是正确的。故选：C。【点睛】本题主要考查了向量的数量积的运算公式及其运算律的应用，其中解答中熟记向量的数量积的运算公式和运算律是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。14.方程223820xxyy所表示的曲线的对称性是（）A.关于x轴对称B.关于y轴对称C.关于yx轴对称D.关于原点对称【答案】D【解析】