上海市建平中学2020届高三数学上学期期中试题（含解析）

上海市建平中学2020届高三数学上学期期中试题（含解析）一.填空题1.设函数2()1fxx的定义域是A，R为全体实数集，则RCA________【答案】{|11}xx【解析】【分析】被开方数需大于等于0求得集合A，再求ARð.【详解】由题意得：2{|10}{|1Axxxx或1}x，因为R为全体实数集，所以{|11}AxxRð.故答案为：{|11}xx.【点睛】本题考查函数定义域的求法、集合间的补集运算，考查对定义域概念的理解和基本的运算求解能力.2.若复数1z，2z满足112iz，234iz（i是虚数单位），则12||zz________【答案】55【解析】【分析】先要据复数相乘得到12510izz，再利用复数求模的公式，即得答案.【详解】因为12(12i)(34i)510izz，所以22125||(55)10zz.故答案为：55.【点睛】本题考查复数相乘、复数模的计算，考查基本运算求解能力.3.在二项式531(3)xx的展开式中，展开式的系数和为________【答案】32【解析】【分析】利用赋值法令1x即可得到展开式各项的系数和.【详解】由二项式531(3)xx的展开式知，展开式的系数和是由展开式的各项的系数相加，所以1x得：展开式的系数和为5(31)32.故答案为：32.【点睛】本题考查二项展开式各项系数和的计算，求解过程中要学会用赋值法进行求解，考查对展开式各项系数的理解和基本的运算求解能力.4.双曲线22221xyab的一个焦点是(5,0)，一条渐近线是340yx，那么双曲线的方程是________【答案】221916xy【解析】【分析】由双曲线的焦点坐标得c，再由渐近线方程得ba，结合222cab，从而求得,ab，进而求得双曲线的方程.【详解】因为双曲线的焦点是(5,0)，所以5c，因为渐近线是340yx，所以43ba，又222cab，所以3,4ab，所以双曲线的方程是221916xy.故答案为：221916xy.【点睛】本题考查利用待定系数法求双曲线方程，考查焦点坐标、渐近线方程的概念，考查基本运算求解能力，注意222cab而不能记成222abc.5.若nS是等差数列{}na的前n项和，11a，4d，则2lim1nnSn________【答案】2【解析】【分析】利用等差数列的前n项和公式求得nS，再代入极限式子中，分子分母同时除以2n，进而计算求得答案.【详解】因为21(1(14222nSnnnnnandnn）），所以2222122limlimlim21111nnnnSnnnnnn.故答案为：2.【点睛】本题考查等差数列求和、数列极限，考查数列中的基本量法求和，考查基本的运算求解能力.6.已知函数34()log(2)fxx，则方程1()4fx的解x________【答案】1【解析】【分析】根据互为反函数的两个函数间的关系知，欲求满足1()4fx的x值，即求(4)f的值．【详解】由题意得x值即为(4)f的值，因为34()log(2)fxx，所以34(4)log(2)14f，所以1x.故答案为：1x.【点睛】本题考查原函数与反函数之间的关系，即原函数过点(,)xy，则反函数过点(,)yx，考查对概念的理解和基本运算求解能力.7.行列式sin4cos35xx的最大值为________【答案】13【解析】【分析】由行列式计算结合辅助角公式得13sin()x，再由三角函数的值域，求得行列式的最大值.【详解】因为sin4cos5sin12cos13sin()1335xxxxx，其中12tan5，所以sin4cos35xx的最大值为13.故答案为：13.【点睛】本题考查行列式的计算、辅助角公式的运用及三角函数的最值，考查逻辑推理和运算求解能力.8.如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为________．【答案】43【解析】分析：先分析组合体的构成，再确定锥体的高，最后利用锥体体积公式求结果.详解：由图可知，该多面体为两个全等正四棱锥的组合体，正四棱锥的高为1，底面正方形的边长等于2，，所以该多面体的体积为21421(2).33点睛：解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断；求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决．9.某学生选择物理、化学、地理三门学科参加等级考，已知每门学科考A得70分，考A得67分，考B得64分，该生每门学科均不低于64分，则其总分至少为207分的概率为________【答案】427【解析】【分析】先求出基本事件总数33327n，其总分至少为207分包含的基本事件个数3213314mCCC，由此能求出其总分至少为207分的概率．【详解】某学生选择物理、化学、地理这三门学科参加等级考，每门学科考A得70分，考A得67分，考B得64分，该生每门学科均不低于64分，基本事件总数33327n，其总分至少为207分包含的基本事件个数：3213314mCCC，则其总分至少为207分的概率427mpn．故答案为：427．【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．10.已知数列{}na中，其中199199a，11()annaa，那么99100loga________【答案】1【解析】【分析】由已知数列递推式可得数列99{log}na是以199991991log9999loga为首项，以19999为公比的等比数列，然后利用等比数列的通项公式求解．【详解】由11()annaa，得991991loglognnaaa，199991991l9oglog9nnaaa，则数列99{log}na是以199991991log9999loga为首项，以19999为公比的等比数列，19999991001log(99)199a．故答案为：1．【点睛】本题考查数列的递推关系、等比数列通项公式，考查运算求解能力，特别是对复杂式子的理解．11.已知a、b、2c是平面内三个单位向量，若ab，则|4|2|32|acabcrrrrr的最小值是________【答案】45【解析】【分析】设2(,)cexyrr，(1,0)a，(0,1)br，将问题转化为求|2||64|aeaberrrrr的最小值，再证明|2||2|aeaerrrr，从而将原问题转化为求|2||64|aeaberrrrr的最小值.【详解】令2cerr，设(1,0)a，(0,1)br，e对应的点C在单位圆上，所以问题转化为求|2||64|aeaberrrrr的最小值.因为2222(2)(2)330aeaeearrrrrr，所以|2||2|aeaerrrr，所以2222|64|()|(22)6(4)|aeyabexxyrrrrr，表示C点到点(2,0)和(6,4)的距离之和，过点(2,0)和(6,4)的直线为220xy-+=，原点到直线220xy-+=的距离为211(2)225，所以与单位圆相交，所以|2||64|aeaberrrrr的最小值为：点(2,0)和(6,4)之间的距离，即45.故答案为：45.【点睛】本题考查平面向量的坐标运算与解析几何中直线与圆的位置关系的交会，求解的关键在于问题的等价转化，即将最小值转化为两点问的距离，考查数形结合思想、转化与化归思想的灵活运用，综合性很强．12.已知二次函数2()2019fxaxbxc（0a），若存在0xZ，满足01|()|2019fx，则称0x为函数()fx的一个“近似整零点”，若()fx有四个不同的“近似整零点”，则a的取值范围是________【答案】21(0,]2019【解析】【分析】设函数的四个“近似整零点”为,1,2,3mmmm，再利用绝对值不等式和01|()|2019fx，求得a的取值范围.【详解】设函数的四个“近似整零点”为,1,2,3mmmm，所以42019()(3)(1)(2)afmfmfmfm|()||(3)||(1)||(2)|fmfmfmfm142019所以212019a.故答案为：21(0,]2019.【点睛】本题考查“近似整零点”的定义，求解的关键是读懂新定义，且理解“近似整零点”只与图象的开口大小有关，且四个整零点之间的最小距离为3，此时a可取到最大值.二.选择题13.若函数()sin()fxx是偶函数，则的一个值可能是（）A.0B.2C.D.2【答案】B【解析】【分析】由函数的奇偶性的定义可得需满足的条件为2k，kZ，结合选项可得答案．【详解】函数()sin()fxx是偶函数，()()fxfx，即sin()sin()xx，2xxk或2xxk，kZ，当2xxk时，可得xk，不满足偶函数定义中的任意性；当2xxk时，2k，kZ，当0k时，2.故选：B.【点睛】本题考查正弦函数图象，涉及函数的奇偶性，求解过程中也可以采用代入法求解，即直接把四个选项代入一一进行验证求得的值．14.设xR，则“250xx”是“|1|1x”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】分别求出两不等式的解集，根据两解集的包含关系确定.【详解】化简不等式，可知05x推不出11x；由11x能推出05x，故“250xx”是“|1|1x”的必要不充分条件，故选B。【点睛】本题考查充分必要条件，解题关键是化简不等式，由集合的关系来判断条件。15.已知椭圆的参数方程为2cossinxy，[0,2)，则该椭圆的焦点坐标为（）A.(0,3)B.(20)?C.(3,0)D.(1,0)【答案】C【解析】【分析】根据题意，将椭圆的参数方程变形为普通方程，分析a、b的值，计算可得c的值，即可得答案．【详解】根据题意，椭圆的参数方程为2cossinxy，[0,2)，则其普通方程为2214xy，其中2a，1b，则413c，所以该椭圆的焦点坐标为(3,0).故选：C.【点睛】本题考查椭圆的参数方程与普通方程的互化，准确化出椭圆的方程是求解的关键．16.数列{}na为1、1、2、1、1、2、4、1、1、2、1、1、2、4、8、，首先给出11a，接着复制该项后，再添加其后继数2，于是21a，32a，然后再复制前面的所有项1、1、2，再添加2的后继数4，于是41a，51a，62a，74a，接下来再复制前面的所有项1、1、2、1、1、2、4，再添加8，，如此继续，则2019a（）A.16B.4C.2D.1【答案】D【解析】【分析】利用已知条件，推出1212nna，及21(121)nnmkk时，有(121)nmkaak，再求解2019a的值即可．【详解】由数列{}na的构造方法可知11a，32a，74a，158aL，，可得1212nna，所以数12n首次出现于第21n项，所以当21(121)nnmkk时，有(121)nmkaak，故201999648523010340921aaaaaaaa．故选：D.【点睛】本题考查求数列项的值，求解时需要敏锐发现两个规律，一是1212n