上海市格致中学2020届高三数学9月开学考试（含解析）

上海市格致中学2020届高三数学9月开学考试（含解析）一.填空题1.不等式13x的解集为________【答案】1(0,)3【解析】【分析】将常数移到左边，通分得到答案.【详解】11133113300003xxxxxxx故答案为1(0,)3【点睛】本题考查了分式不等式的解法，属于基础题型.2.已知向量(7,1,5)ar，(3,4,7)br，则||ab________【答案】13【解析】【分析】先求出向量ab（4，3，12），由此能求出|ab|．【详解】∵向量715a，，，347b，，，∴ab（4，3，12），∴|ab|16914413．故答案为：13．【点睛】本题考查向量的模的求法，考查向量的坐标运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.如果双曲线2213xymm的焦点在y轴上，焦距为8，则实数m________【答案】4【解析】【分析】先化为标准式，再由焦距为8，列出m方程，即可得到结论．【详解】由题意，双曲线2213xymm的焦点在y轴上，则223yxmm=1，半焦距为4，则﹣m﹣3m＝16，∴m＝﹣4．故答案为：﹣4．【点睛】本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的性质，属于基础题．4.函数2()fxx，(0,)x的反函数为1()yfx，则1(4)f________【答案】2【解析】【分析】求出原函数的反函数，取x＝4即可求得f﹣1（4）．【详解】由y＝f（x）＝x2（x＞0），得xy，则函数f（x）＝x2（x＞0）的反函数为y＝f﹣1（x）x，∴f﹣1（4）42．故答案为：2．【点睛】本题考查反函数的求法及函数值的求法，是基础题．5.若22sincoscos0，则cot________【答案】0或2【解析】【分析】方程变形为(2sincos)cos0，分为两种情况得到答案.【详解】22sincoscos0(2sincos)cos0cos0或2sincos0当cos0时：cot0当2sincos0时：cot2故答案为0或2【点睛】本题考查了三角函数运算，意在考查学生的计算能力.6.若复数z的实部和虚部相等，且i2iza（i是虚数单位），则实数a的值为________【答案】2【解析】【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】由2ziai，得z＝i（a+2i）＝﹣2+ai，又∵复数2ziai的实部和虚部相等，∴a＝﹣2．故答案为：﹣2．【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．7.已知一组数据1，1，0，2，x的方差为10，则x________【答案】7或8【解析】【分析】依据方差公式列出方程，解出即可。【详解】1，1，0，2，x的平均数为25x，所以22222122222110210555555xxxxxx解得7x或8x。【点睛】本题主要考查方差公式的应用。8.“垛积术”（隙积术）是由北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创，南宋科学家杨辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法，有菱草垛、方垛、三角垛等等，某仓库中部分货物堆放成“菱草垛”，自上而下，第一层1件，以后每一层比上一层多1件，最后一层是n件，已知第一层货物单价1万元，从第二层起，货物的单价是上一层单价的910，若这堆货物总价是9100200()10n万元，则n的值为________【答案】10【解析】【分析】由题意可得第n层的货物的价格为an＝n•（910）n﹣1，根据错位相减法求和即可求出．【详解】由题意可得第n层的货物的价格为an＝n•（910）n﹣1，设这堆货物总价是Sn＝1•（910）0+2•（910）1+3•（910）2+…+n•（910）n﹣1，①，由①910可得910Sn＝1•（910）1+2•（910）2+3•（910）3+…+n•（910）n，②，由①﹣②可得110Sn＝1+（910）1+（910）2+（910）3+…+（910）n﹣1﹣n•（910）n91()109110nn•（910）n＝10﹣（10+n）•（910）n，∴Sn＝100﹣10（10+n）•（910）n，∵这堆货物总价是9100200()10n万元，∴n＝10，故答案为10【点睛】本题考查了错位相减法求和，考查了运算能力，以及分析问题解决问题的能力，属于中档题．9.若函数221()lg1xxfxxmx在区间[0,)上单调递增，则实数m的取值范围为________【答案】910m【解析】【分析】由函数fx在区间0,上单调递增，得到fx在每一部分都单调递增，且212lg1m，即可求出结果.【详解】因为函数221lg1xxfxxmx在区间0,上单调递增，所以fx在每一部分都单调递增，且212lg1m，即1121mlgm，解得910m.故答案为910m【点睛】本题主要考查分段函数单调的问题，只需满足每一部分单调，并且特别主要结点位置的取值即可，属于常考题型.10.甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中任想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才想的数字把乙猜的数字记为b，且*,{|09,}abnnnN，若||1ab，则称甲乙“心有灵犀”，现任意找两个人玩这个游戏，得出他们“心有灵犀”的概率为________【答案】725【解析】【分析】试验发生的所有事件是从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9十个数中任取两个数由分步计数原理知共有10×10种不同的结果，而满足条件的|a﹣b|≤2的情况通过列举得到共28种情况，代入公式得到结果．【详解】试验发生的所有事件是从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9十个数中任取两个共有10×10种不同的结果，则|a﹣b|≤1的情况有0，0；1，1；2，2；3，3；4，4；5，5；6，6；7，7；8，8；9，9；0，1；1，0；1，2；2，1；2，3；3，2；3，4；4，3；4，5；5，4；5，6；6，5；6，7；7，6；7，8；8，7；8，9；9，8共28种情况，甲乙出现的结果共有10×10＝100，∴他们”心有灵犀”的概率为P10028257．故答案为：725【点睛】本题主要考查了概率的简单计算能力，是一道列举法求概率的问题，属于基础题．11.若关于x的不等式112log(42)0xx在0x时恒成立，则实数的取值范围是_____【答案】3【解析】【分析】利用对数函数的单调性，将不等式去掉对数符号，再依据分离参数法，转化成求构造函数最值问题，进而求得的取值范围。【详解】由112log(42)0xx得1421xx，两边同除以2x，得到，1422xx，0x，设21xt，14tt，由函数14ytt在1，上递减，所以14143tt，故实数的取值范围是3。【点睛】本题主要考查对数函数的单调性，以及恒成立问题的常规解法——分离参数法。12.已知12,,,naaa是1,2,,n满足下列性质T的一个排列（2n，nN），性质T：排列12,,,naaa有且只有一个1iiaa（{1,2,,1}in），则满足性质T的所有数列的个数()fn________【答案】21nn【解析】【分析】先根据题意得到()fn和(1)fn之间的关系：()2(1)1fnfnn，再计算()fn【详解】考虑()fn和(1)fn之间的关系，为此考虑两种情况下的()fn：第一种为1到1n符合性质T排列，不妨设1iiaa，此时n要么放在末尾要么放在ia和1ia之间，这一共有2(1)fn种情况；第二种为1到1n不符合性质T排列，此时若想插入数n使得序列满足性质T，则前1n个数只能递增排列，然后插入n，有1n种情况；故()2(1)1fnfnn()2(1)1()12[(1)]fnfnnfnnfnn设1()12nnnafnnaa易知22(2)14422nnnfaa1())2(2nnfnn故答案为：21nn【点睛】本题考查了数列的递推公式得到数列的通项公式，找到递推公式是解题的关键，本题还可以计算前面几项，归纳出通项公式，再利用数学归纳法得到答案.二.选择题13.如图，水平放置的正三棱柱的俯视图是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由三视图及正三棱柱的几何特征可得解.【详解】由正三棱柱的几何特征知，俯视图中间有条实线，故选C.【点睛】本题主要考查了正三棱柱的几何特征和三视图的相关知识，属于基础题.14.点2,0P到直线14,23,xtyt（t为参数，tR）的距离为（）A.35B.45C.65D.115【答案】D【解析】【分析】先把直线的参数方程化成普通方程，再根据点到直线的距离公式可得．【详解】由1423xtyt消去参数t可得3x﹣4y+5＝0，根据点到直线的距离公式可得d223204511534．故选：D．【点睛】本题考查了直线的参数方程化成普通方程，点到直线的距离公式，属基础题．15.若ab、表示两条直线，表示平面，下列说法中正确的为（）A.若a，abrr，则b∥B.若a∥，abrr，则bC.若a，b，则abrrD.若a∥，b∥，则ab【答案】C【解析】对于选项A，b与可能平行，也可能在平面内，故A不正确。对于选项B，b与可能平行、相交、垂直，故B不正确。对于选项C，由线面垂直的定义可得必有abrr，故C正确。对于选项D，a与b可能相交、平行或异面，故D不正确。选C。16.设向量(cos,sin)ar，(sin,cos)br，向量1210,,,xxxuruuruur中有4个a，其余为b，向量1210,,,yyyuruuruur中有3个a，其余为b，则11221010xyxyxyururuuruuruuruur的所有可能取值中最小的值是（）A.2B.3C.4D.5【答案】B【解析】【分析】由220,1abab分析求解即可【详解】由题220,1abab，要想数量积之和最小，数量积为0的个数越多越好；1210,,,xxxuruuruur中的4个a，与1210,,,yyyuruuruur中4个b分别求数量积，1210,,,xxxuruuruur中的3个b，与1210,,,yyyuruuruur中3个a分别求数量积，之和为0，剩余的1210,,,xxxuruuruur中的3个b，分别与1210,,,yyyuruuruur中3个b求数量积之和为3故选：B【点睛】本题考数量积运算，考查分析能力，是基础题三.解答题.17.在直三棱柱111ABCABC中，90ABC，1ABBC，12BB.（1）求异面直线11BC与1AC所成角的大小；（2）求直线11BC与平面1ABC的距离.【答案】(1)arctan5.(2)255.【解析】【分析】（1）1ACB或其补角就是异直线11BC与1AC所成角，我们可证1AAB为直角三角形且15AB，故可得异面直线所成角的大小.（2）先计算11ABBCV，再利用等积法求1B到平面1ABC的距离，它就是直线11BC到平面1ABC的距离.【详解】(1)因为11BCBC∥，所以1ACB(或其补角)是异直线11BC与1AC所成角.因为BCAB，1BCBB，1ABBBB，所以BC⊥平面1ABB，所以1BCAB.1RtA