上海市复旦大学附属中学2019届高三数学4月模拟试题试题（含解析）

上海市复旦大学附属中学2019届高三数学4月模拟试题试题（含解析）一、填空题（本大题共有12题，满分33分）.1.方程的解为________________．【答案】【解析】或（舍）即，解得即答案为2.2.已知复数满足，则_____________．【答案】【解析】分析：设，代入，由复数相等的条件列式求得的值得答案．详解：由，得，设，由得，即，解得，所以，则．点睛：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的条件以及复数模的求法，是基础题，着重考查了考生的推理与运算能力．3.已知互异的复数a,b满足ab≠0，集合{a,b}={,},则=.【答案】【解析】由题意或，因为，，，因此．【考点】集合的相等，解复数方程．4.袋中装有5只大小相同的球，编号分别为1，2，3，4，5，若从该袋中随机地取出3只，则被取出的球的编号之和为奇数的概率是_____（结果用最简分数表示）.【答案】【解析】【分析】从5只球中随机取出3只，共种情况，而取出的3只球的编号之和为奇数，有2偶1奇和3只全为奇数两种情况，由此能求出取出的球的编号之和为奇数的概率．【详解】从5只球中随机取出3只，共种情况，而取出的3只球的编号之和为奇数，有2偶1奇和3只全为奇数两种情况，若取出3只球中有2只偶数1只是奇数，则有种情况，若取出的3只球中有3只是奇数则有种情况，所以取出的球的编号之和为奇数的概率为.故答案为：.【点睛】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．5.已知数列是共有k个项的有限数列，且满足，若，，，则_.【答案】【解析】由题数列是共有个项的有限数列，且满足，则，则……以上各式子同向相加，将代入可得（舍）.故答案为50.6._____【答案】2【解析】7.△ABC所在平面上一点P满足（，m为常数），若△ABP的面积为6，则△ABC的面积为_____.【答案】12【解析】【分析】由已知中P是△ABC所在平面内一点，且满足，我们根据向量加法的三角形法则可得m2，C到直线AB的距离等于P到直线AB的距离的2倍，故S△ABC＝2S△ABP，结合已知中△ABP的面积为6，即可得到答案．【详解】取AC的中点O，则（，m为常数），，到直线AB的距离等于P到直线AB的距离的2倍，故S△ABC=2S△ABP=12.故答案为：12.【点睛】本题考查的知识点是向量的加减法及其几何意义，其中根据m2，得到S△ABC＝2S△ABP，是解答本题的关键．8.若对任意，不等式恒成立，则m的取值范围是_____.【答案】【解析】【分析】问题转化为m＞对任意x∈R恒成立，只需由三角函数求出求y＝的最大值即可．【详解】不等式，即.由于的最大值为，，故答案为：.【点睛】本题考查三角函数的最值，涉及恒成立问题和三角函数公式的应用，属基础题．9.设，为的展开式的各项系数之和，，，（表示不超过实数x的最大整数），则的最小值为_____【答案】【解析】利用赋值法，令可得：，，利用数学归纳法证明：，当时，成立，假设当时不等式成立，即，当时：据此可知命题成立，则，，，故，的几何意义为点到点的距离，如图所示，最小值即到的距离，由点到直线距离公式可得的最小值为.点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解。对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求。但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝。10.如图所示：在直三棱柱中，，，则平面与平面ABC所成的二面角的大小为_____.【答案】【解析】【分析】通过题意易得直三棱柱ABC﹣A1B1C1即为正方体的一半，直接得出答案．【详解】根据题意，易得直三棱柱1即为正方体的一半，所求即为平面与平面所成的二面角，即为，又△为等腰直角三角形，，故答案为：.【点睛】本题考查二面角的求法，发现“直三棱柱ABC﹣A1B1C1即为正方体的一半”是解决本题的关键，属于中档题．11.把正整数排成如图（a）的三角形数阵，然后擦去第偶数行中的所有奇数，第奇数行中的所有偶数，可得如图（b）三角形数阵，现将图（b）中的正整数安小到大的顺序构成一个数列，若，则_____.【答案】.【解析】试题分析：由图中知第行有个正整数，所以其前行共有个正整数，因为且，所以在图中三角形数阵的第行第列，擦去第偶数行中的所有奇数、第奇数行中的所有偶数，可得到在图中三角形数阵的第行第列，所以，故应填入.考点：1.简单的逻辑推理；2.数列的概念；3.等差数列前项和.二、选择题（每题5分，共20分）12.一个公司有8名员工，其中6名员工的月工资分别为5200，5300，5500，6100，6500，6600，另两名员工数据不清楚，那么8位员工月工资的中位数不可能是（）A.5800B.6000C.6200D.6400【答案】D【解析】解：∵一个公司有8名员工，其中6名员工的月工资分别为5200，5300，5500，6100，6500，6600，∴当另外两名员工的工资都小于5300时,中位数为(5300+5500)÷2=5400，当另外两名员工的工资都大于5300时,中位数为(6100+6500)÷2=6300，∴8位员工月工资的中位数的取值区间为[5400,6300]，∴8位员工月工资的中位数不可能是6400.本题选择D选项.13.下列不等式中，与不等式同解的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】将不等式进行等价变形进行对比即可．【详解】不等式等价为，即，故选：D.【点睛】本题主要考查分式不等式的求解和变形，比较基础．14.对于两条不同的直线m，n和两个不同的平面，，以下结论正确的是（）A.若，，m，n是异面直线，则，相交B.若，，，则C.若，，m，n共面于，则D.若，，，，不平行，则m，n为异面直线【答案】C【解析】解：正方体中，取为棱，平面为，满足选项中的条件，但是，选项错误；取为棱，平面为，满足选项中的条件，但是，选项错误；取为棱，平面为，满足选项中的条件，但是，选项错误；本题选择C选项.15.对于集合A，定义了一种运算“”，使得集合A中的元素间满足条件：如果存在元素，使得对任意，都有，则称元素e是集合A对运算“”的单位元素.例如：，运算“”为普通乘法；存在，使得对任意，都有，所以元素1是集合R对普通乘法的单位元素.下面给出三个集合及相应的运算“”：①，运算“”为普通减法；②，运算“”为矩阵加法；③（其中M是任意非空集合），运算“”为求两个集合的交集.其中对运算“”有单位元素的集合序号为（）A.①②B.①③C.①②③D.②③【答案】D【解析】试题分析：①若，运算“”为普通减法，而普通减法不满足交换律，故没有单位元素；②{表示阶矩阵，}，运算“”为矩阵加法，其单位元素为全为0的矩阵；③（其中是任意非空集合），运算“”为两个集合的交集，其单位元素为集合，故答案为D.考点：1、合情推理；2、新定义的应用.三、解答题：（本大题共有5题，满分76分）16.如图所示，已知长方体的棱长，，，求：（1）异面直线与所成角的大小；（2）点B到平面的距离.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由是平行四边形，可得是异面直线和所的成角，由余弦定理可得结果；（2）设到平面的距离为，由即可得结果.【详解】（1）因为与平行且相等，所以是平行四边形，所以，是异面直线和所成角的大小，因为所以中，所以；（2）设到平面的距离为，由可得，，解得，即到平面的距离为.【点睛】本题考查长方体的性质，以及异面直线所成的角，属于中档题.求异面直线所成的角先要利用三角形中位线定理以及平行四边形找到异面直线所成的角，然后利用直角三角形的性质及余弦定理求解，如果利用余弦定理求余弦，因为异面直线所成的角是直角或锐角，所以最后结果一定要取绝对值.17.已知函数，（），a为实数.（1）当时，判断函数在上的单调性，并加以证明；（2）根据实数a的不同取值，讨论函数的最小值.【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）f（x）＝|x|＝x在（1，+∞）上单调递增，利用f′（x）＝10可得；（2）时，x时，函数取得最小值0；a＞0时，f（x）＝x时，利用基本不等式求出y＝f（x）的最小值为2．【详解】（1）在上单调递增.，在上在上单调递增；（2）时，时，函数取得最小值0；时函数无最小值；时，，当且仅当时，的最小值为.【点睛】本题考查函数的最值，考查导数知识的运用，考查基本不等式，属于中档题．18.某公园有个池塘，其形状为直角△ABC，，AB的长为2百米，BC的长为1百米.（1）若准备养一批供游客观赏的鱼，分别在AB、BC、CA上取点D、E、F，如图（1），使得，，在△DEF内喂食，求当△DEF的面积取最大值时EF的长；（2）若准备建造一个荷塘，分别在AB、BC、CA上取点D、E、F，如图（2），建造△DEF连廊（不考虑宽度）供游客休憩，且使△DEF为正三角形，记，求△DEF边长的最小值及此时的值.（精确到1米和0.1度）【答案】（1）；（2）最小值是65米，【解析】【分析】（1）设EF＝x，则可求CE，BE，DE，求得S△DEFx（1），x∈（0，2），由基本不等式可得：（1）（）2当且仅当x＝1时等号成立，从而可求当△DEF的面积取最大值时EF的长；（2）设等边三角形边长为EF＝ED＝DF＝y，在△EBD中，由正弦定理及三角函数的性质可得y0.65，即可求得△DEF边长的最小值及此时α的值．【详解】（1）设，则，故，所以，S△DEF，，因为S△DEF当且仅当（即EF长100米）时等号成立，即（S△DE）max.（2）设等边三角形边长为，在△EBD中，，，由题意可知，则，所以，即，即△DEF边长的最小值是65米，此时，，【点睛】本题主要考查了正弦定理，正弦函数的图象和性质以及基本不等式的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．19.设常数.在平面直角坐标系xOy中，已知点，直线l：，曲线Γ：（，）.l与x轴交于点A、与Γ交于点B.P、Q分别是曲线Γ与线段AB上的动点.（1）用t表示点B到点F的距离；（2）设，，线段OQ的中点在直线FP上，求△AQP的面积；（3）设，是否存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ，使得点E在Γ上？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由.【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【分析】（1）方法一：设B点坐标，根据两点之间的距离公式，即可求得|BF|；方法二：根据抛物线的定义，即可求得|BF|；（2）根据抛物线的性质，求得Q点坐标，即可求得OD的中点坐标，即可求得直线PF的方程，代入抛物线方程，即可求得P点坐标，即可求得△AQP的面积；（3）设P及E点坐标，根据直线kPF•kFQ＝﹣1，求得直线QF的方程，求得Q点坐标，根据，求得E点坐标，则（）2＝8（6），即可求得P点坐标．【详解】（1）方法一：由题意可知：设，则，；方法二：由题意可知：设，由抛物线的性质可知：，；（2），，，则，，，设OQ的中点D，，，则直线PF方程：，联立，整理得：，解得：，（舍去），△AQP的面积；（3）存在，设，，则，，直线QF方程为，，，根据，则，，解得：，存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ，使得点E在Γ上，且.【点睛】本题考查抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，考查转化思想，计算能力，属于中档题．20.若无穷数列满足：只要，必有，则称具有性质.（1）若具有性质，且，，求；（2）若无穷数列是等差数列，无穷数列是公比为正数的等比数列，，，判断是否具有性质，并说明理由；（3）设是无穷数列，已知.求证：“对任意都具有性质”的充要条件为“是常数列”.【答案】（1）．（2）不具有性质．（3）见解析．【解析】试题分析：（1）根据已知条件，得到，结合求解即可．（2）根据的公差为，的公比为，写出通项公式，从而可得．通过计算，，，，即知不具有性质．（3）从充分性、必要性两方面加以证明，其中必要性用反