上海市奉贤区奉贤中学2018-2019学年高二数学下学期期末考试试题（含解析）

上海市奉贤区奉贤中学2018-2019学年高二数学下学期期末考试试题（含解析）一、填空题（54分）1.设集合1,2,3,5A，1,Bt，若BA，则t的所有可能的取值构成的集合是_______；【答案】2,3,5【解析】【分析】根据集合的包含关系可确定t可能的取值，从而得到结果.【详解】由BA得：2t或3或5t所有可能的取值构成的集合为：2,3,5本题正确结果：2,3,5【点睛】本题考查根据集合的包含关系求解参数值的问题，属于基础题.2.若12nx展开式的二项式系数之和为128，则n________【答案】7【解析】【分析】根据二项展开式二项式系数和为2n可构造方程求得结果.【详解】12nx展开式的二项式系数和为：012128nnnnnCCC，解得：7n本题正确结果：7【点睛】本题考查二项展开式的二项式系数和的应用，属于基础题.3.在长方体1111ABCDABCD中，3AB，4AD，12AA，二面角1CBBD的大小是_________（用反三角表示）．【答案】3arctan4【解析】【分析】根据二面角平面角的定义可知CBD为二面角1CBBD的平面角，在直角三角形中表示出3tan4CBD，进而求得结果.【详解】由长方体特点可知：1BB平面ABCD又BC平面ABCD，BD平面ABCD1BCBB，1BDBBCBD即为二面角1CBBD的平面角又3CDAB，4BCAD，BCCD3tan4CDCBDBC3arctan4CBD即二面角1CBBD的大小为：3arctan4本题正确结果：3arctan4【点睛】本题考查二面角的求解，关键是能够根据二面角平面角的定义确定平面角，将平面角放到直角三角形中来进行求解.4.如图为某几何体的三视图，则其侧面积为_______2cm【答案】4【解析】【分析】根据三视图可知几何体为圆锥，利用底面半径和高可求得母线长；根据圆锥侧面积公式可直接求得结果.【详解】由三视图可知，几何体为底面半径为1，高为15的圆锥圆锥的母线长为：1514圆锥的侧面积：144S本题正确结果：4【点睛】本题考查圆锥侧面积的求解问题，关键是能够根据三视图准确还原几何体，考查学生对于圆锥侧面积公式的掌握情况.5.已知球O的半径为R，点A在东经120°和北纬60°处，同经度北纬15°处有一点B，球面上A，B两点的球面距离为___________；【答案】4R；【解析】【分析】根据纬度差可确定45AOB，根据扇形弧长公式可求得所求距离.【详解】A在北纬60，B在北纬15，且均位于东经12045AOB,AB两点的球面距离为：451804RR本题正确结果：4R【点睛】本题考查球面距离的求解问题，关键是能够通过纬度确定扇形圆心角的大小，属于基础题.6.若实数x，y满足221xy，则xy的取值范围是__________；【答案】11,22；【解析】【分析】令cosx，siny，可将xy化为1sin22，根据三角函数值域可求得结果.【详解】221xy可令cosx，siny1cossinsin22xysin21,111,22xy本题正确结果：11,22【点睛】本题考查利用三角换元的方式求解取值范围的问题，关键是能够将问题转化为三角函数的值域的求解.7.在四棱锥PABCD中，设向量4,2,3AB，4,1,0AD，6,2,8AP，则顶点P到底面ABCD的距离为_________【答案】2；【解析】【分析】根据法向量的求法求得平面ABCD的法向量3,12,4n，利用点到面的距离的向量求解公式直接求得结果.【详解】设平面ABCD的法向量,,nxyz则423040ABnxyzADnxy，令3x，则12y，4z3,12,4n点P到底面ABCD的距离：1824322914416APndn本题正确结果：2【点睛】本题考查点到面的距离的向量求法，关键是能够准确求解出平面的法向量，考查学生对于点到面距离公式掌握的熟练程度.8.112除以9的余数为_______；【答案】5【解析】【分析】将112变为32912，利用二项式定理展开可知余数因不含因数9的项而产生，从而可知余数为233925C.【详解】由题意得：3113222829123232203212222333339122929129121CCCC112除以9的余数为：233925C本题正确结果：5【点睛】本题考查余数问题的求解，考查学生对于二项式定理的掌握情况，关键是能够配凑出除数的形式，属于常考题型.9.如图，正四棱柱1111ABCDABCD的底面边长为4，记1111ACBDF，11BCBCE，若AEBF，则此棱柱的体积为______．【答案】322【解析】【分析】建立空间直角坐标系，设出直四棱柱的高h，求出,AEBF的坐标，由数量积为0求得h，则棱柱的体积可求．【详解】建立如图所示空间直角坐标系，设1DDh，又4ABBC，则4,0,0A，2,4,2hE，4,4,0B，2,2,Fh，2,4,2hAE，2,2,BFh，AEBF，24802h，即22h．此棱柱的体积为4422322．故答案为：322．【点睛】本题考查棱柱体积的求法，考查利用空间向量解决线线垂直问题，是中档题．10.在平面直角坐标系中，设点0,0O，3,3A，点,Pxy的坐标满足303200xyxyy，则OA在OP上的投影的取值范围是__________【答案】3,3【解析】【分析】根据不等式组画出可行域，可知5,66AOP；根据向量投影公式可知所求投影为cosOAAOP，利用AOP的范围可求得cosAOP的范围，代入求得所求的结果.【详解】由不等式组可得可行域如下图阴影部分所示：由题意可知：6AOB，56AOCOA在OP上的投影为：cos93cos23cosOAAOPAOPAOPAOBAOPAOC5,66AOP33cos,22AOPcos3,3OAAOP本题正确结果：3,3【点睛】本题考查线性规划中的求解取值范围类问题，涉及到平面向量投影公式的应用；关键是能够根据可行域确定向量夹角的取值范围，从而利用三角函数知识来求解.11.正方体1111ABCDABCD的边长为3，P是正方体表面上任意一点，集合{|2}PPA，满足的点P在正方体表面覆盖的面积为_________；【答案】7334【解析】【分析】分别在六个侧面上找到满足到点A的距离小于等于2的点的集合，可大致分为两类；从而确定满足集合的点构成的图形，通过计算图形面积加和得到结果.【详解】在正方形11ABBA、11ADDA、ABCD上，满足集合的点构成下图的阴影部分：在侧面11ABBA、11ADDA、ABCD覆盖的面积：113343326S在正方形11BCCB、1111DCBA、11CDDC上，满足集合的点构成下图的阴影部分：在侧面11BCCB、1111DCBA、11CDDC覆盖的面积：234S满足的点P在正方体表面覆盖的面积为：127334SS本题正确结果：7334【点睛】本题考查立体几何中的距离类问题的应用，关键是能够通过给定集合的含义，确定在正方体侧面上满足题意的点所构成的图形，对于学生的空间想象能力有一定要求.12.已知圆22:11Mxy，圆22:11Nxy，直线12,ll分别过圆心,MN，且1l与圆M相交于,AB两点，2l与圆N相交于,CD两点，点P是椭圆22149xy上任意一点，则PAPBPCPD的最小值为___________；【答案】8【解析】【分析】根据圆和椭圆的参数方程可假设出,,ACP点坐标；根据,AB共线、,CD共线可得,BD坐标；写出向量后，根据向量数量积运算法则可求得210sin8PAPBPCPD，从而可知当2sin0时，取得最小值，代入求得结果.【详解】由题意可设：1cos,sinA，1cos,sinC，2cos3sinP,则1cos,sinB，1cos,sinD1cos2cos,sin3sinPA，1cos2cos,sin3sinPB2222212coscos9sinsin5sin4cos4PAPB同理可得：25sin4cos4PCPD210sin8PAPBPCPD当2sin0时，min8PAPBPCPD本题正确结果：8【点睛】本题考查向量数量积的最值的求解问题，关键是能够灵活应用圆和椭圆的参数方程的形式，表示出所需的点的坐标，从而将问题转化为三角函数最值的求解问题.二、选择题（20分）13.lmn，，为直线，,,为平面，则下列命题中为真命题的是（）A.若//m，//n，则//B.则m，n，则//mnC.若，，则D.则，l，则l【答案】B【解析】【分析】根据空间中平面和直线平行和垂直的位置关系可依次通过反例排除,,ACD，从而得到结果.【详解】A选项：若//mn，则与未必平行，A错误B选项：垂直于同一平面的两条直线互相平行，B正确C选项：垂直于同一平面的两个平面可能相交也可能平行，C错误D选项：l可能与平行或相交，D错误本题正确选项：B【点睛】本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的相关命题的判定，通常通过反例，采用排除法的方式来得到结果，属于基础题.14.魏晋时期数学家刘徽在他的著作《九章算术注》中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”，刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为π：4.若正方体的棱长为2，则“牟合方盖”的体积为()A.16B.163C.163D.1283【答案】C【解析】【分析】由已知求出正方体内切球的体积，再由已知体积比求得“牟合方盖”的体积．【详解】正方体的棱长为2，则其内切球的半径r1，正方体的内切球的体积344Vπ1π33球，又由已知VπV4球牟合方盖，4416Vππ33牟合方盖．故选：C．【点睛】本题考查球的体积的求法，理解题意是关键，是基础题．15.“5n”是“*3,12nxnNx的展开式中含有常数项”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.非充分非必要条件【答案】A【解析】【分析】根据二项展开式的通项可知当5n时，只需3r即可得到常数项，可知充分条件成立；当*5nkkN时，展开式均含有常数项，可知必要条件不成立，从而得到结果.【详解】312nxx展开式的通项公式为：35631221rnrnrrrnrrnnCxCxx当5n时，通项公式为：15556521rrrrCx令1550r，解得：3r，此时为展开式的常数项，可知充分条件成立令350nr，解得：35nr当*5nkkN时，展开式均含有常数项，可知必要条件不成立“5n”是“*3,12nxnNx的展开式中含有常数项”的充分不必要条件本题正确选项：A【点睛】本题考查充分条件与必要条件的判定，涉及到二项式定理的