河海大学弹性力学徐芝纶版-第六章

第六章用有限单元法解平面问题第五节单元的结点力列阵与劲度矩阵第四节单元的应变列阵和应力列阵第三节单元的位移模式与解答的收敛性第二节有限单元法的概念第一节基本量及基本方程的矩阵表示概述第六节荷载向结点移置单元的结点荷载列阵第六章用有限单元法解平面问题例题第十一节应用变分原理导出有限单元法的基本方程第十节计算实例第九节计算成果的整理第八节解题的具体步骤单元的划分第七节结构的整体分析结点平衡方程组第六章用有限单元法解平面问题对工程问题，力学研究涉及到工程简化、物理模型和力学分析，而解决力学问题的三大支柱为实验手段，理论分析和计算手段。用计算手段解决力学问题（计算力学）是计算机科学、计算数学和力学学科交叉、相互渗透的产物。一般认为计算力学始于有限元方法的出现。数值计算方法是计算力学的核心内容，它是解决工程实际力学问题的有效手段，已被学术界和工程界广泛认可作为一种力学状态的分析工具。近几十年来数值方法发展迅速，相继出现了：第六章用有限单元法解平面问题变分法（VariationalMethod）有限差分法（FiniteDifferenceMethod,FDM）有限元法（FiniteElementMethod,FEM）边界元法（BoundaryElementMethod,BEM）无限元法（InfiniteElementMethod,IEM）刚体弹簧模型或刚性有限元法（Rigid-SpringModelRBSM）界面应力元模型（InterfaceStressElementModel,ISEM）离散元法（DistinctElementMethod,DEM）关键块理论（KeyBlockTheory,KBT）非连续变形分析(DiscontinuousDeformationAnalysis,DDA)无单元法（MeshlessElement–FreeMethod）流形方法（ManifoldMethod,MM）广义有限元法（GeneralizedFiniteElementMethod,GFEM）混合数值方法（MixedNumericalMethod）现有的数值分析方法第六章用有限单元法解平面问题第六章用有限单元法解平面问题1.有限元法（FiniteElementMethod-FEM）FEM2.FEM的特点概述（1）具有通用性和灵活性。首先将连续体变换为离散化结构，然后再利用分片插值技术与虚功原理或变分方法进行求解。简称FEM，是弹性力学的一种近似解法。第六章用有限单元法解平面问题简史3.FEM简史（2）对同一类问题，可以编制出通用程序，应用计算机进行计算。（3）只要适当加密网格，就可以达到工程要求的精度。1943年柯朗(德国著名数学家)第一次提出了FEM的概念。FEM是上世纪中期才出现，并得到迅速发展和广泛应用的一种数值解法。第六章用有限单元法解平面问题1970年后，FEM被引入我国，并很快地得到应用和发展。简史1956年，特纳等人提出了FEM。20世纪50年代，平面问题的FEM建立，并应用于工程问题。1960年提出了FEM的名称。20世纪60年代后，FEM应用于各种力学问题和非线性问题，并得到迅速发展。第六章用有限单元法解平面问题导出方法5.本章介绍平面问题的FEM4.FEM的主要导出方法应用静力方法或变分方法导出。仅叙述按位移求解的方法。且一般都以平面应力问题来表示。第六章用有限单元法解平面问题§6-1基本量和基本方程的矩阵表示本章无特别指明，均表示为平面应力问题的公式。采用矩阵表示,可使公式统一、简洁，且便于编制程序。第六章用有限单元法解平面问题。Tyxff)(f。Tyxvyxu)),(,),((d。Txyyxγεε)(ε。Txyyxτσσ)(σ。Tjjiivuvu)(δ。TjyjxiyixFFFF)(F基本物理量：。Tyxff)(f体力:基本物理量位移函数:应变:应力:结点位移列阵:结点力列阵:面力:第六章用有限单元法解平面问题物理方程:)(bDεσ)(2100010112cμμμμEDFEM中应用的方程：)()(ayvxuyvxuTε几何方程:应用的方程其中D为弹性矩阵，对于平面应力问题是:第六章用有限单元法解平面问题--结点虚位移;--对应的虚应变。ATTdxdytσεFδ**)()(*δ*ε应用的方程图6-1yxoij*,iiyvF*,iixuF*,jjyvF*,jjxuF虚功方程:其中:在FEM中，用结点的平衡方程代替平衡微分方程，后者不再列出。第六章用有限单元法解平面问题3.整体分析。§6-2有限单元法的概念FEM的概念，可以简述为：采用有限自由度的离散单元组合体模型去描述实际具有无限自由度的考察体，是一种在力学模型上进行近似的数值计算方法。其理论基础是分片插值技术与虚功原理或变分原理。FEM的概念1.将连续体变换为离散化结构；2.单元分析；FEM的分析过程：第六章用有限单元法解平面问题(a)桁架(b)深梁（连续体）结构力学研究的对象是离散化结构。如桁架，各单元（杆件）之间除结点铰结外，没有其他联系（图（a））。结构离散化1.结构离散化－－将连续体变换为离散化结构第六章用有限单元法解平面问题将连续体变换为离散化结构:即将连续体划分为有限多个、有限大小的单元，并使这些单元仅在一些结点处用绞连结起来，构成所谓‘离散化结构’。结构离散化弹力研究的对象，是连续体（图（b）)。(a)桁架(b)深梁（连续体）第六章用有限单元法解平面问题图（c）与图(a）相比，两者都是离散化结构；区别是，桁架的单元是杆件，而图（c）的单元是三角形块体（注意：三角形单元内部仍是连续体）。(c)深梁（离散化结构）结构离散化例如：将深梁划分为许多三角形单元，这些单元仅在角点用铰连接起来。(a)桁架(b)深梁（连续体）第六章用有限单元法解平面问题2.单元分析求解方法每个三角形单元仍然假定为连续的、均匀的、各向同性的完全弹性体。因单元内部仍是连续体，应按弹性力学方法进行分析。取各结点位移为基本未知量。然后对每个单元,分别求出各物理量,并均用来表示。),2,1()(ivuTiiiδ),2,1(iiδ第六章用有限单元法解平面问题（1）应用插值公式,由单元结点位移，求单元的位移函数Tmjie)(δδδδ。Tyxvyxu)),(),,((d求解方法这个插值公式称为单元的位移模式，为：。eΝδd单元分析的主要内容：第六章用有限单元法解平面问题（4）应用虚功方程，由单元的应力，求出单元的结点力，表示为（3）应用物理方程，由单元的应变，求出单元的应力，表示为（2）应用几何方程，由单元的位移函数d，求出单元的应变，表示为。eSδσ。eBδεε求解方法σ。emjiekδFFFF(第六章用有限单元法解平面问题－－单元对结点的作用力，与数值相同,方向相反，作用于结点。--结点对单元的作用力，作用于单元，称为结点力，以正标向为正。TiyixFF(iFTiyixFF(iF求解方法iFimjxyoiixFiyFjxFjyFmxFmyFiyFixFivmvjviumuju第六章用有限单元法解平面问题（5）将每一单元中的各种外荷载，按虚功等效原则移置到结点上，化为结点荷载，表示为.(eLmLjLieLFFFF求解方法第六章用有限单元法解平面问题为已知值,是用结点位移表示的值。通过求解联立方程，得出各结点位移值，从而求出各单元的应变和应力。各单元移置到i结点上的结点荷载其中表示对围绕i结点的单元求和；iF求解方法LiF3.整体分析,iF,FLi),2,1(,ieLieiFFe各单元对i结点的结点力作用于结点i上的力有：第六章用有限单元法解平面问题求解方法3.整体分析2.对单元进行分析1.将连续体变换为离散化结构归纳起来，FEM分析的主要步骤：（1）单元的位移模式（2）单元的应变列阵（4）单元的结点力列阵（5）单元的等效结点荷载列阵建立结点平衡方程组，求解各结点的位移。（3）单元的应力列阵第六章用有限单元法解平面问题思考题1.桁架的单元为杆件，而平面体的单元为三角形块体，在三角形内仍是作为连续体来分析的。前者可用结构力学方法求解，后者只能用弹性力学方法求解，为什么？2.在平面问题中，是否也可以考虑其它的单元形状，如四边形单元？第六章用有限单元法解平面问题应用插值公式，可由求出位移。首先必须解决：由单元的结点位移来求出单元的位移函数FEM是取结点位移为基本未知数。这个插值公式表示了单元中位移的分布形式，因此称为位移模式。Tmjieδδδδ(iδ。Tyxvyxu),(),((deδ§6-3单元的位移模式与解答的收敛性位移模式d第六章用有限单元法解平面问题插值公式（a）在结点应等于结点位移值。由此可求出泰勒级数展开式中，低次幂项是最重要的。所以三角形单元的位移模式，可取为：。yxvyxu654321,),,(,mjiyxii),,(,mjivuii。61~三角形单元（a）第六章用有限单元法解平面问题将式（a）按未知数归纳为:其中包含。及,,,,iiiivuyx,,iivu。mmjjiimmjjiivNvNvNvuNuNuNu,三角形单元61~或用矩阵表示为:（b）第六章用有限单元法解平面问题N－－称为形（态）函数矩阵。。eNδdmmjjiimjimjivuvuvuNNNNNNvu000000三角形单元（c）第六章用有限单元法解平面问题A为三角形的面积（图示坐标系中，按逆时针编号），有：其中:),,(,2)(mjiAycxbaNiiii11,,(,,)11jjjjiiimmmmxyyxabcijmxyyxijmmji,,。mmjjiiyxyxyxA1112三角形单元iijjN第六章用有限单元法解平面问题三结点三角形单元的位移模式，略去了2次以上的项，因而其误差量级是且其中只包含了的1次项，所以在单元中的分布如图（a）所示，的分布如图（b）、（c）所示。jimjjmmii);(2xoyx,iNvu和三角形单元(a)(b)(c)ivmvjviumuju1第六章用有限单元法解平面问题所以当单元趋于很小时，即时，为了使FEM之解逼近于真解。则为了保证FEM收敛性,位移模式应满足下列条件：FEM中以后的一系列工作，都是以位移模式为基础的。0,yx收敛性条件第六章用有限单元法解平面问题因为当单元时，单元中的位移和应变都趋近于基本量－－刚体位移和常量位移。（1）位移模式必须能反映单元的刚体位移。0收敛性条件（2）位移模式必须能反映单元的常量应变。单元的位移由形变位移和刚体位移组成单元的应变由变量应变和常量应变组成第六章用有限单元法解平面问题。xxyvyyxu22,22353564353521,,00xvvyuu收敛性条件可见刚体位移项在式（a）中均已反映。与刚体位移相比，将式（a）写成。yxvyxu654321,第六章用有限单元法解平面问题（3）位移模式应尽可能反映位移的连续性。即应尽可能反映原连续体的位移连续性。在三角形单元内部，位移为连续（位移模式是坐标的单值连续函数）；在两单元边界ij上，之间均为线性变化，也为连续。对式（a）求应变，得：,,,5362xyyxjiδδ和收敛性条件可见常量应变也已反映。。yxvyxu654321,第六章用有限单元法解平面问题（1）和（2）是必要条件，而加上（3）就为充分条件。收敛性条件为了保证FEM的收敛性：第六章用有限单元法解平面问题思考题1.应用泰勒级数公式来选取位移模式，为什么必须从低次项开始选取？2.试考虑：将结构力学解法引入到求解连续体的问题时，位移模式的建立是一个关键性工作，它使得单元(连续体)