河海大学弹性力学徐芝纶版-第七章

第七章空间问题的基本理论例题第五节轴对称问题的基本方程第四节几何方程及物理方程第三节主应力最大与最小的应力第二节物体内任一点的应力状态第一节平衡微分方程第七章空间问题的基本理论第七章空间问题的基本理论在空间问题中，应力、形变和位移等基本知函数共有15个，且均为x,y,z的函数。空间问题的基本方程，边界条件，以及按位移求解和按应力求解的方法，都是与平面问题相似的。因此，许多问题可以从平面问题推广得到。第七章空间问题的基本理论取出微小的平行六面体，，zyxvdddd考虑其平衡条件:,0xF,0yF;0zF,0xM,0yM.0zM(a)(b)平衡条件§7-1平衡微分方程第七章空间问题的基本理论第七章空间问题的基本理论由x轴向投影的平衡微分方程,0,(,,).(c)yxxzxxσfxyzxyz平衡微分方程0xF得因为x,y,z轴互相垂直，均为定向，量纲均为L，所以x,y,z坐标具有对等性，其方程也必然具有对等性。因此，式(a)的其余两式可通过式(c)的坐标轮换得到。第七章空间问题的基本理论由3个力矩方程得到3个切应力互等定理，0xMzyyz，，(x,y,z)。(d)空间问题的平衡微分方程精确到三阶微量。)dd(dzyx平衡微分方程第七章空间问题的基本理论思考题在图中，若点o的x向正应力分量为，试表示点A,B的x向正应力分量。xσxdzdxAdyoyBz第七章空间问题的基本理论在空间问题中，同样需要解决：由直角坐标的应力分量……，来求出斜面(法线为）上的应力。xσyz斜面应力n§7-2物体内任一点的应力状态第七章空间问题的基本理论斜面的全应力p可表示为两种分量形式：(,,).xyzppppp沿坐标向分量:p沿法向和切向分量:斜面应力(,).nnσp第七章空间问题的基本理论取出如图的包含斜面的微分四面体，斜面面积为ds,则x面，y面和z面的面积分别为lds,mds,nds。由四面体的平衡条件，得出坐标向的应力分量,1.求),,(0zyxFx,(,,).(a)xxyxzxplσmnxyz),,(zyxppppzyxppp第七章空间问题的基本理论2.求),(nnσp将),,(zyxpppp向法向投影，即得zyxnnpmplpσnn222222.(b)xyzyzzxxylσmσnσmnnllm,222222nnzyxσpppp22222.(c)nxyznpppσn得由第七章空间问题的基本理论从式(b)、(c)可见,当六个坐标面上的应力分量确定之后，任一斜面上的应力也就完全确定了。nn第七章空间问题的基本理论设在边界上，给定了面力分量则可将微分四面体移动到边界点上，并使斜面与边界重合。斜面应力分量应代之为面力分量，从而得出空间问题的应力边界条件:3.在上的应力边界条件σs,,,zyxfffσs),,(zyxppp),,(zyxfff(),(,,).()()xyxzxsxσlσmnfxyzSd在上应力边界条件第七章空间问题的基本理论式(d)只用于边界点上，表示边界面上的面力与坐标面的应力之间的关系，所以必须将边界面方程代入式(d)。式(b),(c)用于V内任一点，表示斜面应力与坐标面应力之间的关系；注意:σs第七章空间问题的基本理论1.假设面(l,m,n)为主面，则此斜面上n.,0σσpnn斜面上沿坐标向的应力分量为：zyxppp,,.,,npmplpzyx斜面应力§7-3主应力最大与最小的应力代入,得到：第七章空间问题的基本理论考虑方向余弦关系式，有.1222nml结论：式(a),(b)是求主应力及其方向余弦的方程。(b),,(a).xyxzxyzyxyzxzyzlσmnlσmσnlmσnσlmnσ第七章空间问题的基本理论2.求主应力σ将式(a)改写为：。0)(,0)(,0)(nσσmlnmσσlnmlσσzyzxzzyyxyzxyxx求主应力第七章空间问题的基本理论上式是求解l,m,n的齐次代数方程。由于l,m,n不全为0，所以其系数行列式必须为零，得,0σσσσσσzyzxzzyyxyzxyxx展开，即得求主应力的方程,求主应力32222()()xyzyzzxxyyzzxxyσσσσσσσσσσσσ.0)2(222xyzxyzxyzzxyyzxzyxσσσσσσ(c)第七章空间问题的基本理论3.应力主向设主应力的主向为。代入式(a)中的前两式，整理后得1σ111,,nml1111111111()0,(d)()0.yxzxxyzyxymnσσllmnσσll应力主向第七章空间问题的基本理论由上两式解出。然后由式(b)得出1111,lnlm12211111.(e)1()()lmnll应力主向再求出及。1m1n4.一点至少存在着三个互相垂直的主应力321,,σσσ（证明见书上）。第七章空间问题的基本理论5.应力不变量若从式(c)求出三个主应力，则式(c)也可以用根式方程表示为，123()()()0.(f)σσσσσσ因式(c)和(f)是等价的方程，故的各幂次系数应相等，从而得出：应力不变量321,,σσσσ第七章空间问题的基本理论1123212233122231232222.xyzyzzxxyyzzxxyxyzxyzyzxzxyyzzxxyΘσσσσσσ,Θσσσσσσσσσσσστττ,Θσσσσσσστστσττττ(g)应力不变量第七章空间问题的基本理论所以分别称为第一、二、三应力不变量。这些不变量常用于塑性力学之中。式(g)中的各式，左边是不随坐标选择而变的；而右边各项虽与坐标的选择有关，但其和也应与坐标选择无关。321,Θ,ΘΘ第七章空间问题的基本理论6.关于一点应力状态的结论：(1)6个坐标面上的应力分量完全确定一点的应力状态。只要6个坐标面上的应力分量确定了，则通过此点的任何面上的应力也完全确定并可求出。(2)一点存在着3个互相垂直的应力主面及主应力。一点应力状态第七章空间问题的基本理论(3)3个主应力包含了此点的最大和最小正应力。(4)一点存在3个应力不变量.321,Θ,ΘΘ(5)最大和最小切应力为，作用于通过中间主应力、并且“平分最大和最小正应力的夹角”的平面上。13.2σσ321σσσ设第七章空间问题的基本理论思考题1.试考虑：对于平面问题若则此点所有的正应力均为,切应力均为0，即存在无数多的主应力。,21σσσσ2.试考虑：对于空间问题若则此点所有的正应力均为,切应力均为0，即存在无数多的主应力。,321σσσσσ第七章空间问题的基本理论空间问题的几何方程，可以从平面问题推广得出：,xux,yzwvyz),,;,,(wvuzyx(a)几何方程§7-4几何方程及物理方程),,;,,(wvuzyx第七章空间问题的基本理论从几何方程同样可得出形变与位移之间的关系：⑴若位移确定，则形变完全确定。几何方程从数学上看，由位移函数求导数是完全确定的，故形变完全确定。第七章空间问题的基本理论--沿x,y,z向的刚体平移；⑵若形变确定，则位移不完全确定。由形变求位移，要通过积分，会出现待定的函数。若，还存在对应的位移分量，为：0yzx),,(zyx0,yzuuzy(,,;,,).xyzuvw(b)000,,wvu几何方程zyx,,--绕x,y,z轴的刚体转动。第七章空间问题的基本理论若在边界上给定了约束位移分量，则空间问题的位移边界条件为：uswvu,,(),suu(,,).uvw(c)位移边界条件第七章空间问题的基本理论zyxzyxzzyyxxzyxdddddd)d)(dd)(dd(d1)1)(1)(1(zyx.zyx(d)其中由于小变形假定，略去了形变的2、3次幂。体积应变体积应变定义为：dvdvvd第七章空间问题的基本理论空间问题的物理方程⑴应变用应力表示，用于按应力求解方法：),(1zyxxσσσE2(1),yzyzE(x,y,z).(e)物理方程可表示为两种形式：第七章空间问题的基本理论⑵应力用应变表示，用于按位移求解方法：),21(1xxE,(1)yzyzE(x,y,z).(f)由物理方程可以导出,21ΘE（g）是第一应力不变量，又称为体积应力。Θ21E--称为体积模量。第七章空间问题的基本理论空间问题的应力，形变，位移等15个未知函数，它们都是(x,y,z)的函数。这些函数在区域V内必须满足3个平衡微分方程，6个几何方程及6个物理方程，并在边界上满足3个应力或位移的边界条件。结论：结论第七章空间问题的基本理论思考题若形变分量为零，试导出对应的位移分量。,)(0x,y,zγyzx第七章空间问题的基本理论空间轴对称问题采用柱坐标表示。(,,)z轴对称问题如果弹性体的几何形状，约束情况和所受的外力都为轴对称，则应力，形变和位移也是轴对称的。§7-5轴对称问题的基本方程第七章空间问题的基本理论对于空间轴对称问题：应力中只有,,,,zzσσσ。0;0;0uzz(a)形变中只有,,,,zz位移中只有,,zuu轴对称问题所有物理量仅为(ρ,z)的函数。第七章空间问题的基本理论而由,0F得出为。σσ0,0,(b)0,0.zzzzZzσσσFfzσFfz平衡微分方程：第七章空间问题的基本理论几何方程：其中,00zu，几何方程为,,,(c)zzzzuuuzuuz。第七章空间问题的基本理论物理方程：应变用应力表示：。，（zzZEzφσσσE)1(2),,)(1(d)第七章空间问题的基本理论应力用应变表示：(),,),112(e).2(1)zzEσzE，（其中。zuuuzz第七章空间问题的基本理论边界条件：一般用柱坐标表示时，边界面均为坐标面。所以边界条件也十分简单。在柱坐标中，坐标分量的量纲、方向性、坐标线的性质不是完全相同的。因此，相应的方程不具有对等性。z,,第七章空间问题的基本理论思考题试由空间轴对称问题的基本方程，简化导出平面轴对称问题的基本方程。第七章空间问题的基本理论例题1例题2例题3例题第七章空间问题的基本理论例题1设物体的边界面方程为试求出边界面的应力边界条件；若面力为法向的分布拉力应力边界条件是什么形式？,0),,(zyxF),,,(zyxq第七章空间问题的基本理论,/kFnxx（x,y,z)，其中1/2222,.xxyzFFxkFFF解：当物体的边界面方程为时，它的表面法线的方向余弦为zyxnnn,,,0),,(zyxF第七章空间问题的基本理论当面力为法向分布拉力q时，,xflq(x,y,z).因此，应力边界条件为,().xxyxyzzxxsFFFFqx,y,z代入应力边界条件，得[],xxyyxzzxsxFσFτFτkf(x,y,z).第七章空间问题的基本理论例题2试求图示空间弹性体中的应力分量。(a)正六面体弹性体置于刚体中，上边界受均布压力q作用，设刚性体与弹性体之间无摩擦力。(b)半无