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陕西省咸阳市2018-2019学年高二上学期期末考试数学(理)试题一、选择题(本大题共12小题,共60.0分)1.与命题“若,则”等价的命题是A.若,则B.若,则C.若,则D.若,则【答案】C【解析】【分析】根据原命题与其逆否命题为等价命题,转化求逆否命题即可.【详解】其等价的命题为其逆否命题:若x2-2x-3≠0,则x≠3.【点睛】本题考查原命题与其逆否命题等价性以及会写逆否命题,考查基本应用能力.2.在等比数列中,若,是方程的两根,则的值为A.6B.C.D.1【答案】B【解析】【分析】利用韦达定理和等比数列的通项公式直接求解.【详解】在等比数列中,,是方程的两根,.的值为.故选:B.【点睛】本题考查等比数列中两项积的求法,考查韦达定理和等比数列的通项公式等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.3.设,则下列不等式一定成立的是A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】直接利用不等式性质:在两边同时乘以一个负数时,不等式改变方向即可判断.【详解】,,,故选:B.【点睛】本题主要考查了不等式的性质的简单应用,属于基础试题.4.命题“”的否定是()A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可.【详解】因为全称命题的否定是特称命题,所以,命题“,”的否定是:,.故选:D.【点睛】本题考查命题的否定,特称命题与全称命题的否定关系,基本知识的考查.5.不等式的解集为A.B.C.D.或【答案】C【解析】【分析】将分式不等式转化为一元二次不等式,进行求解即可.【详解】不等式等价为,得,即,即不等式的解集为,故选:C.【点睛】本题主要考查分式不等式的求解,将其转化为一元二次不等式是解决本题的关键.6.命题甲:是命题乙:的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】分析:根据命题甲和命题乙的关系,即可判定甲乙的关系,得到结果.详解:由命题乙:,即,所以命题甲:是命题乙:的充分不必要条件,故选A.点睛:本题主要考查了充分不必要条件的判定,熟记充分不必要条件的判定方法是解答的关键,着重考查了推理与运算能力.7.中,a,b,C分别是角A,B、C所对应的边,,,,则A.或B.C.或D.【答案】A【解析】【分析】根据正弦定理和大边对大角,可得答案.【详解】由,,,可得;正弦定理:,可得解得:;,或;故选:A.【点睛】本题考查三角形的正弦定理和内角和定理的运用,考查运算能力,属于基础题.8.设实数,,则A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用分子有理化进行化简,结合不等式的性质进行判断即可.【详解】.,,,,即,故选:A.【点睛】本题主要考查式子的大小比较,利用分子有理化进行化简是解决本题的关键.9.已知x,y满足约束条件,则z=x+3y的最小值为A.0B.2C.6D.8【答案】B【解析】【分析】作出平面区域,平移直线x+3y=0确定最优解,再求解最小值即可.【详解】作出x,y满足约束条件所表示的平面区域如图,作出直线x+3y=0,对该直线进行平移,可以发现经过点A(2,0)时Z取得最小值:2;故答案为:B.【点睛】(1)本题主要考查线性规划问题,意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合分析推理能力.(2)解答线性规划时,要加强理解,不是纵截距最小,就最小,要看函数的解析式,如:,直线的纵截距为,所以纵截距最小时,最大.10.在等差数列中,已知,且,则中最大的是A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由已知结合等差数列的性质可判断出a6>0,a7<0,从而可得和取最大值时的条件.【详解】∵等差数列{an}中,a3+a10<0,∴a6+a7=a3+a10<0,∵S110,∴a1+a11>0,∴a1+a11=2a6>0,∴a6>0,a7<0,则当n=6时,Sn有最大值.故选:B.【点睛】本题考查了等差数列的性质与求和公式的应用,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.11.如图,在四面体中,、分别在棱、上,且满足,,点是线段的中点,用向量,,表示向量应为()A.B.C.D.【答案】A【解析】,化简得到,故选A.12.设抛物线C:的焦点为F,点M在抛物线C上,,线段MF中点的横坐标为,若以MF为直径的圆过点,则抛物线C的焦点到准线的距离为A.4或8B.2或8C.2或4D.4或16【答案】B【解析】【分析】利用抛物线的定义和中点坐标公式和与y圆相切的条件,求出,代入抛物线方程即可求出p.【详解】解:抛物线C方程为,焦点,准线方程为,设,由抛物线性质,可得,因为圆心是MF的中点,所以根据中点坐标公式可得,圆心横坐标为,由已知圆半径也为,据此可知该圆与y轴相切于点,故圆心纵坐标为2,则M点纵坐标为4,即,代入抛物线方程得,所以或,则焦点到准线距离为2或8.故选:B.【点睛】本题考查抛物线的定义和性质,其中要注意以焦半径为直径的圆与y轴相切,属于中档题.二、填空题(本大题共4小题,共20.0分)13.已知,2,,且,则______.【答案】【解析】【分析】利用向量共线的充要条件:坐标交叉相乘的积相等,列方程求x值.【详解】解:,.故答案为:【点睛】解决向量共线问题,一般利用向量共线的充要条件:坐标交叉相乘的积相等找解决的思路.14.若一元二次不等式的解集是,则a的值是______.【答案】【解析】【分析】根据一元二次不等式和对应方程的关系,利用根与系数的关系求出a的值.【详解】一元二次不等式的解集是,则和是一元二次方程的实数根,,解得.故答案为:.【点睛】本题考查了一元二次不等式与对应方程的应用问题,是基础题.15.已知两个正实数x,y满足,且恒有,则实数m的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】先用基本不等式求出的最小值,然后解一元二次不等式得到结果.【详解】解:,,,,当且仅当,时,取等号,恒成立等价于,故答案为:.【点睛】本题考查利用基本不等式求最值,属基础题.16.当双曲线M:的离心率取得最小值时,双曲线M的渐近线方程为______.【答案】【解析】【分析】求出双曲线离心率的表达式,求解最小值,求出m,即可求得双曲线渐近线方程.【详解】解:双曲线M:,显然,双曲线的离心率,当且仅当时取等号,此时双曲线M:,则渐近线方程为:.故答案为:.【点睛】本题考查双曲线渐近线方程的求法,考查基本不等式的应用,属于基础题.三、解答题(本大题共6小题,共70.0分)17.已知为等差数列,且,.求的通项公式;若等比数列满足,,求的前n项和公式.【答案】(1);(2).【解析】【分析】设等差数列的公差为d,由已知列关于首项与公差的方程组,求得首项与公差,则的通项公式可求;求出,进一步得到公比,再由等比数列的前n项和公式求解.【详解】为等差数列,设公差为d,由已知可得,解得,.;由,,等比数列的公比,的前n项和公式.【点睛】本题考查等差数列的通项公式,考查等比数列的前n项和,是中档题.18.在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且.1求角A的大小;2若,,求a的值.【答案】(Ⅰ);(Ⅱ).【解析】【分析】Ⅰ由正弦定理化简已知等式可得:,结合,利用两角和的正弦函数公式可求,结合范围,可求A的值.Ⅱ利用三角形的面积公式可求,进而根据余弦定理即可解得a的值.【详解】Ⅰ由正弦定理可得:,,,,可得:,,,可得:,Ⅱ,可得:,,.【点睛】本题主要考查了正弦定理,两角和的正弦函数公式,三角形的面积公式,余弦定理在解三角形中的应用,考查了计算能力和转化思想,属于中档题.19.直三棱柱中,底面ABC为等腰直角三角形,,,,M是侧棱上一点,设,用空间向量知识解答下列问题.1若,证明:;2若,求直线与平面ABM所成的角的正弦值.【答案】(1)见解析;(2)【解析】【分析】1以A为原点,AB为x轴,AC为y轴,为z轴,建立空间直角坐标系,利用向量的数量积为0即可证明C.2当时,求平面ABM的法向量,利用向量法求出直线与平面ABM所成的角的正弦值.【详解】证明:1直三棱柱中,底面ABC为等腰直角三角形,,,,M是侧棱上一点,设,,以A为原点,AB为x轴,AC为y轴,为z轴,建立空间直角坐标系,0,,2,,0,,2,,2,,2,,,C.2当时,2,,0,,0,,2,,设平面ABM的法向量y,,则,取,得1,,设直线与平面ABM所成的角为,则.直线与平面ABM所成的角的正弦值为.【点睛】本题考查利用向量的方法证明线线垂直,考查向量法解决线面角问题,考查运算求解能力,属于基础题.20.已知椭圆C:过点,,直线l:与椭圆C交于,两点.1求椭圆C的标准方程;2已知点,且A、M、N三点不共线,证明:是锐角.【答案】(1);(2)见解析【解析】【分析】1将题干中两点坐标代入椭圆C的方程,求出a和b的值,即可得出椭圆C的标准方程;2将直线l的方程与椭圆C的方程联立,列出韦达定理,利用向量数量积的坐标运算并代入韦达定理计算,并结合A、M、N三点不共线,可证明出是锐角.【详解】解:1将点、的坐标代入椭圆C的方程得,解得,所以,椭圆C的标准方程为;2将直线l的方程与椭圆C的方程联立,消去x并化简得,恒成立,由韦达定理得,.,同理可得所以,由于A、M、N三点不共线,因此,是锐角.【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系的应用,考查向量数量积的坐标运算,属于中档题.21.如图,已知平面ACD,平面ACD,为等边三角形,,F为CD的中点.求证:平面BCE;求二面角的余弦值的大小.【答案】(1)见解析(2).【解析】【分析】(1)设,以,所在的直线分别作为轴、轴,以过点在平面内和垂直的直线作为轴,建立如图所示的坐标系,利用向量法证明,即证平面.(2)利用向量法求二面角的余弦值的大小.【详解】设,以,所在的直线分别作为轴、轴,以过点在平面内和垂直的直线作为轴,建立如图所示的坐标系,,,,,.∵为的中点,∴.(1)证明,,,∴,平面,∴平面.(2)设平面的一个法向量,则,即,不妨令可得.设平面的一个法向量,则,即,令可得.于是,.故二面角的余弦值为.【点睛】(1)本题主要考查空间位置关系的证明,考查二面角的计算,意在考查学生对这些知识的掌握水平和空间想象分析推理能力.(2)二面角的求法方法一:(几何法)找作(定义法、三垂线法、垂面法)证(定义)指求(解三角形).方法二:(向量法)首先求出两个平面的法向量;再代入公式(其中分别是两个平面的法向量,是二面角的平面角.)求解.(注意先通过观察二面角的大小选择“”号)22.已知抛物线E:的焦点为F,是抛物线E上一点,且.1求抛物线E的标准方程;2设点B是抛物线E上异于点A的任意一点,直线AB与直线交于点P,过点P作x轴的垂线交抛物线E于点M,设直线BM的方程为,k,b均为实数,请用k的代数式表示b,并说明直线BM过定点.【答案】(1);(2)见解析【解析】【分析】1利用抛物线的定义与性质求p的值,即可写出抛物线方程;2设点,,由直线BM的方程和抛物线方程联立,消去y,利用根与系数的关系和A,P,B三点共线,化简整理可得BM的方程,从而求出直线BM所过的定点.【详解】解:1根据题意知,,①因为,所以,②联立①②解得,;所以抛物线E的标准方程为;2设,;又直线BM的方程为,代入,得;由根与系数的关系,得,;③由轴及点P在直线上,得,则由A,P,B三点共线,得,整理,得;将③代入上式并整理,得,由点B的任意性,得,即,所以;即直线BM恒过定点.【点睛】本题考查抛物线的性质和直线与抛物线的位置关系,以及直线过定点问题,是中档题.
本文标题:陕西省咸阳市2018-2019学年高二数学上学期期末考试试题 理(含解析)
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