闭环实负零点对二阶系统的影响

闭环实负零点对二阶系统的影响作者jiangteng班级09电本2班学号4090208230摘要：本文采用拉普拉斯变换的方法，首先研究了二阶系统在单位阶跃输入下的响应，并对二阶系统的传递函数及其动态性能指标进行了详细的讨论。然后重点研究了闭环零点对二阶系统的传递函数及其在单位阶跃响应的动态性能指标的影响，并得出了相应的结论。关键字：闭环零点二阶系统欠阻尼0引言由二阶微分方程描述的系统称为二阶系统。二阶系统形式简单而且应用广泛，同时，高阶系统的研究也往往通过选取主导极点将系统简单化为二阶系统。二阶系统有两种结构形式，一种是无零点二阶系统，一种是有零点二阶系统。对二阶系统的研究，主要是研究单位阶跃响应和动态性能指标。在阻尼比0时，系统不能正常工作，而在1时，系统动态响应进行的又太慢。所以，对二阶系统来说，欠阻尼情况下（10）时是最有实际意义的。下面将讨论这种情况下两种结构形式的二阶系统。1.典型二阶系统的传递函数和状态方程1.1二阶系统传递函数的标准形式开环传递函数：nnKsssW22闭环循环传递函数：2222nnnBsssW二阶系统标准形式的结构图如下图1-1所示：1.2二阶系统的单位阶跃响应及其动态响应假设初始条件为零，当输入量为单位阶跃函数时，ssXr1输出量的拉氏变换为图1-1二阶系统标准形式的结构图ssssXnnnc12222⑴系统的特征方程为0222nnss由上式可解除特征方程式的根，这些根与阻尼比ξ有关。这里只讨论欠阻尼的情况。当0ξ1时，特征方程式的根为njp211njp221由于0ξ1，故1p及2p为一对共轭复根，如图1-2所示。将式①分解为部分分式，并求出各待定系数：222102nnscssAAsAsX查拉氏变换表得输出量为)sin(1112dtcnetxt≥0⑵式中：nd21──阻尼振荡角频率，或振荡角频率；21arctan──阻尼角。典型二阶系统的单位阶跃响应曲线如下图：图1-20ξ1时根的分布01234567891000.511.5ty1.3二阶系统动态性能指标1.3.1上升时间rt在动态过程中，系统的输出第一次达到稳态值的时间称为上升时间rt。根据这一定义，在②中，令rtt时，1cx，得0)sin(12dtrne⑶但是，在t期间，也就是没有达到最后的稳定以前，012rnte，所以为满足式③只能使0)sin(rdt。由此得21ndrrdtt⑷由上式可以看出ξ和nw对上升时间的影响。当nw一定时，阻尼比ξ越大，则上升时间rt越长；当ξ一定时，nw越大，则上升时间rt越短。1.3.2最大超调量δ%最大超调量发生在第一个周期中mtt时刻。根据求极值的方法，由式⑵，可求出0mttcdttdx得图1-3单位阶跃响应221)tan(1)cos()sin(mdmdmdttt因此nntmd21arctan即ntmd因为在n=1时出现最大超调量，所以有mdt。峰值时间为ndmt21⑸将ndmt21代入式②，整理得到最大值为)sin(11212excm因为21sin)sin(所以211excm⑹根据超调量的定义%100%cccmXXX在单位阶跃输入下，稳态值1)(cmx，因此得最大超调量为%100%21e⑺1.3.3调节时间st调节时间st是)(txc与稳态值)(cx之间的偏差量达到允许范围（一般取稳态值的2%～%5）而不再超出的稳态过程时间。在动态过程中的偏差量为△)1sin(1)()(22tetxxxntccn当△x=0.05或0.02时得05.0)1sin(122snttesn（或0.02）由上式可以看出，在0～st时刻范围内，满足上述条件的st值有多个，其中最大的值就是调节时间st。由于正弦函数的存在，st值与阻尼比ξ间的函数关系是不连续的。为简单起见，可以采用近似的计算方法，忽略正弦函数的影响，认为指数项衰减到0.05或0.02时，过渡过程即进行完毕。这样得到05.012snte由此求得调节时间为nnst3)]1ln(213[1%)5(2，0ξ0.9⑻nnst4)]1ln(214[1%)2(2，0ξ0.9⑼2具有闭环负实零点的二阶系统的动态性能的影响2.1具有零点的二阶系统标准形式及其结构图具有零点的二阶系统的闭环传递函数为)2(1)1(2)1()()()(222222nnnnnnBwswsswwswsswsXrsXcsWξττξτ式中：τ──时间常数令τ1=z，则上式可写为如下标准形式：)2()()()(222nnnwswszzswsXrsXcξ⑽式⑩所示系统的闭环传递函数为具有零点-z的二阶系统,其结构图如下所示)2()(222nnnwswszzswξ)(sXr)(sXc图2-1具有零点的二阶系统结构图将式⑩进行分解，得2222)()(1nnnwswssXrwsXcξ，0ξ1)(11)(sXczsXcsXc2.2具有零点的二阶系统的单位阶跃响应设ssXr1)(，取初始条件为零，则Xc1(s)和Xc(s)的拉氏反变换为])2([)(22211nnncwswsswtxξdttdxztxsXcsXczstxccc)(1)()](1[)](1[)(1111⑾求出式⑾中两项，然后相加即得输出量。由式⑵得)1sin(111221tetxntcn于是得)]1cos(1)1sin([11)(122221ttzedttdznnnntxnc将上两式代入式⑾得)1cos(1)1sin(11)(2222θξξθξζξξtwwltwlwzzletxnnnntwcn⑿式中，l为极点与零点间的距离，可由系统闭环传递函数的零点和极点在复平面上的位置确定。由图2-2知φξφξξξsin1cos)1()(22221lwlwzwwzpzlnnnn图2-2零点极点在s平面上的分布故式子⑿可以写成：θφξξξtwzletxntwcn221sin11)(⒀式子中：ξξθ21arctannnwzwξξφ21arctan2222zwwzzzlnnξ令zwrnξ，由图可知r代表闭环传递函数的复数极点的实部与零点实部之比，则上式中的zl可以简写为22221rrzlξξ因此式子⑿可以写为：)1sin(121)(22222φθξξξξξtwerrtxntwcn0t⒀由此计算得到了典型的具有零点的二阶系统的单位阶跃响应的公式。2.3具有零点的二阶系统的动态性能指标根据上升时间rt，峰值时间mt，最大超调量δ%，调节时间st的定义，由式⒀分别求得二阶系统具有闭环实零极点时的欠阻尼单位阶跃响应的各项指标。2.3.1上升时间rtnrwt21ξφθπ由上式可以看出上升时间rt受到nw，ξ，φ，θ的影响，当nw，ξ，θ一定的时候，上升时间rt只与φ有关，而φ的大小由z的大小决定，z增大φ减小。所以可得如下结论：闭环零点的增加，使上升时间rt减小。当z增大时，即零点越来越远离虚轴，φ减小，所以rt增大。零点越靠近虚轴，对上升时间rt影响越大；当零点距离虚轴很远时，零点的影响可以忽略，这时系统可以用典型二阶系统来代替。2.3.2峰值时间mtnmwt21ξφπ同理可得：闭环零点的增加，使峰值时间mt减小。当z增大时，即零点越来越远离虚轴，φ减小，所以mt增大。零点越靠近虚轴，对峰值时间mt影响越大；当零点距离虚轴很远时，零点的影响可以忽略，这时系统可以用典型二阶系统来代替。2.3.3最大超调量δ%δ%=%100)21(121)(22err由上式可以看出最大超调量δ%受到r，ξ，φ，θ的影响，当ξ，θ一定的时候，最大超调量δ%与r，φ有关。r值反映了复数平面上零点与复数极点的相对位置。而φ的大小由z的大小决定，z增大φ减小，r减小。所以可得如下结论：闭环零点的增加，使最大超调量δ%增大，振荡性增强。如果z值越小，即零点越靠近虚轴，则r值越大，振荡性越强。反之，z值越大，则r值越小，振荡性相对减弱。当零点距离虚轴很远时，零点的影响可以忽略，这时系统可以用典型二阶系统来代替。2.3.4调节时间stst=nzl1)ln4(（△=%)2st=nzl1)ln3(（△=%)5由上式可以看出，零点的加入使调节时间st可能增大，可能减小，也可能不变。如果z值越小，即零点越靠近虚轴，调节时间st增大。当零点距离虚轴很远时，零点的影响可以忽略，这时系统可以用典型二阶系统来代替。为了定量说明附加零点对二阶系统性能的影响，引入参数。用参数表示附加零点与二阶系统复数极点实部之比，即nzr1并在同一值下绘出不同值时)(txc和tn的关系曲线，图2-3为=0.25的情况。综上所述，可以得出如下结论：①当其他条件不变时，附加一个闭环负实零点，将使二阶系统的超调量增大，上升时间和峰值时间减小。、②附加零点越靠近虚轴，上述影响越明显。③当零点距离虚轴很远时，零点的影响可以忽略，这时系统可以用典型二阶系统来代替。3结束语本文围绕着闭环负实零点对二阶系统的传递函数、各种性能指标的影响，进行了深入的讨论分析。其理论计算公式全面准确。对于学习研究二阶系统有较高的参考和应用价值。特别是二阶系统的超调量及振荡性的论述，对深入讨论二阶系统有重要的意义。参考文献[1]王建辉.,顾树生．自动控制原理[M].北京:清华大学出版社．2007[2]张德丰.matlab控制系统设计与仿真[M].北京：电子工业出版社．2009[3]李素玲，胡建．自动控制原理[M].北京:西安电子科技大学出版社．2007[4]李浚圣，徐楠楠，黄伟成．有零点二阶系统的单位阶跃响应[J]．沈阳大学学报．2003[5]陆爽，候跃遣．二阶系统性能参数的研究[J]．成春大学学报．2002图2-3具有零点的二阶系统单位阶跃响应曲线