陕西省西安中学2020届高三数学上学期期中试题 理

陕西省西安中学2020届高三数学上学期期中试题理第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合120Axxx，1,0,1,2B，则AB()A．0,1B．1,0,1C．0,1,2D．1,0,1,22．命题“对任意xR都有21x”的否定是()A．对任意xR，都有21xB．不存在xR，使得21xC．存在0xR，使得201xD．存在0xR，使得201x3．在等差数列中，a2＝4，a3＝6，则a10＝()A．20B．22C．18D．164．下列函数中，既是偶函数又有零点的是()A．12yxB．tanyxC．xxyeeD．lnyx5．若2tan3，则2sin3sincossin2()A．116B．23C．43D．26．函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是()A．2,1B．1,0C．0,1D．1,27．已知函数211()ln(1)1xxfxxx，，，则2(())ffe＝()A．2B．2C．4D．48．若实数,xy满足约束条件20201xyxyy，则2zxy的最小值是()A．2B．3C．4D．59．已知0.81.41.40.8aa，则实数a的取值范围是()A．(0)，B．(01)，C．(1)，D．[1+)，10．在直角ABC中，3AB，4AC，5BC，点M是ABC外接圆上任意一点，则ABAM的最大值为()A．6B．8C．10D．1211．已知定义在R上的函数fx在0,7上有1和6两个零点，且函数2fx与函数7fx都是偶函数，则fx在0,2019上的零点至少有()个A．404B．406C．808D．81212．定义在R上的函数()fx的导函数为()fx，若对任意实数x，都有()()fxfx，且()2019fx为奇函数，则不等式()20190xfxe的解集为()A．,0B．0,C．1,eD．1,e第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知(2,)am，(5,2)bm，若a与b平行，则m．14．若不等式22+50xmxm恒成立，则实数m的取值范围为．15．函数212log231yxx的递减区间为．16．已知aR，函数4()fxxaax在区间1,4上的最大值是5，则实数a的取值范围是．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（本小题满分12分）已知向量(sin,1)mx，3cos,cos2(0)2AnAxxA，函数()fxmn的最大值为6．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）将函数y＝f(x)的图像向左平移π12个单位，再将所得图像上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图像，求g(x)在0，5π24上的值域．18．（本小题满分12分）在ABC角中，角A，B，C的对边分别是abc，，，若sin3cosaBbA．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若ABC的面积为23，5a，求ABC的周长．19．（本小题满分12分）设函数xexaxxf22，其中0a．（Ⅰ）当34a时，求xf的极值点；（Ⅱ）若xf在1,1上为单调函数，求a的取值范围．20．（本小题满分12分）以椭圆2222:1(0)yxCabab的中心O为圆心，以2ab为半径的圆称为该椭圆的“伴随”．已知椭圆的离心率为23，且过点1(,3)2．（Ⅰ）求椭圆C及其“伴随”的方程;（Ⅱ）过点0,Pm作“伴随”的切线l交椭圆C于A，B两点，记(AOBO为坐标原点)的面积为AOBS，求AOBS的最大值．21．（本小题满分12分）已知函数cos()axfxbx，曲线()yfx在点,22f处的切线方程为620xy．（Ⅰ）求()fx的解析式；（Ⅱ）判断方程3()12fx在0,2内的解的个数，并加以证明．（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答．如果多做，那么按所做的第一题计分．22．（本小题满分10分）[选修4—4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy中，曲线1cos:sinxtCyt，t(为参数，)0t，其中0，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C：sin2，曲线3C：23cos．（Ⅰ）求2C与3C交点的直角坐标；（Ⅱ）若1C与2C相交于点A，1C与3C相交于点B，求||AB的最大值．23．（本小题满分10分）[选修4—5：不等式选讲]已知0a，0b，1ab．求证：（Ⅰ）3311()1abab；（Ⅱ）229(1)(1)2ab．西安中学高2020届高三期中考试数学（理科）参考答案一、选择题:题号123456789101112答案ADADABCBADCB二、填空题：13．4314．[210]，15．1，16．9,2三、解答题:17．解：（Ⅰ）()fxmn＝3Asinxcosx＋A2cos2x＝A32sin2x＋12cos2x＝Asin2x＋π6．··········································（4分）因为A0，由题意知A＝6．················································（5分）（Ⅱ）由（Ⅰ）f(x)＝6sin2x＋π6．将函数y＝f(x)的图像向左平移π12个单位后得到y＝6sin2x＋π12＋π6＝6sin2x＋π3的图像；··········································································（7分）再将得到图像上各点横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到y＝6sin4x＋π3的图像．因此g(x)＝6sin4x＋π3．······························································（9分）因为x∈0，5π24，所以4x＋π3∈π3，7π6，故g(x)在0，5π24上的值域为[－3，6]．·········································（12分）18．解：（Ⅰ）由正弦定理得：sinsin3sincosABBA，························（2分）sin0B，∴tan3A，··········································································（4分）A是ABC的内角，∴60A．··············································································（6分）（Ⅱ）ABC的面积为23,∴1sin232bcA，由（Ⅰ）知°60A，∴8bc，··············································································（8分）由余弦定理得：2222222cos3abcbcAbcbcbcbc，·····（10分）∴22425bc，得：7bc，∴ABC的周长为12．·······························································（12分）19．解：对)(xf求导得2()212xfxaxaxe·····························（1分）（Ⅰ）若34a，由2242'()212233xxfxaxaxexxe令0)('xf，因为0xe，则2422033xx，123,12xx解得·······（2分）所以xfxf',随x变化而变化的情况为：所以，231x是极大值点，12x是极小值点．····························（5分）（注：未注明极大、极小值扣1分）（Ⅱ）若)(xf为1,1上的单调函数，又02)0('f，所以当1,1x时0)('xf，即0212)(2xaaxxg在1,1上恒成立．···················（6分）（1）当0a时，()22(1)0gxxg，符合题意；···················（8分）（2）当0a时，抛物线212)(2xaaxxg开口向上，则()0gx的充要条件是0101gg，即0430aa，所以340a．综合（1）（2）知a的取值范围是x)23,(23)1,23(1),1()(xf+0－0+)(xf↗极大值↘极小值↗340a．···································（12分）20．解：（Ⅰ）椭圆C的离心率为32，则2ab=，设椭圆C的方程为222214yxbb+=∵椭圆C过点1(,3)2，∴1414322bb，∴1b，2a∴椭圆C的标准方程为2214yx，················································（3分）椭圆C的“伴随”方程为221xy．···············································（4分）（Ⅱ）由题意知，1||m．······················································（5分）易知切线l的斜率存在，设切线l的方程为,ykxm由22,14ykxmyx得222(4)240kxkmxm设A，B两点的坐标分别为11(,)xy，22(,)xy，则12224kmxxk，212244mxxk．··················································（7分）又由l与圆221xy+=相切，所以2||11mk=+，221km．·············（8分）所以221212||1()4ABkxxxx=++-222222244(4)1(4)4kmmkkk22224144kkmk224314kk······························································（10分）22123124AOBkSABk．令211,kt，则221kt，代入上式得：223232313323AOBtSttt（当且仅当3t，即2k时等号成立）所以AOBS的最大值为1．···············································（12分）21．解：（Ⅰ）直线6π2π0xy的斜率为π6，过点,12π，2sincos'axxxfxx，则26