陕西省西安中学2019-2020学年高二数学12月月考试题 理

陕西省西安中学2019-2020学年高二数学12月月考试题理一、选择题（本大题共12小题，每题5分，满分60分）1、“a∥，则a平行于内任一条直线”是()．A．真命题B．全称命题C．特称命题D．不含量词的命题2、若命题p的否命题是q，命题q的逆命题是r，则r是p的()．A．原命题B．逆命题C．否命题D．逆否命题3、给出命题：若函数y＝f(x)是幂函数，则函数y＝f(x)的图像不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是()．A．3B．2C．1D．04、“a和b都不是偶数”的否定形式是()．A．a和b至少有一个是偶数B．a和b至多有一个是偶数C．a是偶数，b不是偶数D．a和b都是偶数5、如果命题“非p或非q”是假命题，则下列各结论：①命题“p且q”是真；②命题“p且q”是假；③命题“p或q”是真；④命题“p或q”是假．其中正确的是()．A．①③B．②④C．②③D．①④6、“x2＋(y－2)2＝0”是“x(y－2)＝0”的()．A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7、已知两平面的法向量分别为m＝(0，1，0)，n＝(0，1，1)，则两平面所成的二面角为()A．45°B．135°C．45°或135°D．90°8、在直三棱柱111ABCABC中，∠BCA＝90°，M，N分别是11BA，11AC的中点，BC＝CA＝1CC，则BM与AN所成角的余弦值为()A.110B.25C.3010D.229、若直线l的方向向量与平面的一个法向量的夹角等于120°，则直线l与平面所成的角等于()A．120°B．60°C．30°D．60°或30°10、在正方体1111ABCDABCD中，点E为1BB的中点，则平面1AED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为()A.12B.23C.33D.2211、已知空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若PO＝xAO＋yOB＋zCO(x，y，z∈R)，则“x＝2，y＝－3，z＝2”是“P，A，B，C四点共面”的()A.充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件12、已知长方体1111ABCDABCD中，1AA2AB，若棱AB上存在点P，使得1DPPC，则AD的最大值是()A．12B．32C．2D．1二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分）13、直线x＋y＋m＝0与圆(x－1)2＋(y－1)2＝2相切的充要条件是________．14、设有两个命题：①关于x的不等式210mx的解集是R；②函数()logxmfx是减函数，如果这两个命题中有且只有一个真命题，则实数m的取值范围是________．15、已知四面体P-ABC中，PAB=BAC=PAC＝60°，AB＝1，AC＝2，AP＝3，则AB+AC+AP＝________．16、已知O(0,0,0)，A(1,2,3)，B(2,1,2)，P(1,1,2)，点Q在直线OP上运动，当QA·QB取最小值时，点Q的坐标是________．三、解答题（本大题共6小题，满分70分）17、（本大题10分）已知p：x2－8x－200，q：x2－2x＋1－m20(m0)，若p是q的充分而不必要条件，求正实数m的取值范围．18、（本大题12分）已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，如果(2,1,4)AB，(4,2,0)AD，(1,2,1)AP奎屯王新敞新疆（1）求证：AP是平面ABCD的法向量；（2）求平行四边形ABCD的面积．19、（本大题12分）已知(3,3,1)A，(1,0,5)B，求：（1）线段AB的中点坐标和长度；（2）到,AB两点的距离相等的点(,,)Pxyz的坐标,,xyz满足的条件奎屯王新敞新疆20、（本大题12分）如图，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB＝2，∠BAD＝60°.(1)求证：BD⊥平面PAC；(2)若PA＝AB，求PB与AC所成角的余弦值．21、（本大题12分）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，BF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，BF＝DE，M为棱AE的中点．(1)求证：平面BDM∥平面EFC；(2)若DE＝2AB，求直线AE与平面BDM所成角的正弦值．22、（本大题12分）如图，在三棱锥P­ABC中，AB＝BC＝22，PA＝PB＝PC＝AC＝4，O为AC的中点．(1)证明：PO⊥平面ABC；(2)若点M在棱BC上，且二面角M­PA­C为30°，求PC与平面PAM所成角的正弦值．西安中学高二12月月考试题理科数学答案一、选择题（本大题共12小题，每题5分，满分60分）题号123456789101112答案BDCAABCCCBAD二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分）13、－4或014、m＝0或m≥115、516、43，43，83三、解答题（本大题共6小题，满分70分）17、（本大题10分）已知p：x2－8x－200，q：x2－2x＋1－m20(m0)，若p是q的充分而不必要条件，求正实数m的取值范围．解由命题p得：x10或x－2，由命题q得：x2－2x＋1－m20(m0)⇔[x－(1＋m)]·[x－(1－m)]0⇔x1－m，或x1＋m(m0)．因为p是q的充分而不必要条件，所以p⇒q，且q⇒/p，{x|x10或x－2}⊆{x|x1－m，或x1＋m(m0)}，所以1－m≥－2，1＋m≤10，解得m≤3，m≤9，即m≤3.所以正实数m的取值范围为(0，3]．18、（本大题12分）已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，如果(2,1,4)AB，(4,2,0)AD，(1,2,1)AP奎屯王新敞新疆（1）求证：AP是平面ABCD的法向量；（2）求平行四边形ABCD的面积．（1）证明：∵(1,2,1)(2,1,4)0APAB，(1,2,1)(4,2,0)0APAD，∴APAB，APAD，又ABADA，AP平面ABCD，∴AP是平面ABCD的法向量．（2）222||(2)(1)(4)21AB，222||42025AD，∴(2,1,4)(4,2,0)6ABAD，∴63105cos(,)1052125ABAD，∴932sin110535BAD，∴||||sin86ABCDSABADBAD．19、（本大题12分）已知(3,3,1)A，(1,0,5)B，求：（1）线段AB的中点坐标和长度；（2）到,AB两点的距离相等的点(,,)Pxyz的坐标,,xyz满足的条件奎屯王新敞新疆解：（1）设M是线段AB的中点，则13()(2,,3)22OMOAOB．∴AB的中点坐标是3(2,,3)2，222,(13)(03)(51)29ABd．（2）∵点(,,)Pxyz到,AB两点的距离相等，则222222(3)(3)(1)(1)(0)(5)xyzxyz,化简得：46870xyz,所以，到,AB两点的距离相等的点(,,)Pxyz的坐标,,xyz满足的条件是46870xyz．20、（本大题12分）如图，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB＝2，∠BAD＝60°.(1)求证：BD⊥平面PAC；(2)若PA＝AB，求PB与AC所成角的余弦值．解：(1)证明：因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD.因为PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以PA⊥BD.又因为AC∩PA＝A，所以BD⊥平面PAC.(2)设AC∩BD＝O.因为∠BAD＝60°，PA＝AB＝2，所以BO＝1，AO＝CO＝3.如图，以O为坐标原点，射线OB，OC分别为x轴，y轴的正半轴建立空间直角坐标系O­xyz，则P(0，－3，2)，A(0，－3，0)，B(1,0,0)，C(0，3，0)，所以PB―→＝(1，3，－2)，AC―→＝(0，23，0)．设PB与AC所成角为θ，则cosθ＝|PB―→·AC―→||PB―→||AC―→|＝622×23＝64.即PB与AC所成角的余弦值为64.21、（本大题12分）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，BF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，BF＝DE，M为棱AE的中点．(1)求证：平面BDM∥平面EFC；(2)若DE＝2AB，求直线AE与平面BDM所成角的正弦值．[解](1)证明：连接AC交BD于点N，连接MN，则N为AC的中点，又M为AE的中点，∴MN∥EC.∵MN⊄平面EFC，EC⊂平面EFC，∴MN∥平面EFC.∵BF，DE都与平面ABCD垂直，∴BF∥DE.∵BF＝DE，∴四边形BDEF为平行四边形，∴BD∥EF.∵BD⊄平面EFC，EF⊂平面EFC，∴BD∥平面EFC.又MN∩BD＝N，∴平面BDM∥平面EFC.(2)∵DE⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，∴DA，DC，DE两两垂直，如图，建立空间直角坐标系D­xyz.设AB＝2，则DE＝4，从而D(0,0,0)，B(2,2,0)，M(1,0,2)，A(2,0,0)，E(0,0,4)，∴DB―→＝(2,2,0)，DM―→＝(1,0,2)，设平面BDM的法向量为n＝(x，y，z)，则n·DB―→＝0，n·DM―→＝0，得2x＋2y＝0，x＋2z＝0.令x＝2，则y＝－2，z＝－1，从而n＝(2，－2，－1)为平面BDM的一个法向量．∵AE―→＝(－2,0,4)，设直线AE与平面BDM所成的角为θ，则sinθ＝|cosn，AE―→|＝|n·AE―→||n|·|AE―→|＝4515，∴直线AE与平面BDM所成角的正弦值为4515.22、（本大题12分）如图，在三棱锥P­ABC中，AB＝BC＝22，PA＝PB＝PC＝AC＝4，O为AC的中点．(1)证明：PO⊥平面ABC；(2)若点M在棱BC上，且二面角M­PA­C为30°，求PC与平面PAM所成角的正弦值．解：(1)证明：因为PA＝PC＝AC＝4，O为AC的中点，所以PO⊥AC，且PO＝23.连接OB，因为AB＝BC＝22AC，所以△ABC为等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB＝12AC＝2.所以PO2＋OB2＝PB2，所以PO⊥OB.又因为OB∩AC＝O，所以PO⊥平面ABC.(2)以O为坐标原点，OB―→的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O­xyz.由已知得O(0,0,0)，B(2,0,0)，A(0，－2,0)，C(0,2,0)，P(0,0,23)，AP―→＝(0,2,23)．取平面PAC的一个法向量OB―→＝(2,0,0)．设M(a,2－a,0)(0＜a≤2)，则AM―→＝(a,4－a,0)．设平面PAM的法向量为n＝(x，y，z)，由AP―→·n＝0，AM―→·n＝0，得2y＋23z＝0，ax＋4－ay＝0，令y＝3a，得z＝－a，x＝3(a－4)，所以平面PAM的一个法向量为n＝(3(a－4)，3a，－a)，所以cos〈OB―→，n〉＝23a－423a－42＋3a2＋a2.由已知可得|cos〈OB―→，n〉|＝cos30°＝32，所以23|a－4|23a－42＋3a2＋a2＝32，解得a＝43或a＝－4(舍去)．所以n＝－833，433，－43.又PC―→＝(0,2，－23)，所以cos〈PC―→，n〉＝833＋8334＋12·643＋163＋169＝34.所以PC与平面PAM所成角的正弦值为34.