直线参数方程教案

精锐教育学科教师辅导讲义讲义编号：学员编号：年级：高三课时数：3学员姓名：辅导科目：数学学科教师：课题直线的参数方程授课日期及时段教学目的1：了解直线参数方程的条件及参数的意义2：能根据直线的几何条件,写出直线的参数方程及参数的意义3：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。教学内容知识点检测；1、直线)(sincos为参数tytx与圆)(sin2cos24为参数yx相切，那么直线的倾斜角为（）A．6或65B．4或43C．3或32D．6或652、设直线1l的参数方程为113xtyt（t为参数），直线2l的方程为y=3x+4则1l与2l的距离为_______【考点定位】本小题考查参数方程化为普通方程、两条平行线间的距离，基础题。3、(2009广东理)（坐标系与参数方程选做题）若直线112,:()2.xtltykt为参数与直线2,:12.xslys（s为参数）垂直，则k．二：知识点整理标准形式sincos00tyytxx(t为参数)（1）过定点),(00yxP倾斜角为的直线的参数方程sincos00tyytxx（t为参数）【辨析直线的参数方程】：设M(x,y)为直线上的任意一点，参数t的几何意义是指从点P到点M的位移，可以用有向线段PM数量来表示。带符号.（2）、经过两个定点Q11(,)yx，P22(,)yx(其中12xx)的直线的参数方程为121121(1){xXyyxy为参数，。其中点M(X,Y)为直线上的任意一点。这里参数的几何意义与参数方程（1）中的t显然不同，它所反映的是动点M分有向线段QP的数量比QMMP。当o时，M为内分点；当o且1时，M为外分点；当o时，点M与Q重合。三：经典例题：YLPMNQABOX一、求直线上点的坐标例1．一个小虫从P（1，2）出发，已知它在x轴方向的分速度是−3，在y轴方向的分速度是4，问小虫3s后的位置Q。分析：考虑t的实际意义，可用直线的参数方程x=x0+at，y=y0+bt(t是参数)。解：由题意知则直线PQ的方程是x=1−3t，y=2+4t，其中时间t是参数，将t=3s代入得Q（−8，12）。例2．求点A（−1，−2）关于直线l：2x−3y+1=0的对称点A'的坐标。解：由条件，设直线AA'的参数方程为x=−1−213t，y=−2+313t(t是参数)，∵A到直线l的距离d=513，∴t=AA'=1013，代入直线的参数方程得A'(−3313，413)。点评：求点关于直线的对称点的基本方法是先作垂线，求出交点，再用中点公式，而此处则是充分利用了参数t的几何意义。二、求解中点问题例3．已知双曲线x2−y22=1，过点P（2，1）的直线交双曲线于P1，P2，求线段P1P2的中点M的轨迹方程。分析：中点问题与弦长有关，考虑用直线的参数方程，并注意有t1+t2=0。解：设M(x0，y0)为轨迹上任一点，则直线P1P2的方程是x=x0+tcosθ，y=y0+tsinθ(t是参数)，代入双曲线方程得：(2cos2θ−sin2θ)t2+2(2x0cosθ−y0sinθ)t+(2x02−y02−2)=0，由题意t1+t2=0，即2x0cosθ−y0sinθ=0，得tanθ=2x0y0。又直线P1P2的斜率k=tanθ=y−y0x−x0，点P（2，1）在直线P1P2上，∴1−y02−x0=2x0y0，即2x2−y2−4x+y=0为所求的轨迹的方程。三、求定点到动点的距离例4．直线l过点P(1，2)，其参数方程为x=1−t，y=2+t(t是参数)，直线l与直线2x+y−2=0交于点Q，求PQ。解：将直线l的方程化为标准形式x=1−22t'，y=2+22t'，代入2x+y−2=0得t'=322，∴PQ=|t'|=322。点评：题目给出的直线的参数并不是位移，直接求解容易出错，一般要将方程改成以位移为参数的标准形式。例5．经过点P(−1，2)，倾斜角为4的直线l与圆x2+y2=9相交于A，B两点，求PA+PB和PA·PB的值。解：直线l的方程可写成x=−1+22t，y=2+22t，代入圆的方程整理得：t2+2t−4=0，设点A，B对应的参数分别是t1，t2，则t1+t2=−2，t1·t2=−4，由t1与t2的符号相反知PA+PB=|t1|+|t2|=|t1−t2|=(t1+t2)2−4t1·t2=32，PA·PB=|t1·t2|=4。点评：解决本题的关键一是正确写出直线的参数，二是注意两个点对应的参数的符号的异同。四、求直线与曲线相交弦的长例6．已知抛物线y2=2px，过焦点F作倾斜角为θ的直线交抛物线于A，B两点，求证：AB=2psin2θ。分析：弦长AB=|t1−t2|。解：由条件可设AB的方程为x=p2+tcosθ，y=tsinθ(t是参数)，代入抛物线方程，得t2sin2θ−2ptcosθ−p2=0，由韦达定理：t1+t2=2pcosθsin2θ，t1·t2=−p2sin2θ，∴AB=|t1−t2|=(t1−t2)2−4t1·t2=4p2cos2θsin4θ+4p2sin2θ=2psin2θ。例7．已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，过椭圆左焦点F且倾斜角为60°的直线交椭圆于A，B两点，若FA=2FB，求则椭圆的离心率。分析：FA=2FB转化成直线参数方程中的t1=−2t2或|t1|=2|t2|。解：设椭圆方程为x2a2+y2b2=1，左焦点F1（c，0），直线AB的方程为x=−c+12t，y=32t，代入椭圆整理可得：(14b2+34a2)t2−b2ct−b4=0，由于t1=−2t2，则t1+t2=b2c14b2+34a2=−t2①，t1·t2=−−b414b2+34a2=−2t22②，①2×2+②得：2c2=14b2+34a2，将b2=a2−c2代入，8c2=3a2+a2−c2，得e2=c2a2=49，故e=23。在研究线段的长度或线段与线段之间的关系时，往往要正确写出直线的参数方程，利用t的几何意义，结合一些定理和公式来解决问题，这是直线参数的主要用途；通过直线参数方程将直线上动点坐标用同一参变量t来表示，可以将二元问题转化为一元问题来求解，体现了等价转化和数形结合的数学思想。小结：（1）直线参数方程求法；（2）直线参数方程的特点；（3）根据已知条件和图形的几何性质，注意参数的意义。（四）、巩固训练1.已知过曲线上一点P原点O的直线PO的倾斜角为，则P点坐标是A.（3，4）B.C.（－3，－4）D.2.若圆的方程为（为参数），直线的方程为（t为参数），则直线与圆的位置关系是（）．A.相交过圆心B.相交而不过圆心C.相切D.相离3：化直线1l的普通方程13yx＝0为参数方程，并说明参数的几何意义,说明∣t∣的几何意义.点拨：求直线的参数方程先确定定点，再求倾斜角,注意参数的几何意义.4，求直线为参数）ttytx(11与圆422yx的交点坐标。5：化直线2l的参数方程t313ytx（t为参数）为普通方程，并求倾斜角，说明∣t∣的几何意义.点拨：注意在1、2中，参数t的几何意义是不同的，直线1l的参数方程为tytx21231即65sin65cos1tytx是直线方程的标准形式，(-23)2+(21)2=1,t的几何意义是有向线段MM0的数量.直线2l的参数方程为t313ytx是非标准的形式，12＋(3)2=4≠1，此时t的几何意义是有向线段MM0的数量的一半.（五）、课后作业1.直线的参数方程是（）A.（t为参数）B.（t为参数）C.（t为参数）D.（为参数）2.方程（t为参数）表示的曲线是（）．A.一条直线B.两条射线C.一条线段D.抛物线的一部分3.参数方程（为参数）化为普通方程是（）．A.B.C.D.4.在平面直角坐标系xOy中，点B与点A（-1,1）关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于13.(Ⅰ)求动点P的轨迹方程；(Ⅱ)设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M,N，问：是否存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由。5.已知双曲线x2−y22=1，过点P（4，2）的直线交双曲线于P1，P2，求线段P1P2的中点M的轨迹方程