陕西省西安市2019届高三数学第三次质量检测试题 文（含解析）

西安市2019届高三年级第三次质量检测文科数学一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.集合，，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】首先确定集合A,B，然后进行交集运算即可.【详解】求解函数的值域可知：，求解一元二次不等式可知：，结合交集的定义有：，表示为区间形式即.本题选择D选项.【点睛】本题主要考查集合的表示方法，交集的定义及其应用等知识，意在考查学生的转能力和计算求解能力.2.为虚数单位，在复平面内对应的点在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D【解析】【分析】分子分母同乘以分母的共轭复数，化成的形式，对应的点为，则答案易得.【详解】,对应的点的坐标是，在第四象限．故应选D．【点睛】本题考查的复数的运算和几何意义，是基础题.3.已知，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】，由诱导公式即可求解.【详解】因为，则．故应选C．【点睛】本题考查诱导公式的应用，合理地进行角的变换的解题关键.4.已知向量，，若与垂直，则的值为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由向量垂直可得数量积为，利用坐标运算列出方程，即可解得的值.【详解】因为与垂直，所以，解得．故应选B．【点睛】本题考查向量垂直的坐标表示，是基础题.5.过双曲线的一个焦点作一条与其渐近线垂直的直线，垂足为，为坐标原点，若，则此双曲线的离心率为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】中，,所以且=c，所以.根据题意有：，即离心率.故选C.点睛：本题主要考查双曲线的渐近线及离心率，离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④根据圆锥曲线的统一定义求解．6.在中，角，，的对边分别为，，，若的面积和周长分别为和，，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由三角形的面积和周长公式得出的关系式，再利用角和余弦公式得到关于的方程，可解得的值.【详解】由题意可得，，∴，∴.∵，∴．由余弦定理可得，，解得．故应选A．【点睛】本题考查利用余弦定理和面积公式解三角形.在运用余弦定理时常用到.7.如果执行如图的程序框图，那么输出的值是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】按程序框图的顺序得出循环结构中每次的赋值，可发现的值呈现周期性变化，再结合循环条件可得输出的值.【详解】当时，，时，，当时，，所以的值呈现周期性变化，周期为.当时，的值与时的值相等，即.当时，不成立，输出．故应选D．【点睛】本题考查程序框图的输出结果.8.某小区计划在一正六边形花园内均匀地栽种株花卉，如图所示，则阴影部分能栽种的株数为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由题意得阴影部分与正六边形的面积比等于阴影部分栽种的花卉株数与总的花卉株数之比，则答案易得.【详解】由题意可得阴影部分面积占正六边形面积的，设阴影部分能栽种株，则有，解得．故应选D．【点睛】本题考查几何概型，考查面积概型，属于基础题.9.将正方形沿对角线折起，并使得平面垂直于平面，直线与所成的角为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】将异面直线平移到同一个三角形中，可求得异面直线所成的角.【详解】如图，取，，的中点，分别为，，，则，所以或其补角即为所求的角.因为平面垂直于平面，，所以平面，所以.设正方形边长为，，所以，则.所以.所以是等边三角形，.所以直线与所成的角为．故应选B．【点睛】本题考查异面直线所成的角.10.函数的图象可能是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用已知函数的对称性及特殊点进行判断即可.【详解】函数为奇函数，图象关于原点对称，排除B，当时，，排除A；当时，，排除D．故应选C．【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）从函数的特征点，排除不合要求的图象.11.过抛物线的焦点且与轴垂直的直线与抛物线交于，两点，若三角形的面积为，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由抛物线方程得焦点坐标，得直线的方程，求出点的方程，从而可表示出三角形的面积，解出即可.【详解】过抛物线的焦点且与轴垂直的直线与抛物线的交点为，所以.因为三角形的面积为，所以，解得.故应选B．【点睛】本题考查抛物线的方程和焦点等基本问题.12.若定义在上的函数满足且时，，则方程的根的个数是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由题意作出函数与的图象，两图象的交点个数即为方程的根的个数.【详解】因为函数满足，所以函数是周期为的周期函数.又时，，所以函数的图象如图所示.再作出的图象，易得两图象有个交点，所以方程有个零点．故应选A．【点睛】本题考查函数与方程.函数的零点、方程的根、函数图象与轴交点的横坐标之间是可以等价转化的.二、填空题。13.函数有极值，则的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】三次函数有极值，则有两个不等的实根，则，可解得的取值范围.【详解】由题意可得：.若函数有极值，则一元二次方程有两个不同的实数根，所以，整理可得：，据此可知的取值范围是或．【点睛】本题考查导数与极值.函数的极值点必为导函数的零点，但在导函数的零点处函数不一定取得极值，还需验证导函数验在零点附近的正负.如果三次函数的导函数(二次函数)对应的方程有两个相同的实根，那么三次函数是没有极值的.14.若实数，满足约束条件，则的最大值是________．【答案】【解析】【分析】作出不等式组表示的平面区域，平移目标函数所表示的直线，可得出目标函数的最大值.【详解】画出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示：可变形为，表示斜率为的直线，平移该直线，当直线经过点时，取得最大值，．【点睛】本题考查简单的线性规划问题.15.已知函数，对任意，，将函数的图象向右平移个单位后，所得图象关于原点中心对称，则函数在上的值域为___．【答案】【解析】【分析】先由周期性求得，由平移求得，再求三角函数在区间上的值域.【详解】由题意知函数的周期为，∴，即.将函数的图象向右平移个单位后得：，由其图象关于原点中心对称，故.∵，∴，故.∵，∴.∴，即函数在上的值域为.【点睛】本题考查三角函数的性质，求出三角函数的解析式是解题关键.16.已知正三棱柱的各条棱长都相等，且内接于球，若正三棱柱的体积是，则球的表面积为_____．【答案】【解析】【分析】先由正三棱柱的体积求出棱长，再求出球的半径和表面积.【详解】设，则正三棱柱的体积是，解得，底面正三角形的外接圆半径，所以球的半径，所以球的表面积为．【点睛】本题考查棱柱的体积、球的表面积，几何体与球的切接问题，根据几何体的结构特征求得球的半径是解题关键.三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17.设数列的前项和为，已知．（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)利用可求得，利用可得出是等比数列，则可得到的通项公式.(2)根据的通项公式，可用裂项相消法求和.【详解】（1）因为，①所以当时，，得；当时，.②①②两式相减得，所以.所以数列是以为首项，为公比的等比数列.所以．（2）由（1）得，所以．【点睛】本题考查求数列的通项和前项和.18.某工厂共有名工人，已知这名工人去年完成的产品数都在区间（单位：万件）内，其中每年完成万件及以上的工人为优秀员工，现将其分成组，第组、第组、第组、第组、第组对应的区间分别为，，，，，并绘制出如图所示的频率分布直方图．（1）求的值，并求去年优秀员工人数；（2）选取合适的抽样方法从这名工人中抽取容量为的样本，求这组分别应抽取的人数；（3）现从（2）中人的样本中的优秀员工中随机选取名传授经验，求选取的名工人在同一组的概率．【答案】（1），去年优秀员工人数为；（2）用分层抽样，这组分别应抽取的人数依次为；（3）.【解析】【分析】(1)由频率分布直方图中所有小长方形的面积和为1可求得的值，进而可得优秀员工人数.(2)分层抽样，按比例确定各组应抽取的人数.(3)列出所有的基本事件数和所求事件包含的基本事件数，由古典概型得出概率.【详解】（1）∵，∴.去年优秀员工的人数为．（2）用分层抽样比较合适．第组应抽取的人数为，第组应抽取的人数为，第组应抽取的人数为，第组应抽取的人数为，第组应抽取的人数为．（3）从（2）中人的样本中的优秀员工中，第组有人，记这人分别为，，；第组有人，记这人分别为，，.从这人中随机选取名，所有的基本事件为，，，，，，，，，，，，，，，共有个基本事件．选取的名工人在同一组的基本事件有，,，，，共个，故所求概率为．【点睛】本题考查统计与概率的综合问题，读懂频率分布直方图是正确解题的基础.19.如图，在三棱柱中，平面，是的中点，，，，．（1）证明：；（2）若，求三棱锥的体积．【答案】（1）见证明；（2）【解析】【分析】(1)要证线线垂直，可先证线面垂直，要证线面垂直，又要先从已知的线面垂直和勾股定理中得到线线垂直.(2)三棱锥中，以为底面，则底面积和高易求，则体积可得.【详解】(1)证明：连接.因为在中，，，,所以是等边三角形，．因为在中，，，所以．在中，，所以.又平面且平面，所以.又，所以平面，因为平面，所以．（2）由知为，的中点.由平面，可得，所以.在平面内过点作于点.又，，所以平面.在中，由，可得，即点到平面的距离为.所以三棱锥的体积．【点睛】本题考查立体几何中的垂直证明和体积计算.空间几何体中直线、平面之间的平面与垂直的证明，一般思路是利用转化的思想，在线线平行(垂直)、线面平行(垂直)、面面平行(垂直)之间进行转化.求三棱锥的体积首先要选择恰当的底面和高，使底面积和高容易求得，再利用求体积.20.已知椭圆：经过点，右焦点到直线的距离为．（1）求椭圆的标准方程（2）过点作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于，两点．求证：直线恒过定点．【答案】（1）（2）见证明【解析】【分析】(1)由题意列出关于的方程组，解得的值，即可得椭圆的标准方程.(2)设出直线的方程，代入椭圆方程，可求得点的坐标，由即可证得直线恒过定点.【详解】（1）由题意知，，，，解得，，．所以椭圆的标准方程为．（2）证明：显然直线的斜率存在．设直线的方程为，联立方程组得，解得，，所以，．由垂直，可得直线的方程为.用替换前式中的，可得，.则，，所以，故直线恒过定点．【点睛】本题考查椭圆的综合问题.求椭圆方程的方法一般是解关于的方程组，是简单题.要证明过两点的直线恒过第三点，相当于证明三点共线，可由用任意两点求得的斜率相等来证.21.已知，函数．（1）当时，求曲线在处的切线方程.（2）是否存在实数，使得恒成立？若存在，求实数的取值集合；若不存在，请说明理由．【答案】（1）.（2）存在实数，使得恒成立，的取值集合为．【解析】【分析】(1)由斜率等于导数值求切线方程.(2)恒成立，则的最小值恒大于等于，从而可求得的取值集合，若无解则不存在满足条件的实数.【详解】（1）当时，，，，，所以曲线在处的切线方程为，即．（2）假设存在实数，使得恒成立.，令，又，则，所以有两个不等根，，，不妨设.所以在上递减，在上递增.所以成立.因为，所以，所以．令，，所以在上递增，在上递减.所以.又，所以，.代入，得，所以存在实数，使得恒成立，的取值集合为．【点睛】本题考查函数与导数的综合问题.由导数的几何意义求切线方程，恒成立问题一般可转化为最值问题.22.极坐标系与直角坐标系有相同的长度单位，以原点为极点，以轴正半轴为极轴，曲线的极坐标方程为，曲线的参数方程为（是参数）．（1）求的直角坐标方程和的普通方程；（2）若与有两个不同的公共点，，求．【答案】（1）的直角坐标方程为，的普通方程为；（2）【解析】【分析】(1)在极坐标方程中凑出，分别替换为即可化得直角坐标方程.把参数方程中的消去即可得普通方程.(2)为双曲线，为直线，求直线和