陕西省2019年中考数学解答专项 面积平分问题练习

面积平分问题1.问题探究在矩形ABCD中，AD＝a，AB＝b(ba)，P为AB边上一点，且PB＝m(ma)，在CD边上有两点M、N.(1)如图①，求证：△MPB的面积与△NPB的面积相等；(2)如图②，延长AB到点S，使BS＝PB，以BS为边在直线AB上方作正方形BSRQ，连接AR、AQ、AC、CR，若△ACR的面积等于矩形ABCD面积的14，试确定a、b、m的关系；第1题图问题解决(3)如图③，有一片矩形绿地ABCD，现要修建一条高速公路，该公路要占用绿地△ABE，按照施工要求，高速公路的边缘AE不能超过BC的中点，为补偿占用的绿地，试在AE的延长线上找出一点F，使四边形ADCF的面积与原矩形ABCD的面积相等，试在图③中画出图形并说明理由．(1)证明：如解图①，∵△MPB与△NPB同底等高，∴S△MPB＝S△NPB；第1题解图①(2)解：S△ACR＝S△ACQ＋S△AQR＋S△CQR＝12b(a－m)＋12m2＋12m(a－m)＝12(ab＋am－bm)，∵S△ACR＝14S矩形ABCD，∴12(ab＋am－bm)＝14ab，∴ab＋2am－2bm＝0；(3)解：如解图②，连接AC，过点B作BF∥AC交AE的延长线于点F，连接CF.第1题解图②设AC到BF的距离为h，则S△ABC＝12AC·h，S△ACF＝12AC·h，∴S△ABC＝S△ACF，∴S△ABE＝S△CEF，∴S矩形ABCD＝S四边形ADCF.2.问题探究(1)如图①，在△ABC中，AD是BC边上的中线，若△ABC的面积为S，则△ACD的面积为________；(2)在图②中，当点E、F分别是平行四边形ABCD的边AB、BC的中点时，记四边形BEDF的面积为S1；当点E、F分别在平行四边形ABCD的边AB、BC上时，且满足AE＝13AB，BF＝13BC，记此时的四边形BEDF的面积为S2.证明：S1＝S2；(3)如图③，在矩形ABCD中，AB＝nBC(n为常数，且n＞0)，点E是AB边上任意一点，点F是BC边上任意一点，若四边形BEDF的面积始终等于矩形面积的12，请探究线段AE、BF应满足怎样的数量关系，并说明理由．第2题图(1)解：12S；【解法提示】∵AD为△ABC中BC边的中线，∴DC为BC的一半，由图可知△ABC与△ADC同高，又知△ABC的面积为S，∴S△ACD＝12S；(2)证明：如解图①，连接BD,当点E、F分别为AB、BC上的中点，第2题解图①由(1)可知S△BED＝12S△ABD，S△BDF＝12S△BCD，又∵根据平行四边形的性质可知S△ABD＝S△BCD＝12S▱ABCD，∴S1＝S△BED＋S△BDF＝12S▱ABCD，当点E、F分别在平行四边形ABCD的边AB、BC上时，且满足AE＝13AB，BF＝13BC，∴BE＝23AB，则S△BDE＝23S△ABD，S△BFD＝13S△BCD，又∵S△ABD＝S△BCD＝12S▱ABCD，∴S2＝S△BDE＋S△BFD＝12S▱ABCD.综上所述，可证：S1＝S2；(3)解：如解图②，连接BD，第2题解图②由题意可知四边形BEDF的面积始终等于矩形面积的12，即根据等面积可知：AB·BC＝2(12BE·AD＋12BF·AB)，∵AB＝nBC，∴AB·BC＝2(12BE·1nAB＋12BF·AB)＝BE·1nAB＋BF·AB，∴BC＝1nBE＋BF，∴1nAB＝1nBE＋BF，∴AE＝nBF.