山西省长治市第二中学2019-2020学年高二数学上学期第一次月考试题 理

山西省长治市第二中学2019-2020学年高二数学上学期第一次月考试题理【本试卷满分150分，考试时间为120分钟】第Ⅰ卷（选择题60分）一、选择题：本大题共12小题,每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1．下列命题正确的是()A．棱柱的侧面都是长方形B．棱柱的所有面都是四边形C．棱柱的侧棱不一定相等D．一个棱柱至少有五个面2．下列推理错误的是()A．,,,AlABlBlB．,,,AABBABC．,lAlAD．,AllA3．已知正四棱柱1111ABCDABCD中，12AAAB,E为1AA的中点，则异面直线BE和1CD所成角的余弦值为()A．1010B．31010C．15D．354．已知ABC的平面直观图'''ABC是边长为a的正三角形，那么原ABC的面积为()A．232aB．234aC．262aD．26a5．如果三点1,5,2A，2,4,1B，,3,2Cab在同一条直线上，则()A．3,2abB．6,1abC．3,3abD．2,1ab6．若,mn是两条不同的直线，,,是三个不同的平面：①//,mnmn；②//,,//mnmn③//,//,mnmn；④若,,//mnmn，则//.则以上说法中正确的个数为()A．1B．2C．3D．47．已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且6AB，23BC，则棱锥OABCD的体积为()A．83B．6C．43D．88．圆台的两个底面面积之比为4:9，母线与底面的夹角是60，轴截面的面积为1803，则圆台的母线长l()A．63B．62C．123D．129．已知平面平面，l，点,AAl，直线//ABl，直线ACl，直线//,//mm，则下列四种位置关系中，不一定成立的是()A．//ABmB．ACC．//ABD．ACm10．某几何体的三视图如图所示(实线部分)，若图中小正方形的边长均为1，则该几何体的体积是()A．28π3B．32π3C．52π3D．56π311．如图，在正三棱柱111ABCABC中，2AB,123AA，D，F分别是棱AB，1AA的中点，E为棱AC上的动点，则DEF的周长的最小值为()A．222B．232C．62D．7212．如图，已知矩形ABCD中，2ABAD,E为边AB的中点，将ADE沿直线DE翻折成1ADE，若M是线段1AC的中点，则ADE在翻折过程中，下列命题：①线段BM的长是定值；②存在某个位置，使1DEAC;③点M的运动轨迹是一个圆；④存在某个位置，使得MB面1ADE．正确的个数是()A．1B．2C．3D．4第Ⅱ卷（非选择题90分）二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分。13．一个几何体的表面展开图如图，该几何体中与“数”字面相对的是“______”字面．14．《九章算术》卷5《商功》记载一个问题“今有圆堡壔（dǎo）,周四丈八尺，高一丈一尺.问积几何？”意思是：今有圆柱形土筑小城堡，底面周长为四丈八尺，高一丈一尺，则它的体积是_____________立方尺.（取3，1丈10尺）15．已知平面外两点,AB到平面的距离分别是2和22，,AB在平面内的射影之间的距离为6，则线段AB的长度为_______16．在正三棱锥SABC中，点M是SC的中点，且AMSB，底面边长22AB，则正三棱锥SABC的外接球的表面积为____________三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17．（10分）如图，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO平面ABCD，E是PC的中点。（1）求证：PA∥平面BDE；（2）求证：平面PAC⊥平面BDE。PACB18．（12分）如图，三棱锥PABC中，底面ABC是边长为4的正三角形，PAPC，4PB，面PAC面ABC。（1）求证：ACPB；（2）求三棱锥APBC的体积．19．（12分）如图，长方体1111ABCDABCD中，116,10,8ABBCAA，点,EF分别在1111,ABDC上，114AEDF.过点,EF的平面与此长方体的面相交，交线围成一个正方形。（1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）；（2）求平面把该长方体分成的两部分体积的比值。20．（12分）如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，60ABC，PAABBC，E是PC的中点．（1）求PB和平面PAD所成的角的大小；（2）求二面角APDC的正弦值．21．（12分）如图，在正方体1111ABCDABCD中，,,EFG分别是1,,ABCCAD的中点。（1）求异面直线1BE与BG所成角的余弦值；（2）棱CD上是否存在点T，使得//AT平面1BEF？请证明你的结论。22．（12分）如图，在四棱锥PABCD中，ABCD是边长为2的菱形，且60DAB，,4PBPCPD，,EF分别为,ADPA的中点。（1）证明：AD平面BEF；（2）若二面角PADB的大小是30，求点D到平面PBC的距离。2019—2020学年第一学期高二第一次月考数学答案（理科）1~5．DCBCA6~10．BADBA11~12．DB13.学14.211215.2226或16.1217(1)证明连接OE，如图所示．∵O、E分别为AC、PC的中点，∴OE∥PA.∵OE⊂面BDE，PA⊄面BDE，∴PA∥面BDE.............................................5分(2)证明∵PO⊥面ABCD，∴PO⊥BD.在正方形ABCD中，BD⊥AC，又∵PO∩AC＝O，∴BD⊥面PAC.又∵BD⊂面BDE，∴面PAC⊥面BDE......................10分18.(1)取AC的中点D，连接PD,BD.在PAC中，PA=PC,PDAC,在ABC中，BA=BC,,BDAC又PDBDD,ACPDB面,PBPDB面,ACPB..........................6分2PACABC面面，PACABCAC面面,由(1)知PDAC，PDABC面,APBCPABCVV13ABCPDS在ABC中,BA=BC=4,23,BDPDABC面,BDABC面,PDBD,又4PB,2PD,在PAC中,PA=PC,PDAC,22PC,易知,43ABCS,APBCPABCVV13ABCPDS=18324333........................12分19.(1)交线围成的正方形EFGH如图所示：.......................6分.(2)作EMAB，垂足为M，则1114,12,8AMAEEBEMAA,因为EFGH是正方形，所以EH=EF=BC=10,于是226,10,6MHEHEMAHHB故11(410)8562AEHAS四边形,..11(126)8722EBBHS四边形.,因为长方体被平面分成两个高为10的直棱柱，所以其体积的比值为97：（或者79：）................................................12分20.(1)解在四棱锥P—ABCD中，因为PA⊥底面ABCD，AB⊂平面ABCD，故PA⊥AB.又AB⊥AD，PA∩AD＝A，从而AB⊥平面PAD，故PB在平面PAD内的射影为PA，从而∠APB为PB和平面PAD所成的角．在Rt△PAB中，AB＝PA，故∠APB＝45°.所以PB和平面PAD所成的角的大小为45°.................................................4分(2)证明在四棱锥P—ABCD中，因为PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，故CD⊥PA.由条件CD⊥AC，PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC.又AE⊂平面PAC，∴AE⊥CD.由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA.∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.又PC∩CD＝C，综上得AE⊥平面PCD................................................8分过点E作EM⊥PD，垂足为M，连接AM，如图所示．由(2)知，AE⊥平面PCD，AM在平面PCD内的射影是EM，则可证得AM⊥PD.因此∠AME是二面角A—PD—C的平面角．由已知，可得∠CAD＝30°.设AC＝a，可得PA＝a，AD＝233a，PD＝213a，AE＝22a.在Rt△ADP中，∵AM⊥PD，∴AM·PD＝PA·AD，则AM＝PA·ADPD＝a·233a213a＝277a.在Rt△AEM中，sin∠AME＝AEAM＝144.所以二面角A—PD—C的正弦值为144........................12分21.解：(1).连接BD,1BD,1CD,因为E,G分别为AB,AD的中点，所以//EGBD,又因为11//BDBD,所以11CBD为异面直线EG与1BC所成角，在11CBD中，因为1111CBBDCD,所以1160CBD.........4分(2).在棱CD上取点T，使得DT=14DC,则//AT平面1BEF，.........5分证明如下：延长BC，1BF交于H，连EH交DC于K，因为11//CCBB,F为1CC的中点，所以C为BH中点。因为//CDAB,所以//KCAB,且KC=1124EBCD,因为DT=14DC,E为AB中点，所以TK//AE且TK=AE,即四边形AEKT为平行四边形，所以AT//EK,即AT//EH,又11,EHBEFATEF面面B,所以//AT平面1BEF......................12分22、（1）取BC的中点G，连接GD,GP,BD,在BCD中，BC=CD,60DCBDAB,所以BCD为正三角形，又因为G是BC中点，BCDG,因为PBPC,所以BCPG,又DGPGG,故BCDGP面,因为E,F分别为AD,PA的中点，所以//,//EFPDBEDG,又BEEFE,所以平面//BEFPDG面,又//ADBC,故ADBEF面......................4分（2）因为ADBEF面，所以,ADEFADBE.则FEB为二面角P—AD—B的平面角，即30FEB，因为PD=4,所以EF=2,因为AB=2AE=2,且60DAB,所以3BE,BF=1,且BFBE,因为ADBEF面，所以ADBF,所以BFABCD面,所以三棱锥P—BCD的高为2.于是三棱锥P—BCD的体积1123232323PBCDV,......................6分在ABF中，BF=1,AB=2,BFAB,所以5AF,2cos5FAB,则在ABP中，222222252225,2,cos252252PBAPABPBAPABPABAPAB所以22PBPC,于是PBC的面积221222172PBCS设点D到平面PBC的距离为d，三棱锥P—BCD的体积与三棱锥D—PBC的体积相等。所以1237d33，故221d7........................12分