山西省运城市康杰中学2018-2019学年高一数学上学期期中试题（含解析）

2018-2019学年山西省运城市康杰中学高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合A＝{x|x2－4x＋30},B＝{x|2x－30},则A∩B＝A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由不等式的解法，化简集合，再由交集的定义，即可得到所求集合.【详解】集合,则，故选D.【点睛】本题主要考查了集合的交集的求解问题，其中正确求解集合，熟记集合交集的运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.2.下列函数是奇函数的为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用奇函数的定义进行判定.【详解】利用奇偶函数的定义可以得知，既不是奇函数也不是偶函数；为偶函数；为奇函数；既不是奇函数也不是偶函数.故选C.【点睛】本题主要考查函数奇偶性的判定.一般是先求解函数的定义域，再利用函数奇偶性的定义进行判定.3.幂函数的图象经过点，则该幂函数的解析式为（）．A.B.C.D.【答案】B【解析】分析：设，代入已知即得详解：设，∵其图象过点，∴，，即．故选B．点睛：幂函数的解析式是，只要把已知条件代入即可求解，象求指数函数、对数函数、幂函数、三角函数、二次函数等解析式问题，如果已知函数的形式，可直接用待定系数法求解．4.函数f（x）=lnx-x2的零点个数为（）A.0B.1C.2D.3【答案】A【解析】【分析】分别作出的图像，观察两个图像交点的个数，可得函数零点个数.【详解】分别作出的图像，如图：，可以看出，两个函数的图像没有交点，所以选A.【点睛】本题主要考查函数零点的个数判定.一般求解思路有两个：一是直接求解函数的所有零点；二是结合函数图像来判定.5.已知集合A={1，2，3，4，5}，B={（x，y）|x∈A，y∈A，x＜y，x+y∈A}，则集合B中的元素个数为（）A.2B.3C.4D.5【答案】C【解析】【分析】理解集合B中元素的特点，可以列举出它的所有元素.【详解】因为x∈A，y∈A，x＜y，x+y∈A，所以集合，共4个元素，故选C.【点睛】本题主要考查集合的表示方法，明确代表元素的含义是确定集合元素的首要条件.6.下列函数中在定义域上单调递减的是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】结合初等函数的定义域及单调性来判断.【详解】对于函数，的单调性取决于的大小；对于不能说在定义域上单调递减，只能说在区间和上分别单调；函数为减函数，为增函数，所以为减函数.故选B.【点睛】本题主要考查函数的单调性.熟记学习的基本初等函数的单调性是解决本题的关键.7.函数y=loga（-x）（a＞0且a≠1）与函数y=ax（a＞0且a≠1）在同一坐标系内的图象可能是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据图像形状可以区分出指数函数与对数函数的类型，结合对函数的影响可以求得.【详解】当时，和均为增函数，而的图像和的图像关于y轴对称，结合选项可得A.【点睛】本题主要考查指数函数和对数函数图像的识别.底数的值对函数的单调性起决定作用，应该从进行分析.8.函数f（x）=值域为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先求出指数的范围，结合指数函数单调性求出值域.【详解】令，为减函数，所以，结合可得C选项.【点睛】本题主要考查复合型函数的值域问题.主要思路是利用换元法把复合函数拆分为简单的初等函数，各个击破.9.设，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】构造函数，利用函数单调性，比较大小.【详解】,.所以，故选C.【点睛】本题主要考查数值的比较大小.一般求解思路有：一是利用中间值（0或1）比较大小；二是在函数图像上找到对应的点，比较点的纵坐标的大小.10.已知函数，若f（2-a2）＞f（a），则实数a的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】作出函数的图像，观察得出单调性，利用单调性求解的范围.【详解】作出函数的图像如图，，从图像可以得出，函数为减函数，所以，解得或，故选D.【点睛】本题主要考查利用分段函数值的大小求解范围问题.一般是利用函数的单调性把函数值的大小关系转化为自变量的大小关系，从而可得.11.已知偶函数f(x)＝loga|x－b|在(－∞，0)上单调递增，则f(a＋1)与f(b＋2)的大小关系是()A.f(a＋1)≥f(b＋2)B.f(a＋1)＜f(b＋2)C.f(a＋1)≤f(b＋2)D.f(a＋1)＞f(b＋2)【答案】D【解析】因为函数f(x)＝loga|x－b|为偶函数，则f(－x)＝f(x)，而f(－x)＝loga|－x－b|＝loga|x＋b|，所以loga|x－b|＝loga|x＋b|，即|x－b|＝|x＋b|，所以b＝0，故f(x)＝loga|x|.因为当x∈(－∞，0)时，f(x)＝loga|x|＝loga(－x)，其中y＝－x为减函数，而已知f(x)在(－∞，0)上单调递增，所以0＜a＜1，故1＜a＋1＜2，而b＋2＝2，故1＜a＋1＜b＋2.又因为偶函数f(x)在(－∞，0)上单调递增，所以在(0，＋∞)上单调递减，故f(a＋1)＞f(b＋2)，选D.点睛：1、函数为偶函数，求解析式中字母的值有两种方法：①；②特殊的实数；2、对于求值或范围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f”，转化为解不等式(组)的问题，若f(x)为偶函数，则f(－x)＝f(x)＝f(|x|)．12.已知函数f（x）=log2x-2log2（x+c），其中c＞0．若对于任意的x∈（0，+∞），都有f（x）≤1，则c的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】先根据对数运算化简，利用对数函数单调性，转化为恒成立问题，再利用均值定理求解.【详解】因为，为增函数，所以可化为，即在x∈（0，+∞）恒成立，而，所以，即，当且仅当时，等号成立.故选D.【点睛】本题主要考查利用均值定理求解恒成立的问题.利用均值定理求解最值时，注意定理的使用条件，“一正，二定，三相等”，特别注意等号的验证.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.lg0.01＋log216＝_____________.【答案】2【解析】lg0.01＋log216＝－2＋4＝2考点：本题考查对数的概念、对数运算的基础知识，考查基本运算能力.【此处有视频，请去附件查看】14.已知函数f（x）的定义域为[-1，2]，则函数y=的定义域为______．【答案】[-）∪（0，1]【解析】【分析】利用抽象函数的定义域求解方法求解.【详解】因为函数f（x）的定义域为[-1，2]，所以，即的定义域为.注意到分母不为零，所以y=的定义域为.【点睛】本题主要考查抽象函数的定义域求解.若的定义域为D，则利用,可以求得的定义域.15.已知f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=|x-a2|-a2且对任意x∈R，恒有f（x+1）≥f（x），则实数a的取值范围为______．【答案】[-]【解析】【分析】利用奇函数的图像对称性，画出函数的图像，结合图像特征求解.【详解】x≥0时，f（x）=|x-a2|-a2，作出函数的图像如图，.当时，的最大值为.因为对任意x∈R，恒有f（x+1）≥f（x），所以，解得.所以答案为[-].【点睛】本题主要考查函数的图像与性质，利用图像求解恒成立问题.数形结合能简化运算，事半功倍.16.已知，若存在实数，使函数有两个零点，则的取值范围是.【答案】【解析】试题分析：分析题意可知，问题等价于方程与方程的根的个数和为，若两个方程各有一个根：则可知关于的不等式组有解，∴，从而；若方程无解，方程有2个根：则可知关于的不等式组有解，从而，综上，实数的取值范围是.考点：1.函数与方程；2.分类讨论的数学思想.【名师点睛】本题主要考查了函数的零点，函数与方程等知识点，属于较难题，表面上是函数的零点问题，实际上是将问题等价转化为不等式组有解的问题，结合函数与方程思想和转化思想求解函数综合问题，将函数的零点问题巧妙的转化为不等式组有解的参数，从而得到关于参数的不等式，此题是创新题，区别于其他函数与方程问题数形结合转化为函数图象交点的解法，从另一个层面将问题进行转化，综合考查学生的逻辑推理能力.三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知集合A={x|a-1≤x≤2a+1}，B={x|0≤x≤1}，若A∩B=∅且A≠∅，求实数a的取值范围．【答案】[-2，）∪（2，+∞）【解析】【分析】从A∩B=∅入手，结合数轴求得a的范围，注意A≠∅对a的影响.【详解】由A≠∅，集合A={x|a-1≤x≤2a+1},那么a-1≤2a+1，得a≥-2；B={x|0≤x≤1}，∵A∩B=∅,∴a-1＞1或2a+1＜0，解得：a＞2或a；∵a≥-2；故得实数a的取值范围是[-2，）∪（2，+∞）．【点睛】本题主要考查利用集合的交集运算求解参数.结合数轴求解能简化过程.18.解不等式．【答案】【解析】【分析】从幂函数的性质入手，注意定义域.【详解】由，得①，或②，③，解①得：x∈∅；解②得：；解③得：；∴不等式的解集为．【点睛】本题主要考查利用幂函数的奇偶性和单调性求解范围，不要忽视定义域.19.是否存在实数，使得函数在区间上的最大值为14？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.【答案】.【解析】试题分析：令，分为和两种情形，由的范围得到新的变量的范围，故转化为二次函数在给定区间内求最值.试题解析：令，则，开口向上，对称轴为，当时，，故函数在上单调递增，故，解得或（舍去）当时，，故函数在上单调递增，故，解得或（舍去）综上所述：的值为.考点：二次函数的性质.【方法点睛】本题主要考查了换元法以及二次函数在给定区间内的最值问题，注重对基础的考查，难度一般；换元法的作用是利用整体代换，常设，转化为一元二次方程、二次函数等问题，要注意换元后的取值范围；二次函数在给定区间内求最值主要是根据所给区间与二次函数对称轴的关系，判断函数在该区间上的单调性，得其最值.20.已知a是实数，函数f（x）=2ax2+2x-3-a，如果函数y=f（x）在区间[-1，1]上有零点，求a的取值范围．【答案】【解析】试题分析：当a＝0时，易得；当a≠0时，①函数在区间[－1,1]上只有一个零点;②函数在区间[－1,1]上有两个零点两种情况.试题解析：当a＝0时，函数f(x)＝2x－3的零点x＝∉[－1,1]．当a≠0时，函数f(x)在[－1,1]上的零点可能有一个与两个这两种情况．①函数在区间[－1,1]上只有一个零点，则有或解得1≤a≤5或a＝.②函数在区间[－1,1]上有两个零点，则有或解得a＜或a≥5.综上，得a的取值范围是∪[5，＋∞)．点睛：二次函数根的分布问题主要是依据数形结合，讨论函数的图象，一般要讨论的因素有：二次项系数和0的关系；对称轴的位置，区间端点处的函数值和0的关系；判别式和0的关系.21.已知函数f（x）定义域为R，f（1）=2，f（x）≠0，对任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）•f（y），当x＞0时，f（x）＞1；（1）判断f（x）在R上的单调性，并证明；（2）解不等式f（x）f（x-2）＞16．【答案】（1）见解析；（2）（3，+∞）.【解析】【分析】(1)利用函数单调性的定义证明，利用任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）•f（y）构造出定义式的结构.（2）利用f（x+y）=f（x）•f（y）把f（x）f（x-2）化成f（x+x-2）,求出f（4）=16，结合单调性求解.【详解】（1）f（x）在R上单调递增，证明如下：∴；不妨设x1＞x2，则x1-x2＞0；又x＞0时，f（x）＞1；∴f（x1-x2）＞1；∴；∵；∴f（x1）＞f（x2）；∴f（x）在R上单调递增；（2）∵f（1）=2，∴f（2）=f（1+1）=f2（1）=4；∴f（4）=f（2+2）=f2（2）=16；∴f（x）f（x-2）＞16可化为f（2x-2）＞f（4）；由（1）知，f（x）在R上单调递增；∴2x-2＞4；∴x＞3；∴原不等式的解集为（3，+∞）．【点睛】本题主要考查抽象函数