山西省忻州市静乐一中2019届高三数学下学期第四次月考试题 理

O5101520频率组距重量0.060.1静乐一中2019学年第二学期高三年级第四次月考数学试题（理）一、选择题：（本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.若复数z满足iiz54（i为虚数单位），则z的共轭复数为（）A．i45B．i45C．i45D．i452.设集合2log(1)0,2MxxNxx，则MN（）A．22xxB．2xxC．2xxD．12xx3．右图是一容量为100的样本的重量的频率分布直方图，则由图可估计样本重量的中位数为（）A．11B．11.5C．12D．12.54.公元263年左右，我国数学家刘徽发现，当圆内接多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，由此创立了割圆术，利用割圆术刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值3.14，这就是著名的徽率.如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，则输出的n值为（）参考数据：31.732，sin150.2588，sin7.50.1305.A.12B.24C.48D.965．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（）A．23B．3C．29D．1696.已知4a，e为单位向量，当ea,的夹角为120时，ea在ea上的投影为（）A．5B．415C．131315D．72157.(1)nx的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（）A．122B．112C．102D．928．已知函数()3sincosfxxx，把函数()fx的图象向右平移3个单位，再把图象的横坐标缩小到原来的一半，得到函数()gx的图象，当0,2x时，方程()0gxk有两个不同的实根，则实数k的取值范围为（）A．1,3B．3,2C．1,2D．1,29.已知函数yfx的定义域为0，，当1x时，0fx，对任意的0xy，，，fxfyfxy成立，若数列na满足11af，且*121Nnnfafan，则2017a的值为（）A．201421B．201521C．201621D．20172110.如图所示，某几何体由底面半径和高均为5的圆柱与半径为5的半球面对接而成，该封闭几何体内部放入一个小圆柱体，且圆柱体的上下底面均与外层圆柱的底面平行，则小圆柱体积的最大值为（）A．20009B．400027C．81D．12811.如图，已知双曲线2222:1xyCab(0,0)ab的右顶点为,AO为坐标原点，以A为圆心的圆与双曲线C的一条渐近线交于两点P，Q，若060PAQ，且3OQOP，则双曲线C的离心率为（）A．72B．333C．296D．312.已知函数12,0(),()421,()ln,0xxxxxefxgxaaaaRxxx，若(())fgxe对xR恒成立（e是自然对数的底数），则a的取值范围是（）A．1,0B．1,0C．2,0D．1,02二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.某校高三科创班共48人，班主任为了解学生高考前的心理状况，将学生按1至48的学号用系统抽样方法抽取8人进行调查，若抽到的最大学号为48，则抽到的最小学号为______．14.设函数2()(0)fxaxba，若200()2()fxdxfx，00x，则0x等于______．15.已知数列na中，111,,(2,)nnaaannnN，设12321111nnnnnbaaaa，若对任意的正整数n，当[1,2]m时，不等式213nmmtb恒成立，则实数t的取值范围是______．16.已知24yx的准线交x轴于点Q，焦点为F，过Q且斜率大于0的直线交24yx于,AB，060AFB，则AB______．三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（本小题满分12分）已知向量2(cos,1),(3sin,cos)222xxxmn，设函数()1fxmn（Ⅰ）求函数()fx的单调递增区间；（Ⅱ）在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足226cosababC，2sin2sinsinCAB，求()fC的值．18．（本小题满分12分）某单位从一所学校招收某类特殊人才．对20位已经选拔入围的学生进行运动协调能力和逻辑思维能力的测试，其测试结果如下表：例如，表中运动协调能力良好且逻辑思维能力一般的学生有4人．由于部分数据丢失，20位参加测只知道从这试的学生中随机抽取一位，抽到运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学25．生的概率为(Ⅰ)求a，b的值；(Ⅱ)从参加测试的20位学生中任意抽取2位，求其中至少有一位运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生的概率；(Ⅲ)从参加测试的20位学生中任意抽取2位，设运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生人数为，求随机变量的分布列及其数学期望E．19．（本小题满分12分）如图，在三棱锥ABCP中，PA底面ABC，ACBC，H为PC的中点，M为AH的中点，2PAAC，1BC.（Ⅰ）求PM与平面AHB成角的正弦值；（Ⅱ）在线段PB上是否存在点N，使得//MN平面ABC.若存在，请说明点N的位置，若不存在，请说明理由.20．（本小题满分12分）如图，设椭圆1C：22221(0)xyabab，长轴的右端点与抛物线2C：28yx的焦点F重合，且椭圆1C的离心率是32．（Ⅰ）求椭圆1C的标准方程；（Ⅱ）过F作直线l交抛物线2C于A，B两点，过F且与直线l垂直的直线交椭圆1C于另一点C，求ABC面积的最小值，以及取到最小值时直线l的方程．21.（本小题满分12分）已知函数2()1fxax．(1)若()1,()xxfxxagxe，证明：当5x时,()1gx；(2)设()1()1xfxhxe，若函数()hx在(0,)上有2个不同的零点，求实数a的取值范围．一般良好优秀一般221良好4b1优秀13aABCPHM逻辑思维能力运动协调能力请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题共10分）在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的参数方程为11xtyt，（t为参数），曲线C的普通方程为22215xy，点P的极坐标为722,4．（I）求直线l的普通方程和曲线C的极坐标方程；（II）若将直线l向右平移2个单位得到直线l，设l与C相交于,AB两点，求PAB的面积．23．（本小题共10分）设()|3||4|.fxxx（Ⅰ）求函数)(2)(xfxg的定义域；（Ⅱ）若存在实数x满足()1fxax，试求实数a的取值范围.静乐一中2019学年第二学期高三年级第四次月考数学试题（理）题号123456789101112答案ADCBDDDDCBAA13.6,14.233,15.1t,16.17.（1）2311()3sincoscos1sincos222222xxxfxxx1sin62x令222,22()26233kxkkxkkZ6分所以所求增区间为2[2,2]()33kkkZ7分（2）由226cosababC，2sin2sinsinCAB，22cab8分2226cos2cos3cos122abcabCabCCabab，即1cos2C10分又∵0C，3C11分()()13fCf12分18．解析：(Ⅰ)设事件A：从20位学生中随机抽取一位，抽到运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生．由题意可知，运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生共有(6)a人．则62()205aPA．解得2a．所以4b……………4分(Ⅱ)设事件B：从20人中任意抽取2人，至少有一位运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生．由题意可知，至少有一项能力测试优秀的学生共有8人．则21222062()1()195CPBPBC．……………7分（Ⅲ）的可能取值为0，1，2．20位学生中运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生人数为8人．所以21222033(0)95CPC，1112822048(1)95CCPC，2822014(2)95CPC．所以的分布列为所以，0E33951489521495764955．……………12分19．（Ⅱ）解：在平面ABC中，过点A作，BCAD//因为BC平面PAC，所以AD平面PAC，由PA底面ABC，得PA，AC，AD两两垂直，………………1分所以以A为原点，AD，AC，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴如012P339548951495ABCPHM图建立空间直角坐标系，则(0,0,0)A，(0,0,2)P，(1,2,0)B，(0,2,0)C，(0,1,1)H，11(0,,)22M.设平面AHB的法向量为(,,)xyzn，因为(0,1,1)AH，(1,2,0)AB，由0,0,AHABnn得0,20,yzxy令1z，得(2,1,1)n.………………4分设PM与平面AHB成角为，因为)23,21,0(PM，所以1320(1)1()22sincos,562PMPMPMnnn，即215sin15.………………7分（Ⅲ）解：因为(1,2,2)PB，设PNPB，所以(,2,2)PN，又因为13(0,,)22PM，所以13(,2,2)22MNPNPM.因为//MN平面ABC，平面ABC的法向量(0,0,2)AP，所以340MNAP，解得43.-----11即点N是靠近点B的四等分点……………12分20．【解析】（Ⅰ）∵椭圆1C：22221(0)xyabab，长轴的右端点与抛物线2C：28yx的焦点F重合，∴2a，又∵椭圆1C的离心率是32，∴3c，1b，∴椭圆1C的标准方程为2214xy．……………………………………………..4分（Ⅱ）过点2,0F的直线l的方程设为2xmy，设11,Axy，22,Bxy，联立22,{8,xmyyx得28160ymy，∴128yym，1216yy，∴22212121481ABmyyyym．过F且与直线l垂直的直线设为2ymx，联立222,{1,4ymxxy得222214161640mxmxm，ABCPHMNzxyD2216214Cmxm，故2224141Cmxm，∴22241141CFCFmxxmm，ABC面积22216111241mSABCFmm．令21mt，则321643tSftt，42221649'43ttftt，令'0ft，则294t，即2914m时，ABC面积最小，即当52m时，ABC面积的最小值为9，此时直线l的方程为522xy．……………………………………..12分21.（1）当a=1时...因为，所以，所以在时单调递减，所以，即.……………………………………………3分（2）法一：（i）当时，没有零；……………………………………………..4分（ii）当时，，当时，；当时，.所以在上单调递减，在上单调递增.故是在上最小值…………6分①若，即时，在