重积分练习题含答案

31第十章重积分练习结论1：如果积分区域D关于y对称，}0,),(),{(1xDyxyxD则DDyxfyxfdyxfyxfyxfdyxf1),(),(),(2),(),(0),(时当时当结论2：如果积分区域D关于x轴对称，}0,),(),{(1yDyxyxD则DDyxfyxfdyxfyxfyxfdyxf1),(),(),(2),(),(0),(时当时当结论3：如果积分区域D关于坐标原点O对称，则DDyxfyxfdyxfyxfyxfdyxf1),(),(),(2),(),(0),(时当时当其中}0,),(),{(1xDyxyxD结论4：如果积分区域D关于直线=yx对称，则DDdxyfdyxf),(),(练习11.求dxyID2，其中2y0,1x1:D2.证明xababadyybyfdyyfdx))(()(（f连续）3.设)(xf在区间],[ba上连续，且0)(xf，试证明babaabdxxfdxxf2)()(1)(324.计算Ddxdyyxyfx)(122，其中D由3xy，1y，1x围成。5.计算vdvyxI)(22，v是由yOz平面上曲线zy2绕z轴旋转所得平面2z，8z所围区域。6.设函数)(xf连续，dvyxfztFv)()(222，其中HztyxzyxV0,),,222（，试求dtdF和20)(limttFt7.求曲面221yxz在点)3,1,1(0M的切平面与曲面22yxz所围立体的体积V8.设半径为R的球面的球心在定球面)0(2222aazyx上，问当R取何值时，在定球面内部的那部分1的面积最大？33练习21．计算Dxyd，其中区域D是由抛物线12xy及直线xy1所围成的区域8272．计算Dyxde，其中D是由1yx所确定的区域ee13．计算Ddxdyyx)sin(，其中D为正方形区域：yx0,0)2(4．更换积分次序①211),(xxdyyxfdx②0sinsin2),(xxdyyxfdx5．计算由平面0,0,6yxzyx及42yx所围成的立体的体积364346.球体2222+xyzR与Rzzyx2222的公共部分为一立体，求其体积3125R7.计算三重积分zdxdydz，其中为由圆锥面的22yxz及平面1z所围成区域48.分别用柱面坐标、球面坐标和直角坐标计算三重积分zdvxI2，其中是由球面2222zyx及圆锥面22yxz所围成（含z轴部分）129.求球面2222azyx含在圆柱面axyx22内部的那部分面积（0a）))2(2(2a35重积分练习一参考答案1.求dxyID2，其中2y0,1x1:D解：如图，曲线2xy把区域D分为1D和2D，其中1x1D1：，2xy0；2yx,1x1:D22dxydyxdxyI21D2D2D211221102221513xxdyxydxdyyxdx2.证明xababadyybyfdyyfdx))(()(（f连续）证：左端=xabadyyfdx)(，bxaxyaD，作出积分域交换积分顺序，byabxyD左端=xabadyyfdx)(bybadxyfdy)(badyybyf))((右端，证毕！注：本题还可这样证明：令taxatadxxtxfdyyfdxtF))(()()(，证明0)(0)(tFtF3.设)(xf在区间],[ba上连续，且0)(xf，试证明babaabdxxfdxxf2)()(1)(证：设平面区域},),({byabxayxD，D关于直线xy对称babababadyyfdxxfdxxfdxxf)(1)()(1)(222)()()()()(221)()()()(21)()()()(21)()()()(abdxdydxdyyfxfyfxfdxdyyfxfyfxfdxdyxfyfyfxfdxdyxfyfdxdyyfxfDDDDDD4.计算Ddxdyyxyfx)(122，其中D由3xy，1y，1x围成。解：作曲线3xy，则积分区域被分为1D和2D，1D关于x轴对称，2D关于y轴对称。36由于被积函数是x的奇函数，故有0)(1222Ddxdyyxyfx，由于)(22yxxyf的奇函数，故有1)(122Ddxdyyxyfx01401052)(22031dxxdyxdxxdxdyxD5.计算vdvyxI)(22，v是由yOz平面上曲线zy2绕z轴旋转所得平面2z，8z所围区域。解：旋转面方程为zyx222，积分区域82,2),,(22zzyxzyxVvDzdxdyyxdzdvyxI822222)()(33628228220203dzzdrrddzz注：本题若采用先一后二法，将较麻烦!6.设函数)(xf连续，dvyxfztFv)()(222，其中HztyxzyxV0,),,222（，试求dtdF和20)(limttFt解：V在xOy平面上投影D为圆222tyx，于是vdvyxfztF))(()(222ttHDdfHtHdHfHddzyxfzdxdy0223200230222)(23)(31))((当0t时有：)(23223tHtftHdtdF当0t时有：)(23223tHtftHdtdF且0t时，有dtdFFt0lim)0(，所以)(23223tHtftHdtdF从而ttfHtHttFtt2)(232lim)(lim23020)0(3)(lim33203HfHtHfHt7.求曲面221yxz在点)3,1,1(0M的切平面与曲面22yxz所围立体的体积37V解：不难想象，该立体的上、下底曲面一个是曲面22yxz的一块，一个是切平面的一块，首先确定立体在xOy平面上投影区域yxD,由于切平面的法向量是}1,2,2{}1,,{0Myxzzn，切平面方程：0)3()1(2)1(zyxz，即122yxz从而切平面与曲面22yxz的交线是12222yxzyxz，消去z，可得投影1)1()1(:22yxDxy，注意到在D上，22122yxyx，所以DDdxdyyxdxdyyxyxV2222)1()1(1122201022)1(rdrrd8.设半径为R的球面的球心在定球面)0(2222aazyx上，问当R取何值时，在定球面内部的那部分1的面积最大？解：可设的方程为2222)Razyx（，从而两球面的交线是aRazRaaRyx224422222222，于是1的方程为222yxRaz1在xy在投影为22222244:RaaRyxD1的面积为DDyxdxdyyxRRdxdyzzRS222221)(aRRrdrrRRdRaaR322042022222234)(RaRRS，得驻点01R，aR342RaRS64)(，04)(2RS当aR34时，1的面积最大。38