山东省潍坊市2018-2019学年高一数学下学期期中试题（含解析）

山东省潍坊市2018-2019学年高一下学期期中考试数学试题一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据诱导公式，化简即可得到答案。【详解】由诱导公式可得所以选D【点睛】本题考查了诱导公式的简单应用，属于基础题。2.已知向量，，且，则（）A.3B.4C.5D.6【答案】C【解析】【分析】根据向量减法的坐标运算，表示出，再由向量垂直的坐标关系即可求得m的值。【详解】因为向量，，由向量减法的运算可得又因为，则即解得所以选C【点睛】本题考查了向量减法和乘法的坐标运算，属于基础题。3.若，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】将左右两边同时平方，结合同角三角函数关系式及正弦的二倍角公式即可求得的值。【详解】因为，左右两边同时平方得因为化简可得即所以选A【点睛】本题考查了同角三角函数关系式、二倍角公式的简单应用，属于基础题。4.已知向量，，且，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据向量平行的坐标表示，结合正弦二倍角公式即可求得的值，代入即可得解。【详解】向量，，且所以根据向量平行的坐标运算可得由正弦二倍角公式化简可得因为所以则所以选A【点睛】本题考查了向量平行的坐标关系，正弦二倍角公式的简单应用，三角函数值的求解，属于基础题。5.圆与圆的位置关系是（）A.外切B.相离C.相交D.内切【答案】C【解析】【分析】根据两个圆的圆心距与两个半径的关系，即可判断两个圆的位置关系。【详解】因为圆与圆所以两个圆的圆心距两个圆的半径分别为因为所以两个圆相交所以选C【点睛】本题考查了根据两个圆的半径判断圆与圆位置关系，属于基础题。6.若将函数的图象向右平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】先求得平移后的函数解析式，再根据余弦函数的对称轴即可求解。【详解】将函数的图象向右平移个单位长度即可得根据余弦函数的对称轴方程可知解得，所以选D【点睛】本题考查了余弦函数的平移变化与对称轴方程求法，属于基础题。7.位于潍坊滨海的“滨海之眼”摩天轮是世界上最高的无轴摩天轮，该摩天轮的直径均为124米，中间没有任何支撑，摩天轮顺时针匀速旋转一圈需要30分钟，当乘客乘坐摩天轮到达最高点时，距离地面145米，可以俯瞰白浪河全景，图中与地面垂直，垂足为点，某乘客从处进入处的观景舱，顺时针转动分钟后，第1次到达点，此时点与地面的距离为114米，则（）A.16分钟B.18分钟C.20分钟D.22分钟【答案】C【解析】【分析】根据摩天轮的直径和所给线段，求得OD的值；再作，。根据OE与OB的长度，求得的度数，即可得的度数，进而根据顺时针旋转即可求得经过的时间t。【详解】根据题意，作，，如下图所示：直径为，则，所以则所以，即所以因为摩天轮顺时针匀速旋转一圈需要30分钟所以从A到B所需时间为分钟所以选C【点睛】本题考查了圆及其性质的应用，属于基础题。8.若在上是增函数，则的最大值是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据辅助角公式，化简函数解析式，再根据函数单调递增条件求得单调递增区间，进而求得的最大值。【详解】因为，由辅助角公式可得则的单调递增区间为因为在上是增函数则的最大值是所以选B【点睛】本题考查了辅助角公式的用法，正弦函数单调区间的求法，属于基础题。9.已知直线与圆交于两点（为坐标原点），且，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据直线与圆相交，结合垂径定理及点到直线距离公式即可求得参数m的值。【详解】因为直线与圆交于两点，且所以圆的半径为，由点到直线距离公式，可得圆心到直线的距离为由垂径定理可得代入可得解方程可得所以选A【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，垂径定理的简单应用，属于基础题。10.如图，在平行四边形中，点为的中点，连接，并延长交于，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据平行四边形性质及E为OC中点，由相似三角形可得，结合向量线性运算可得解。【详解】在平行四边形中，点为的中点，且延长后交于所以根据向量线性运算可知所以选D【点睛】本题考查了平行四边形的性质，向量的线性运算，属于基础题。11.“圆材埋壁”是《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，学会一寸，锯道长一尺，问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知道大小，用锯取锯它，锯口深一寸，锯道长一尺，问这块圆柱形木材的直径是多少？现有圆柱形木材一部分埋在墙壁中，截面如图所示，已知弦尺，弓形高寸，则阴影部分面积约为（注：，，1尺=10寸）（）A.6.33平方寸B.6.35平方寸C.6.37平方寸D.6.39平方寸【答案】A【解析】【分析】连接OC，设半径为r，则，在直角三角形中应用勾股定理即可求得r，进而求得扇形的面积，减去三角形即可得阴影部分的面积。【详解】连接OC，设半径为r，寸，则在直角三角形中，即，解得则，所以则所以扇形的面积三角形的面积所以阴影部分面积为所以选A【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系在实际问题中的应用，三角形函数的概念及扇形面积公式的应用，属于基础题。12.已知是内一点，且，点在内（不含边界），若，则的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据可知O为的重心；根据点M在内，判断出当M与O重合时，最小；当M与C重合时，的值最大，因不含边界，所以取开区间即可。【详解】因为是内一点，且所以O为的重心在内（不含边界），且当M与O重合时，最小，此时所以，即当M与C重合时，最大，此时所以，即因为在内且不含边界所以取开区间，即所以选B【点睛】本题考查了向量在三角形中的线性运算，特殊位置法的应用，属于难题。二、填空题（将答案填在答题纸上）13.__________．【答案】【解析】【分析】根据正弦函数的和角公式即可求值。【详解】由正弦函数的和角公式逆运算可得【点睛】本题考查了正弦函数和角公式的简单应用，属于基础题。14.已知向量，，则向量的单位向量为_____，向量在方向上的正射影的数量为_______．【答案】(1).(2).【解析】【分析】根据单位向量的定义及共线向量条件，即可求得向量的单位向量；根据向量投影的定义即可求得在方向上的正射影。【详解】设向量的单位向量为则向量与单位向量为共线，又所以解得所以向量的单位向量为设向量与的夹角为，则则向量在向量方向的投影为代入可得【点睛】本题考查了单位向量的求法，向量投影的求法，属于基础题。15.已知定义域为的函数同时满足以下三个条件：①函数的图象不过原点；②对任意，都有；③对任意，都有.请写出一个符合上述条件的函数表达式为______（答案不唯一，写出一个即可）．【答案】【解析】【分析】由②可知函数为偶函数，由③可知函数的周期为，结合不过原点，即可写出函数的一个解析式。【详解】由题意，根据②可知函数为偶函数，由③可知函数的周期为，再由函数不过原点，则满足的函数如【点睛】本题考查了三角函数的奇偶性与周期性的综合应用，开放性问题的解决方案，属于基础题。16.给出以下四个结论：①函数是偶函数；②当时，函数的值域是；③若扇形的周长为，圆心角为，则该扇形的弧长为6cm；④已知定义域为的函数，当且仅当时，成立.则上述结论中正确的是______（写出所有正确结论的序号）．【答案】②④【解析】【分析】利用特殊值代入①中的解析式即可判断①；根据函数单调性及自变量取值范围，可判断②；根据扇形的周长及圆心角即可求得半径，进而求得弧长，可判断③；讨论的符号去绝对值，即可判断④。【详解】当与时，代入①中的解析式所得函数值不相等，所以①错误；当时，，由余弦函数图象可知的值域是，所以②正确；因为若扇形的周长为，圆心角为，设半径为r，则，解得，所以弧长为cm，所以③错误；当时，，当时，；当时，，当时，，所以④正确。综上所述，②④正确。【点睛】本题考查了三角函数图象与性质的综合应用，三角函数定义域与值域的求法，属于难题。三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知，，.（1）求；（2）求.【答案】（1）2（2）【解析】【分析】（1）根据向量数量积定义求得，根据模的运算即可求得。（2）根据向量数量积定义及公式求得，结合向量数量积即可求得；或根据向量和与差的几何意义，根据几何意义求得。【详解】（1）因为即所以（2），所以，即.法二：因为，所以，，所以与是以为邻边的菱形的对角线所表示的向量，又因为，所以，.【点睛】本题考查了向量数量积的应用，向量的模长、夹角的应用，属于基础题。18.已知.（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）等式左右两边同时乘以分母，化简后即可求得的值；（2）根据（1）中结论，利用二倍角公式即可求得的值，再由正切函数的差角公式即可求得的值。【详解】（1）由题已知：，，所以.（2）由（1）知，所以.【点睛】本题考查了同角三角函数关系式的化简求值，正切函数二倍角公式及正切差角公式的应用，属于基础题。19.已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点.（1）求的值；（2）将点与原点距离保持不变，逆时针旋转角到点，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据终边过点P，可求得OP的值，结合三角函数定义即可求得，进而利用诱导公式求得的值；（2）根据题意可求得，结合同角三角函数关系式可求得，进而根据余弦的差角公式及，即可求得的值。【详解】（1）因为的终边过，所以，由三角函数的定义，，所以.（2）由题意知：，由可得.所以.【点睛】本题考查了三角函数的定义，余弦函数差角公式的应用，属于基础题。20.已知向量，，函数，其图象的两条相邻对称轴间的距离为.（1）求函数的解析式；（2）将函数的图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再将图象向右平移个单位，得到的图象，求在上的单调递增区间.【答案】（1）（2）增区间为，.【解析】【分析】（1）根据向量数量积的坐标运算，结合二倍角公式和辅助角公式化简，再根据周期即可求得的值；（2）根据图象平移变化过程，可求得的解析式，根据正弦函数单调递增区间为，即可求得的取值范围，结合的范围为，即可求得其单调递增区间。【详解】（1）因为相邻对称轴间距离为，由，得，所以，.（2）令得，令，为增区间，令，为增区间，所以在上的增区间为，.【点睛】本题考查了向量数量积的应用，辅助角公式化简三角函数式，三角函数图象平移变化及单调区间的求法，属于中档题。21.建设生态文明，是关系人民福祉，关乎民族未来的长远大计.某市通宵营业的大型商场，为响应节能减排的号召，在气温超过时，才开放中央空调降温，否则关闭中央空调.如图是该市夏季一天的气温（单位：）随时间（，单位：小时）的大致变化曲线，若该曲线近似的满足函数关系.（1）求函数的表达式；（2）请根据（1）的结论，判断该商场的中央空调应在本天内何时开启？何时关闭？【答案】（1）（2）上午10时开启，下午18时关闭.【解析】【分析】（1）根据函数图象可知周期T，进而根据求得的值；结合函数的最大值和最小值，可求得A，代入最低点坐标，即可求得，进而得函数的解析式。（2）根据题意，令，解不等式，结合t的取值范围即可求得开启和关闭中央空调时间。【详解】（1）由图知，，所以，得.由图知，，，所以.将点代入函数解析式得，得，即又因为，得.所以.（2）依题意，令，可得，所以解得：，令得，，故中央空调应在上午10时开启，下午18时关闭.【点睛】本题考查了利用部分函数图象求三角函数解析式，三角函数在实际问题中的应用，属于基础题。22.已知关于直线对称，且圆心在轴上.（1）求的标准方程；（2）已经动点在直线上，过点引的两条切线、，切点分别为.①记四边形的面积为，求的最小值；②证明直线恒过定点.【答案】（1）（2）①②证明见解析【解析】【分析】（1）根据圆的一般式，可得圆心坐标，将圆心坐标代入直线方程，结合圆心在轴上，即可求得圆C的标准方程。（2）①根据切线性质及切线长定理，表示出的长，根据圆的性质可知当最小时，即可求得面积的最小值；②设出M点坐标