2020新教材高中数学 第九章 解三角形测评 新人教B版必修第四册

第九章解三角形测评(时间:120分钟满分:150分)一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若a∶b∶c=4∶3∶2,则-=()A.B.C.D.解析由题意---,因为a∶b∶c=4∶3∶2,设a=4k,b=3k,c=2k,由余弦定理可得cosC=-,则--.故选D.答案D2.如图,从地面上C,D两点望山顶A,测得它们的仰角分别为°和°,已知CD=100米,点C位于BD上,则山高AB等于()A.100米B.50√米C.50(√+1)米D.50√米解析设AB=h,△ABC中,∠ACB=°,BC=h,在△ADB中,tan∠ADB=√,解得h=50(√+1)米.故选C.答案C3.若,则△ABC是()A.等边三角形B.有一内角是°的直角三角形C.等腰直角三角形D.有一内角是°的等腰三角形解析因为,所以acosB=bsinA,所以由正弦定理得2RsinAcosB=2RsinBsinA,2RsinA≠0.所以cosB=sinB,所以B=°.同理C=°,故A=°.答案C4.在直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠ABC=°,AB=2BC=2CD,则cos∠DAC=()A.√B.√C.√D.√解析如下图所示,不妨设BC=CD=1,则AB=2,过点D作DE⊥AB,垂足为点D.易知四边形BCDE是正方形,则BE=CD=1,所以AE=AB-BE=1.在Rt△ADE中,AD=√√,同理可得AC=√√,在△ACD中,由余弦定理得cos∠DAC=--√√√.故选C.答案C5.如图,一船自西向东匀速航行,上午10时到达一座灯塔P的南偏西°距塔64海里的M处,下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处,则这只船的航行速度为()海里/小时.A.2√B.4√C.8√D.16√解析由题意PM=64,∠MPN=°,在△PMN中,由正弦定理得∠∠,即°°,得MN=32√,所以船的航行速度为-=8√(海里/小时).故选C.答案C6.在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若bsin2A+√asinB=0,b=√c,则的值为()A.1B.√C.√D.√解析因为bsin2A+√asinB=0,所以由正弦定理可得sinBsin2A+√sinAsinB=0,即2sinBsinAcosA+√sinAsinB=0.由于sinBsinA≠0,所以cosA=-√,因为0Aπ,所以A=π,又b=√c,由余弦定理可得a2=b2+c2-2bcosA=2c2+c2+2c2=5c2,所以√.故选C.答案C7.一游客在A处望见在正北方向有一塔B,在北偏西°方向的C处有一寺庙,此游客骑车向西行1km后到达D处,这时塔和寺庙分别在北偏东°和北偏西°,则塔B与寺庙C的距离为()A.2kmB.√kmC.√kmD.1km解析如图,先求出AC,AB的长,然后在△ABC中利用余弦定理可求解.在△ABD中,AD=1,可得AB=√.在△ACD中,AD=1,∠ADC=°,∠DCA=°,所以由正弦定理得∠∠,所以AC=∠∠√√.在△ABC中,由余弦定理得BC2=AC2+AB2-2ACAB°=√+3-2×√√√√=2,所以BC=√.故选C.答案C8.如图,某建筑物的高度BC=300m,一架无人机Q上的仪器观测到建筑物顶部C的仰角为°,地面某处A的俯角为°,且∠BAC=°,则此无人机距离地面的高度PQ为()A.100mB.200mC.300mD.100m解析根据题意,可得Rt△ABC中,∠BAC=°,BC=300,所以AC=°√=200√;在△ACQ中,∠AQC=°+°=°,∠QAC=°-°-°=°,所以∠QCA=°-∠AQC-∠QAC=°.由正弦定理,得°°,解得AQ=√√√=200√,在Rt△APQ中,PQ=AQ°=200√√=200m.故选B.答案B二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.9.在△ABC中,a,b分别是角A,B的对边,a=1,b=√,A=°,则角B为()A.°B.°C.°D.°或°解析由正弦定理,可得sinB=√°=√,又由ab,且B∈°,°,所以B=°或°.故选AC.答案AC10.在△ABC中,根据下列条件解三角形,其中有两解的是()A.b=10,A=°,C=°B.b=45,c=48,B=°C.a=14,b=16,A=°D.a=7,b=5,A=°解析选项B满足c°bc,选项C满足b°ab,所以B,C有两解;对于选项A,可求B=°-A-C=°,三角形有一解;对于选项D,由sinB=,且ba,可得B为锐角,只有一解,所以三角形只有一解.故选BC.答案BC11.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,下列结论正确的是()A.a2=b2+c2-2bccosAB.asinB=bsinAC.a=bcosC+ccosBD.acosB+bcosA=sinC解析由在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,知:在A中,由余弦定理得:a2=b2+c2-2bccosA,故A正确;在B中,由正弦定理得:,∴asinB=bsinA,故B正确;在C中,∵a=bcosC+ccosB,∴由余弦定理得:a=b×-+c×-,整理,得2a2=2a2,故C正确;在D中,由余弦定理得acosB+bcosA=a×-+b×-=c≠sinC,故D错误.故选ABC.答案ABC12.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且(a+b)∶(a+c)∶(b+c)=9∶10∶11,则下列结论正确的是()A.sinA∶sinB∶sinC=4∶5∶6B.△ABC是钝角三角形C.△ABC的最大内角是最小内角的2倍D.若c=6,则△ABC外接圆半径为√解析(a+b)∶(a+c)∶(b+c)=9∶10∶11,可设a+b=9t,a+c=10t,b+c=11t,解得a=4t,b=5t,c=6t,t0,可得sinA∶sinB∶sinC=a∶b∶c=4∶5∶6,故A正确;由c为最大边,可得cosC=--0,即C为锐角,故B错误;由cosA=--,cos2A=2cos2A-1=2×-1==cosC,由2A,C∈(0,π),可得2A=C,故C正确;若c=6,可得2R=√-√,△ABC外接圆半径为√,故D正确.故选ACD.答案ACD三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.在△ABC中,A,B,C的对边的长分别为a,b,c,已知a=1,sinA=√,sinC=,则c=.解析由正弦定理,得c=√√=3√.答案3√14.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=3,b=4,c=6,则bccosA+accosB+abcosC的值是.解析因为cosA=-,所以bccosA=(b2+c2-a2).同理,accosB=(a2+c2-b2),abcosC=(a2+b2-c2).所以bccosA+accosB+abcosC=(a2+b2+c2)=.答案15.为了研究问题方便,有时将余弦定理写成:a2-2abcosC+b2=c2,利用这个结构解决如下问题:若三个正实数x,y,z,满足x2+xy+y2=9,y2+yz+z2=16,z2+zx+x2=25,则xy+yz+zx=.解析设△ABC的角A,B,C的对边分别为a,b,c,在△ABC内取点O,使得∠AOB=∠BOC=∠AOC=π,设OA=x,OB=y,OC=z,利用余弦定理得出△ABC的三边长,由此计算出△ABC的面积,再利用S△ABC=S△AOB+S△BOC+S△AOC可得出xy+yz+zx的值.设△ABC的角A,B,C的对边分别为a,b,c,在△ABC内取点O,使得∠AOB=∠BOC=∠AOC=π,设OA=x,OB=y,OC=z,由余弦定理得c2=x2-2xycos∠AOB+y2=x2+xy+y2=9,∴c=3.同理可得a=4,b=5,∴a2+c2=b2,则∠ABC=°,△ABC的面积为S△ABC=ac=6,另一方面S△ABC=S△AOB+S△AOC+S△BOC=xysinyzsinzxsin=√(xy+yz+zx)=6,解得xy+yz+zx=8√.答案8√16.如图,海岸线上有相距5海里的两座灯塔A,B,灯塔B位于灯塔A的正南方向.海上停泊着两艘轮船,甲船位于灯塔A的北偏西°,与A相距3√海里的D处;乙船位于灯塔B的北偏西°方向,与B相距5海里的C处,此时乙船与灯塔A之间的距离为海里,两艘轮船之间的距离为海里.解析因为△ABC为等边三角形,所以AC=5.∠DAC=°-°-°=°,在△ADC中,根据余弦定理得CD2=AD2+AC2-2ADACcos∠DAC=18+25-2×3√×5×(√)=13,解得CD=√.答案5√四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且asinB+1=bsinA+2cosC.(1)求角C的大小;(2)若a=2,a2+b2=2c2,求△ABC的面积.解(1)因为由正弦定理得,所以asinB=bsinA,∴2cosC=1,cosC=.又0Cπ,∴C=π.(2)由余弦定理得c2=a2+b2-ab,∴4+b2=2(4+b2-2b),解得b=2.∴S△ABC=absinC=×2×2×sinπ√.18.(12分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知sin2B+sin2C=sin2A+sinBsinC.(1)求角A的大小;(2)若cosB=,a=3,求c的值.解(1)由正弦定理可得b2+c2=a2+bc,则cosA=-,因为A∈(0,π),所以A=π.(2)由(1)可知,sinA=√,因为cosB=,B为三角形的内角,所以sinB=√,故sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=√√√√,由正弦定理,得c=√√√=1+√.19.(12分)要测量对岸两点A,B之间的距离,选取相距200m的C,D两点,并测得∠ADC=°,∠BDC=°,∠BCD=°,∠ACD=°,求A,B两点之间的距离.解在△ACD中,因为∠ACD=°,∠ADC=°,所以∠DAC=°-°-°=°.由正弦定理得°°,且CD=200,所以AD=100√.同理,在△BCD中,可得∠CBD=°,由正弦定理得°°,所以BD=100√.在△ABD中,∠BDA=°-°=°,由勾股定理得AB=√=200√,即A,B两点间的距离为200√.20.(12分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b+c=2a,3csinB=4asinC.(1)求cosB的值;(2)求sin(π)的值.解(1)由正弦定理,则3cb=4ac,所以b=a.而b+c=2a,则c=a.故由余弦定理得cosB=--=-.(2)因为cosB=-,所以sinB=√.所以sin2B=2sinBcosB=-√,cos2B=2cos2B-1=-.所以sin(π)√(sin2B+cos2B)=√(-√-)=-√√.21.(12分)如图,A,B是海面上位于东西方向相距4(3+√)海里的两个观测点,现位于A点北偏东°,B点北偏西°的D点有一艘轮船发出求救信号,位于B点南偏西°且与B点相距16√海里的C点的救援船立即前往营救,其航行速度为24海里/小时.(1)求BD的长;(2)该救援船到达D点所需的时间.解(1)由题意可知:在△ADB中,∠DAB=°,∠DBA=°,则∠ADB=°.由正弦定理∠∠,得√°°.由°=°+°=°°+°°=√√,代入上式得DB=8√.(2)在△BCD中,BC=16√,DB=8√,∠CBD=°,由余弦定理得CD2=BC2+BD2-2BCBD°=(16√)2+(8√)2-2×16√×8√=242,∴CD=24,∴t==1.即该救援船到达D点所需的时间为1小时.22.(12分)如图,在△ABC中,C=π,角B的平分线BD交AC于点D,设