2020新教材高中数学 第九章 解三角形 9.1.1 正弦定理练习 新人教B版必修第四册

9.1.1正弦定理课后篇巩固提升基础巩固1.在△ABC中,下列关系式中一定成立的是()A.absinAB.a=bsinAC.absinAD.a≥bsinA解析由正弦定理,得,所以a=,在△ABC中,0sinB≤1,故1≥1,所以a≥bsinA.答案D2.在△ABC中,a=4√,b=4,A=,则B=()A.B.C.D.解析由正弦定理可得,∴sinB=√√1.又∵a=4√b=4,∴AB.∴B=.故选A.答案A3.在△ABC中,已知b=3,c=8,A=,则△ABC的面积等于()A.6B.12C.6√D.12√解析S△ABC=1bcsinA=1×3×8×sin=6√.故选C.答案C4.在△ABC中,a=2√,b=2√,B=45°,则A为()A.0°或150°B.0°或10°C.0°D.0°解析由正弦定理可得:,∴sinA=√√√√.∵0A15°,∴∠A=0°或∠A=10°.故选B.答案B5.在△ABC中,一定成立的等式是()A.asinA=bsinBB.acosA=bcosBC.asinB=bsinAD.acosB=bcosA解析在△ABC中,由正弦定理得,即asinB=bsinA.故选C.答案C6.在△ABC中,若A=0°,a=2,b=2√,则此三角形解的个数为()A.0个B.1个C.2个D.不能确定解析a·sinA=2×1=1,∵122√,即a·sinAab,∴有两个三角形.故选C.答案C7.以下关于正弦定理或其变形的叙述错误的是()A.在△ABC中,a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinCB.在△ABC中,若sin2A=sin2B,则a=bC.在△ABC中,若sinAsinB,则AB,若AB,则sinAsinB都成立D.在△ABC中,解析由正弦定理易知A,C,D正确.对于B,由sin2A=sin2B,可得A=B或2A+2B=,即A=B或A+B=,所以a=b或a2+b2=c2,故B错误.故选B.答案B8.在△ABC中,a,b,c分别是A,B,C所对的边.若∠A=105°,∠B=5°,b=2√,则c=,△ABC的面积为.解析∠C=180°-105°-5°=0°.根据正弦定理,可知√5°0°,解得c=2.故△ABC的面积为S=1bcsinA=1×2√×2×105°=2√√√√+1.答案2√+19.已知在△ABC中,BC=15,AC=10,A=0°,则cosB=.解析由正弦定理得,所以sinB=10√15√,因为ACBC,所以BA=0°,则B为锐角,所以cosB=√1-√.答案√10.在△ABC中,若,则△ABC一定是三角形.解析由正弦定理得,所以sin=sin=sin.因为0A,B,C,所以0,所以,所以A=B=C.故△ABC为等边三角形.答案等边11.在△ABC中,a=2,c=√,sinA+cosA=0,则角B的大小为.解析因为角A是三角形的内角,所以A∈(0,),又因为sinA+cosA=0,所以有tanA=-1,所以A=,由正弦定理可知:√√sinC=1,因为A=,所以C∈(0,),因此C=,由三角形内角和定理可知:B=-A-C=1.答案112.在△ABC中,求证:--.证明因为在△ABC中,=2R,所以左边=--=--=右边.所以等式成立,即--.能力提升1.在△ABC中,A,B,C所对的边分别为a,b,c,若c=√,A=5°,B=75°,则a=()A.√B.√C.1D.3解析因为A=5°,B=75°,所以C=180°-5°-75°=0°,在△ABC中,,所以5°√0°a=√.故选A.答案A2.满足条件C=0°,AB=√,BC=5的△ABC有()个A.0B.1C.2D.3解析由于BC·sinC=√10√5,所以△ABC有两解.故选C.答案C3.在△ABC中,若⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2且∠BAC=0°,则△ABC的面积为()A.√B.2√C.√D.√解析由⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2,得bc0°=2,所以bc=√.由三角形面积公式得S=1bcsinA=1√1√.故选C.答案C4.在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,acosB=(√c-b)cosA,则角A的大小为()A.B.C.D.解析由正弦定理得sinAcosB=(√sinC-sinB)·cosA,即sin(A+B)=√sinCcosA,即sinC=√sinCcosA,也即cosA=√,故A=.故选B.答案B5.如图,A,B是半径为1的圆周上的定点,P为圆周上的动点,∠APB是锐角,大小为β.图中△PAB的面积的最大值为()A.1sinβ+sin2βB.sinβ+1sin2βC.β+sinβD.β+cosβ解析在△ABP中,由正弦定理可得,∠=2R=2,则AB=2sinβ.S△ABC=1AB·h,当点P在AB的中垂线上时,h取得最大值,此时△ABP的面积最大.取AB的中点C,过点C作AB的垂线,交圆于点D,取圆心为O,则OC=√-√1-=cosβ(β为锐角),CD=DO+OC=1+cosβ.所以△ABP的面积最大为S=1AB·DC=1(2sinβ)·(1+cosβ)=sinβ+sinβcosβ=sinβ+1sin2β.故选B.答案B6.在△ABC中,角A所对的边为a,若a=2,且△ABC的外接圆半径为2,则A=.解析由正弦定理可得=4,所以sinA=1,∵0A,∴A=或5.答案或57.已知△ABC,AB=AC=4,BC=2.点D为AB延长线上一点,BD=2,连接CD,则△BDC的面积是.解析过点A作BC垂线,交BC于点E,则AE=√15,所以sin∠ABC=√15,则sin∠CBD=sin(-∠ABC)=√15,所以S△BCD=1BD·BC·sin∠CBD=1×2×2×√15√15.答案√158.在△ABC中,B=120°,AB=√,A的角平分线AD=√,则AC=.解析如图,由正弦定理易得∠,即√∠√10°,故sin∠ADB=√,即∠ADB=5°.在△ABC,已知∠B=10°,∠ADB=5°,即∠BAD=15°.由于AD是∠BAC的角平分线,故∠BAC=2∠BAD=0°.在△ABC中,∠B=10°,∠BAC=0°,易得∠ACB=0°.在△ABC中,由正弦定理得∠∠.即10°√0°,故AC=√.答案√9.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知tanA=,tanB=1,a=5.(1)求tanC;(2)求△ABC中的最长边.解(1)因为tanC=-tan(A+B)=-1-=-11-=-3.(2)由(1)知C为钝角,所以C为最大角,因为tanA=,所以sinA=5.又tanC=-3,所以sinC=√1010.由正弦定理得55√1010,所以c=15√108为最长边.10.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知-.(1)求角A的大小;(2)设a=2√,b=3,求sin(2B-A)的值.解(1)由正弦定理可得-,即2sinCcosA=sinAcosB+cosAsinB=sin(A+B)=sinC.因为sinC≠0,所以cosA=1.又A∈(0,),所以A=.(2)由正弦定理,得sinB=√√8,所以cosB=±√1-=±√108.所以cos2B=1-2sin2B=1-2×7=-111,sin2B=2sinBcosB=±√151.当sin2B=√151时,sin(2B-A)=sin2BcosA-cos2BsinA=11√√15;当sin2B=-√151时,sin(2B-A)=sin2BcosA-cos2BsinA=11√-√15;所以sin(2B-A)=11√√15或11√-√15.