2020年中考数学一轮复习 因式分解考点讲义及练习（含解析）

因式分解【中考真题】【2019江苏中考】分解因式4𝑥2−𝑦2的结果是A．(4𝑥+𝑦)(4𝑥−𝑦)B．4(𝑥+𝑦)(𝑥−𝑦)C．(2𝑥+𝑦)(2𝑥−𝑦)D．2(𝑥+𝑦)(𝑥−𝑦)【答案】C【解析】直接利用平方差公式分解因式得出答案．4𝑥2−𝑦2＝(2𝑥+𝑦)(2𝑥−𝑦)．透析考纲在中考中因式分解的考查属于高频考点，是研究整式的基础知识，方法灵活，技巧性强.经常与其它相关知识综合考查，且多涉及换元、整体代入等数学思想方法的应用，属于历年中考必考知识点之一.基础知识过关1．把一个多项式化成几个＿＿＿＿＿的形式，叫做把这个多形式因式分解．2．因式分解：5𝑎𝑏−15𝑎𝑐=＿＿＿＿＿．3．平方差公式：𝑎2−𝑏2=＿＿＿＿＿；完全平方公式：𝑎2±2𝑎𝑏+𝑏2=＿＿＿＿＿．4．计算：20202−20192=＿＿＿＿＿．精选好题【考向01】因式分解的概念【试题】【2019河北中考复习】下列各式由左到右的变形中，属于分解因式的是A．𝑎(𝑚+𝑛)＝𝑎𝑚+𝑎𝑛B．𝑎2−𝑏2−𝑐2＝(𝑎−𝑏)(𝑎+𝑏)−𝑐2C．10𝑥2−5𝑥＝5𝑥(2𝑥−1)D．𝑥2−16+6𝑥＝(𝑥+4)(𝑥−4)+6𝑥【好题变式练】1．【2019四川期末】下列由左到右的变形中，属于因式分解的是A．(𝑥+4)(𝑥−4)＝𝑥2−16B．𝑎𝑥2+𝑎𝑥𝑦+𝑎𝑥＝𝑎𝑥(𝑥+𝑦)C．𝑚2−2𝑚𝑛+𝑛2＝(𝑚+𝑛)(𝑚−𝑛)D．4−𝑎2＝(2+𝑎)(2−𝑎)2．【2019湖南期中】下列各式中从左到右的变形，是因式分解的是解题关键本考点主要考查因式分解的基本概念：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做把这个多形式因式分解．注意其中三个关键点：①原式是多．项式．．，②化为整式．．，③乘积．．的形式．A．(𝑎+3)(𝑎−3)=𝑎2−9B．𝑥2+𝑥−5=(𝑥−2)(𝑥+3)+1C．𝑎2𝑏+𝑎𝑏2=𝑎𝑏(𝑎+𝑏)D．𝑥2+1=𝑥(𝑥+1𝑥)【考向02】因式分解的方法【试题】【2019•泸州】把2a2–8分解因式，结果正确的是A．2（a2–4）B．2（a–2）2C．2（a+2）（a–2）D．2（a+2）2【好题变式练】1．【2019广东期末】分解因式：−3𝑎+12𝑎2−12𝑎＝________．2．分解因式(𝑎−𝑏)2+4𝑎𝑏的结果是________．【考向03】因式分解的应用【试题】【2019江苏期中】若一个长、宽分别为𝑎，𝑏的长方形的周长为14，面积为8，则𝑎2𝑏+𝑎𝑏2=________．要点归纳因式分解的步骤：(1)有公因式的要先提公因式；(2)再看能否用平方差公式或完全平方公式分解；(3)检查最后结果是否分解彻底．解题技巧因式分解属于历年中考必考的知识点，解题的关键是准确掌握提公因式法和公式法并能灵活运用，并准确按步骤对多项式进行因式分解：有公因式的先提公因式，然后再看能不能套用公式，最后一定要注意分解要彻底。要点归纳判定一个变形是因式分解的条件：(1)左边是多项式；(2)右边是乘积的形式；(3)右边的因式全是整式．【好题变式练】1．【2019秋•泉港区期中】如果代数式x2+mx+9=（ax+b）2，那么m的值可为A．3B．6C．±3D．±62．【2019湖南月考】计算：5652×24−4352×24=________．过关斩将1．【2019广东期中】下列从左到右的变形，是因式分解的是A．(𝑎+3)(𝑎−3)=𝑎2−9B．𝑥2+𝑥−5=𝑥(𝑥+1)−5C．𝑎(𝑚−𝑛)=𝑎𝑚−𝑎𝑛D．𝑥2+4𝑥+4=(𝑥+2)22．【2019安徽期末】数348−1能被30以内的两位整数a整除，则a可能是A．28，26B．26，24C．27，25D．25，233．已知三角形的三边长分别是𝑎，𝑏，𝑐，且满足𝑎2+𝑏2+𝑐2=𝑎𝑏+𝑏𝑐+𝑐𝑎，则此三角形是A．直角三角形B．等腰三角形．等腰直角三角形D．等边三角形要点归纳因式分解的应用（1）简化计算；（2）与其他知识的综合，如面积、三角形相关知识等；（3）换元思想、整体思想的应用．解题技巧因式分解的应用考查形式比较灵活，可以与很多知识产生交叉融合，因此在一些综合型题目的考查中经常用到因式分解．灵活的应用因式分解对解决相关问题会起到事半功倍的作用．4．若多项式𝑥2−𝑘𝑥+1能用完全平方公式进行因式分解，则𝑘的值为A．2B．−2C．±2D．±15．【2019湖南中考】因式分解：𝑎𝑏−7𝑎＝________．6．多项式𝑥−𝑥2+14𝑥因式分解的结果是________．7．如果𝑎+𝑏=5,𝑎𝑏=3,求：𝑎𝑏+𝑎𝑏的值．8．【2019重庆中考模拟】常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但有一部分多项式只单纯用上述方法就无法分解，如𝑥2−2𝑥𝑦+𝑦2−16，我们细心观察这个式子，会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合，再应用平方差公式进行分解．过程如下：𝑥2−2𝑥𝑦+𝑦2−16＝(𝑥−𝑦)2−16＝(𝑥−𝑦+4)(𝑥−𝑦−4)这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种分组的思想方法对下面这个多项式进行因式分解：9𝑎2+4𝑏2−25𝑚2−𝑛2+12𝑎𝑏+10𝑚𝑛．参考答案过关斩将1．D【解析】A，(𝑎+3)(𝑎−3)=𝑎2−9，是多项式乘法运算，故此选项错误；B，𝑥2+𝑥−5=𝑥(𝑥+1)−5，右边不是等式乘积的形式，不是因式分解，故此选项错误；C，𝑎(𝑚−𝑛)=𝑎𝑚−𝑎𝑛，是多项式乘法运算，不是因式分解，故此选项错误；D，𝑥2+4𝑥+4=(𝑥+2)2，是因式分解，故此选项正确．故选D．2．A【解析】348−1＝(324+1)(324−1)＝(324+1)(312+1)(312−1)＝(324+1)(312+1)(36+1)(36−1)＝(324+1)(312+1)(36+1)(3+1)(3−1)＝(324+1)(312+1)×(73×10)×28×26＝(324+1)(312+1)×73×2×5×2×2×7×2×13，∵348−1能被30以内的两位数a（整数）整除，则a可能是28或26等．3．D【解析】已知等式整理得：2𝑎2+2𝑏2+2𝑐2=2𝑎𝑏+2𝑏𝑐+2𝑐𝑎，即(𝑎−𝑏)2+(𝑏−𝑐)2+(𝑎−𝑐)2=0，可得𝑎=𝑏=𝑐，则此三角形是等边三角形．故选D．4．C【解析】∵多项式𝑥2−𝑘𝑥+1能用完全平方公式进行因式分解，∴𝑘=±2．故选C．5．𝑎(𝑏−7)【解析】直接提公因式𝑎即可．原式＝𝑎(𝑏−7)．6．𝑥(𝑥−12)2【解析】原式=𝑥(𝑥2−𝑥+14)=𝑥(𝑥−12)2．7．57【解析】𝑎𝑏+𝑎𝑏=𝑎𝑏(𝑎2+𝑏2)=𝑎𝑏[(𝑎+𝑏)2−2𝑎𝑏]，当𝑎+𝑏=5，𝑎𝑏=3时，原式=3×(25−6)=57．8．(3𝑎+2𝑏+5𝑚−𝑛)(3𝑎+2𝑏−5𝑚+𝑛)【解析】9𝑎2+4𝑏2−25𝑚2−𝑛2+12𝑎𝑏+10𝑚𝑛＝(9𝑎2+12𝑎𝑏+4𝑏2)−(25𝑚2−10𝑚𝑛+𝑛2)＝(3𝑎+2𝑏)2−(5𝑚−𝑛)2＝(3𝑎+2𝑏+5𝑚−𝑛)(3𝑎+2𝑏−5𝑚+𝑛)．