2020年中考数学一轮复习 一元二次方程及根的判别式考点讲义及练习（含解析）

一元二次方程及根的判别式【中考真题】【2019恩施州】某商店销售富硒农产品，今年1月开始盈利，2月份盈利240000元，4月份盈利290400元，且从2月份到4月份，每月盈利的平均增长率相同，则每月盈利的平均增长率是（）A．8%B．9%C．10%D．11%透析考纲在中考中一元二次方程属于必考考点，通过学习一元二次方程要进一步体会在实际问题中建立方程模型,一元二次方程的概念、基本解法及应用都是重要的基础知识,解方程的基本思想是化归思想,将“二次”方程转化成两个“一次”方程求解,蕴含了重要的数学思想和数学方法．基础知识过关1．一元二次方程的一般形式是＿＿＿＿＿．2．一元二次方程根的判别式为：＿＿＿＿＿，当Δ0时,方程有＿＿＿＿＿；当Δ=0时,方程有两个相等实数根；当＿＿＿＿＿时,方程没有实数根．3．一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),b2–4ac≥0时,设方程的两根分别为x1,x2,则x1+x2=＿＿＿＿＿；x1·x2=＿＿＿＿＿．4．一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的根是＿＿＿＿＿．精选好题【考向01】一元二次方程的相关概念【试题】【2019兰州】若x＝1是关于x的一元二次方程x2+ax+2b＝0的解，则2a+4b＝（）A．–2B．–3C．–1D．–6【好题变式练】1．已知关于x的方程a（x–3）|a–1|+x–1＝0是一元二次方程，则a的值是（）A．–1B．2C．–1或3D．32．【2019遂宁】已知关于x的一元二次方程（a–1）x2–2x+a2–1＝0有一个根为x＝0，则a的值为（）A．0B．±1C．1D．–1解题关键本考点主要考查一元二次方程的基本概念．一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0(a≠0)；一元二次方程的解是指使一元二次方程两边相等的未知数的值．【考向02】一元二次方程的解法【试题】【2019南通】用配方法解方程x2+8x+9＝0，变形后的结果正确的是（）A．（x+4）2＝–9B．（x+4）2＝–7C．（x+4）2＝25D．（x+4）2＝7【好题变式练】1．【2019山西】一元二次方程x2–4x–1＝0配方后可化为（）A．（x+2）2＝3B．（x+2）2＝5C．（x–2）2＝3D．（x–2）2＝52．【2019怀化】一元二次方程x2+2x+1＝0的解是（）A．x1＝1，x2＝–1B．x1＝x2＝1C．x1＝x2＝–1D．x1＝–1，x2＝2解题技巧一元二次方程的解法属于重点考查的内容，“降次”是解决一元二次方程的基本思想，配方法是推导出求根公式的工具，熟练掌握并能灵活选择合适的方法去解方程是解决此类问题的关键．要点归纳判断一个方程是一元二次方程需满足四个条件：（1）是整式方程；（2）只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2；（4）同时要注意二次项系数不能为0．【考向03】一元二次方程根的判别式及根与系数的关系【试题】【2019营口】若关于x的方程kx2–x0有实数根，则实数k的取值范围是（）A．k＝0B．k且k≠0C．kD．k＞【好题变式练】1．【2019朝阳】一元二次方程x2–x–1＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法判断2．【2019天门】若方程x2–2x–4＝0的两个实数根为α，β，则α2+β2的值为（）A．12B．10C．4D．–4解题技巧根的判别式及根与系数的关系的考查题型以选择题、填空题为主．关键在于准确掌握根的判别式与一元二次方程解的情况之间的关系，能够根据根与系数的关系，不解方程解决相关问题．要点归纳一元二次方程的常用解法：(1)直接开平方法；(2)配方法；(3)因式分解发；(4)公式法：𝑥1,2−𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐2𝑎．【考向04】一元二次方程的应用【试题】【2019鸡西】某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，则这种植物每个支干长出的小分支个数是（）A．4B．5C．6D．7【好题变式练】1．【2019哈尔滨】某商品经过连续两次降价，售价由原来的每件25元降到每件16元，则平均每次降价的百分率为（）A．20%B．40%C．18%D．36%2．【2019徐州】如图，有一块矩形硬纸板，长30cm，宽20cm．在其四角各剪去一个同样的正方形，然解题技巧中考中，一元二次方程应用属于高频考点，以解答题的形式考查为主，有时会与其他知识综合考查，关键是根据问题的数量关系列出方程并求解，同时注意根据问题的实际意义检验结果的合理性．要点归纳1．对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，根的判别式：𝛥𝑏24𝑎𝑐（1）Δ0时，有两个不相等的实数根；（2）Δ=0时，有两个相等实数根；（3）Δ0时，没有实数根．2．根与系数的关系（𝛥0时）x1+x2=–𝑏𝑎，x1·x2=𝑐𝑎．后将四周突出部分折起，可制成一个无盖长方体盒子．当剪去正方形的边长取何值时，所得长方体盒子的侧面积为200cm2？过关斩将1．下列关于x的方程（m–2）x2–2x+1＝0是一元二次方程，则m满足的条件是（）A．m≠0B．m＝0C．m≠2D．m≠–22．已知关于x的一元二次方程（k+1）x2+2x+k2–2k–3＝0的常数项等于0，则k的值等于（）A．–1B．3C．–1或3D．–33．【2019滨州】用配方法解一元二次方程x2–4x+1＝0时，下列变形正确的是（）A．（x–2）2＝1B．（x–2）2＝5C．（x+2）2＝3D．（x–2）2＝34．【2019河北】小刚在解关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）时，系数只抄对了a＝1，b＝4，解出其中一要点归纳一元二次方程解应用题的六个步骤（1）审——审清题意,找出等量关系；（2）设——直接设未知数或间接设未知数；（3）列——根据等量关系列出一元二次方程；（4）解——解方程,得出未知数的值；（5）验——既要检验是否是所列方程的解,又要检验是否符合实际情况；（6）答——完整地写出答案,注意单位．个根是x＝–1．他核对时发现所抄的c比原方程的c值小2．则原方程的根的情况是（）A．不存在实数根B．有两个不相等的实数根C．有一个根是x＝–1D．有两个相等的实数根5．【2019威海】一元二次方程3x2＝4–2x的解是＿＿＿＿＿．6．【2019扬州】一元二次方程x（x–2）＝x–2的根是＿＿＿＿＿．7．【2019青海】某种药品原价每盒60元，由于医疗政策改革，价格经两次下调后现在售价每盒48.6元，则平均每次下调的百分率为＿＿＿＿＿．8．【2019东营】为加快新旧动能转换，提高公司经济效益，某公司决定对近期研发出的一种电子产品进行降价促销，使生产的电子产品能够及时售出，根据市场调查：这种电子产品销售单价定为200元时，每天可售出300个；若销售单价每降低1元，每天可多售出5个．已知每个电子产品的固定成本为100元，问这种电子产品降价后的销售单价为多少元时，公司每天可获利32000元？参考答案过关斩将1．C【解析】由题意得：m–2≠0，解得：m≠2．故选C．2．B【解析】由题意，得k2–2k–3＝0且k+1≠0，所以（k–3）（k+1）＝0且k+1≠0，所以k–3＝0．解得k＝3．故选B．3．D【解析】x2–4x+1＝0，移项得x2–4x＝–1，配方，得x2–4x+4＝–1+4，即（x–2）2＝3，故选D．4．A【解析】由题意，将x＝–1，a＝1，b＝4，代入ax2+bx+c＝0（a≠0），得（–1）2–4+c＝0，解得：c＝3，故原方程中c＝5，则判别式为Δ=b2–4ac＝16–4×1×5＝–4＜0，则原方程不存在实数根．故选A．5．x1−√，x2−−√．【解析】移项得3x2+2x–4＝0，则Δ=b2–4ac＝4–4×3×（–4）＝52＞0，故x−±√，即x1−√，x2−−√．故答案为：x1−√，x2−−√．6．x1＝2，x2＝1．【解析】x（x–2）＝x–2，移项得x（x–2）–（x–2）＝0，分解因式，得（x–2）（x–1）＝0，所以x–2＝0或x–1＝0，解得x1＝2，x2＝1，故答案为：x1＝2，x2＝1．7．10%【解析】设平均每次降价的百分比是x，根据题意得：60（1–x）2＝48.6，解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不合题意，舍去），故答案为：10%．8．180元【解析】设降价后的销售单价为x元，则降价后每天可售出[300+5（200–x）]个，依题意，得：（x–100）[300+5（200–x）]＝32000，整理，得：x2–360x+32400＝0，即（x–180）2＝0，解得：x1＝x2＝180．180＜200，符合题意．答：这种电子产品降价后的销售单价为180元时，公司每天可获利32000元．