2020年中考数学一轮复习 基础考点及题型 专题25 锐角三角形（含解析）

专题25锐角三角形考点总结【思维导图】【知识要点】知识点一锐角三角形锐角三角函数：如下图，在Rt△ABC中，∠C为直角，则∠A的锐角三角函数为(∠A可换成∠B)定义表达式取值范围关系正弦斜边的对边AAsincaAsin1sin0A(∠A为锐角)BAcossinBAsincos1cossin22AA余弦斜边的邻边AAcoscbAcos1cos0A(∠A为锐角)正切的邻边的对边AtanAAbaAtan0tanA(∠A为锐角)【正弦和余弦注意事项】1.sinA、cosA是在直角三角形中定义的，∠A是锐角(注意数形结合，构造直角三角形)。2.sinA、cosA是一个比值（数值，无单位）。3.sinA、cosA的大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形的边长无关。0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要)三角函数30°45°60°sin212223cos232221tan3313锐角三角函数的关系（互余两角的三角函数关系（A为锐角））：1、sinA=cos（90°-A）,即一个锐角的正弦值等于它余角的余弦值。2、cosA=sin（90°-A）,即一个锐角的余弦值等于它余角的余正切值。正弦、余弦的增减性：当0°≤≤90°时，sin随的增大而增大，cos随的增大而减小。正切的增减性：当0°90°时，tan随的增大而增大，【考查题型汇总】考查题型一利用锐角三角函数概念求三角函数值1．（2018·南开大学附属中学中考模拟）如图，已知△ABC的三个顶点均在格点上，则cosA的值为（）对边bacA．33B．55C．233D．255【答案】D【详解】过B点作BD⊥AC，如图，由勾股定理得，AB=221310，AD=222222，cosA=ADAB=2210=255，故选D．2．（2019·福建中考模拟）如图，在RtABC中，90C∠，10AB，8AC，则sinA等于（）A．35B．45C．34D．43【答案】A【解析】详解：在Rt△ABC中，∵AB=10、AC=8，∴BC=2222=108=6ABAC，∴sinA=63105BCAB.故选：A．3．（2017·天津中考模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线OA过点（2，1），则tanα的值是()A．2B．12C．55D．255【答案】B【解析】根据题意可由点的坐标得到其到x轴的距离为1，到y轴的距离为2，因此可根据正切的意义，可得tanα=1=2对边邻边.故选：B4．（2019·天津市红光中学中考模拟）在Rt△ABC中，∠C=90°，sinB=513，则tanA的值为（）A．513B．1213C．512D．125【答案】D【解析】试题解析：由RtABC△中,590,sin13CBo，得5cossin.13AB由22sincos1,AA得2121cos13sinAA，12sin1213tan.5cos513AAA故选D.5．（2019·湖南中考模拟）RtABC中，C90，若BC2，AC3，下列各式中正确的是()A．2sinA3B．2cosA3C．2tanA3D．2cotA3【答案】C【详解】解：C90oQ，BC2，AC3，AB13，A.BC2213sinAAB1313，故此选项错误；B.AC313cosAAB13，故此选项错误；C.BC2tanAAC3，故此选项正确；D.AC3cotABC2，故此选项错误．故选：C．考查题型二利用锐角三角函数概念求线段的长1．（2018·辽宁中考模拟）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，cosB＝23，则BC的长为_____．【答案】4【详解】∵∠C=90°，AB=6，∴2cos3BCBAB，∴BC=23AB4.2．（2019·江苏中考真题）如图，在ABC△中，62BC，45C，2ABAC，则AC的长为________．【答案】2【详解】过A作ADBC于D点，设2ACx，则2ABx，因为45C，所以ADCDx，则由勾股定理得223BDABADx，因为62BC，所以362BCxx，则2x．则2AC．3．（2015·上海中考模拟）在RtABC中，90C，如果6AB，2cos3A，那么AC；【答案】4【解析】因为在RtABC中，90C，所以2cos3ACAAB,所以226433ACAB.4．（2019·广西中考模拟）Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝35，AC＝6cm，那么BC等于_____．【答案】8cm【详解】在RtABC中，QcosACAAB，6103cos5ACABcmA，则22221068BCABACcm.故答案为8cm.考查题型三通过特殊角的三角函数值进行计算1．（2019·四川中考模拟）在△ABC中，（cosA﹣12）2+|tanB﹣1|＝0，则∠C＝_____．【答案】75°．【详解】解：∵（cosA﹣12）2+|tanB﹣1|＝0，∴cosA﹣12＝0，tanB﹣1＝0，则cosA＝12，tanB＝1，∴∠A＝60°，∠B＝45°，∴∠C＝180°﹣60°﹣45°＝75°．故答案为：75°．2．（2019·湖北中考真题）计算3127sin30823___________．【答案】13.【详解】原式132312213．故答案为：13．3．（2019·湖北中考真题）计算：0(2019)2cos60______．【答案】0【详解】0(2019)2cos60=1122=1-1=0，故答案为：0.4．（2019·湖北中考模拟）2﹣1﹣3tan60°+（π﹣2011）0+12-＝_____．【答案】-1【详解】原式＝11113313112222故答案为：﹣1．5．（2018·四川中考真题）已知|sinA﹣12|+2(3tan)B=0，那么∠A+∠B=．【答案】90°【详解】解：由题意可知：sinA=12，tanB=3，∴∠A=30°，∠B=60°，∴∠A+∠B=90°故答案为：90°6.（2018·湖北中考真题）计算：22×2﹣2﹣|3tan30°﹣3|+20180=_____．【答案】12【详解】原式=2×14﹣|333﹣3|+1=12﹣2+1=﹣12，故答案为：﹣12．考查题型四等角代换法求锐角三角函数1．（2019·浙江中考模拟）如图，6个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点，已知菱形的一个角（如∠O）为60°，A，B，C，D都在格点上，且线段AB、CD相交于点P，则∠APC的正切值为_____．【答案】√32【详解】解：如图取格点E，连接EC、DE．设小菱形的边长为1．由题意：EC∥AB，∴∠APC=∠ECD，∵∠CDO=60°，∠EDB=30°，∴∠CDE=90°，∵CD=2，DE=√3，∴tan∠APC=tan∠ECD=𝐷𝐷𝐷𝐷=√32，故答案为√32．2．（2019·杭州市余杭区乾元中学中考模拟）如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB与CD相交于点P，则tan∠APD的值为______.【答案】2【详解】如图：，连接BE，∵四边形BCED是正方形，∴DF=CF=12CD，BF=12BE，CD=BE，BE⊥CD，∴BF=CF，根据题意得：AC∥BD，∴△ACP∽△BDP，∴DP：CP=BD：AC=1：3，∴DP：DF=1：2，∴DP=PF=12CF=12BF，在Rt△PBF中，tan∠BPF=𝐷𝐷𝐷𝐷=2，∵∠APD=∠BPF，∴tan∠APD=2．故答案为：2考查题型五通过参数法求锐角三角函数值1．（2019·山东中考模拟）如图，在矩形ABCD中，点E是边BC的中点，AE⊥BD，垂足为F，则tan∠BDE的值是（）A．24B．14C．13D．23【答案】A【详解】∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，AD∥BC，∵点E是边BC的中点，∴BE=12BC=12AD，∴△BEF∽△DAF，∴12EFBEAFAD，∴EF=12AF，∴EF=13AE，∵点E是边BC的中点，∴由矩形的对称性得：AE=DE，∴EF=13DE，设EF=x，则DE=3x，∴DF=22=22DEEFx，∴tan∠BDE=2422xEFxDF.故选A．2．（2019·山西中考模拟）在RtABC中，∠C=90°，3sin5A，则tanB的值为（）A．45B．35C．34D．43【答案】D【详解】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∵sinA=BCAB=35，设BC=3x，则AB=5x，∵BC2+AC2=AB2∴AC=4x．∴tanB=ACBC＝4x3x＝43．故选D．3．（2016·湖南中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝45，AC＝6cm，则BC的长度为()A．6cmB．7cmC．8cmD．9cm【答案】C【详解】已知sinA=45BCAB，设BC=4x，AB=5x，又因AC2+BC2=AB2，即62+（4x）2=（5x）2，解得：x=2或x=﹣2（舍），所以BC=4x=8cm，故答案选C．4．（2019·四川中考模拟）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝35，则tanB的值为()A．43B．45C．54D．34【答案】A【详解】sinA＝35设三边分别为BC=3x，AC=4x，AB=5xtanB=4433ACxBCx故选A考查题型六构造直角三角形求锐角三角函数值1．（2019·广西中考模拟）∠BAC放在正方形网格纸的位置如图，则tan∠BAC的值为（）A．16B．15C．13D．12【答案】D【详解】连接CD，如图：222222AD，CD=22112，AC=223110．∵22222210（）（）（），∴∠ADC=90°，∴tan∠BAC=222CDAD=12．故选D．2．（2019·湖北中考真题）如图，在54的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，则sinBAC的值为（）A．43B．34C．35D．45【答案】D【详解】如图，过C作CDAB于D，则=90ADC，222234ACADCD＝5．4sin5CDBACAC==．故选D．3．（2019·浙江中考模拟）如图所示，ABC△的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为（）A．12B．55C．255D．1010【答案】B【详解】解：连接CD（如图所示），设小正方形的边长为1，∵BD=CD=2211=2，∠DBC=∠DCB=45°，∴CDAB，在Rt△ADC中，10AC，2CD，则25sin510CDAAC．故选B．4．（2018·江西中考真题）如图，反比例函数  0kykx的图象与正比例函数2yx的图象相交于A(1,a),B两点，点C在第四象限，CA∥y轴，90ABC.(1)求k的值及点B的坐标；(2)求tanC的值.【答案】（1）2k，1,2B；（2）2.【详解】（1）∵点A(1，a)在2yx上，∴a=2，∴A(1，2)，把A(1，2)代入kyx得2k，∵反比例函数0kykx的图象与正比例函数2yx的图象交于A，B两点，∴AB、两点关于原点O中心对称，∴12B，；（2）作BH⊥AC于H，设AC交x轴于点D，∵90ABC，90BHC，∴CABH，∵CA∥y轴，∴BH∥x轴，∴AODABH，∴CAOD，∴AD22OD1tanCtanAOD.知识点二解直角三角形一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角．由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形．直角三角形五元素之间的关系：1.勾股