2020年中考数学一轮复习 分式方程及其应用考点讲义及练习（含解析）

分式方程及其应用【中考真题】【2019葫芦岛】某工厂计划生产300个零件，由于采用新技术，实际每天生产零件的数量是原计划的2倍，因此提前5天完成任务．设原计划每天生产零件x个，根据题意，所列方程正确的是（）A．300𝑥−300𝑥+2=5B．3002𝑥−300𝑥=5C．300𝑥−3002𝑥=5D．300𝑥+2−300𝑥=5透析考纲分式方程及其应用是中考的必考内容之一，一般着重考查解分式方程及列分式方程解应用题，并要求会用增根的意义解题，考题常以解答题的形式出现，有时也会出现在选择题和填空题中．基础知识过关1．＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿的方程叫做分式方程；2．解分式方程的基本思想是把分式方程化为＿＿＿＿＿＿；3．分式方程的增根是使＿＿＿＿＿＿为零的未知数的值，增根是在＿＿＿的过程中产生的；4．因为可能有增根的产生，因此分式方程的相关问题一定要注意＿＿＿＿＿＿．精选好题【考向01】分式方程的相关概念【试题】【2019鸡西】已知关于x的分式方程2𝑥−𝑚𝑥−3=1的解是非正数，则m的取值范围是（）A．m≤3B．m＜3C．m＞–3D．m≥–3【好题变式练】1．下列各式中是分式方程的是（）A．1𝑥B．x2+1＝yC．𝑥2+1＝0D．1𝑥−1=22．【2019宿迁】关于x的分式方程1𝑥−2+𝑎−22−𝑥=1的解为正数，则a的取值范围是＿＿＿＿＿．【考向02】分式方程的解法【试题】【2019益阳】解分式方程𝑥2𝑥−1+21−2𝑥=3时，去分母化为一元一次方程，正确的是（）A．x+2＝3B．x–2＝3C．x–2＝3（2x–1）D．x+2＝3（2x–1）要点归纳分式方程的特征：（1）方程中含有分母；（2）分母中含有未知数．分式方程的解：使分式方程左右两边相等的未知数的值叫做分式方程的解（也叫做分式方程的根）．解题关键本考点主要考查分式方程的相关概念：分式方程的定义及特征、分式方程的解，均为基础知识的考查，难度不大，一般以选择题或填空题的形式出现．【好题变式练】1．【2019淄博】解分式方程1−𝑥𝑥−2=12−𝑥−2时，去分母变形正确的是（）A．–1+x＝–1–2（x–2）B．1–x＝1–2（x–2）C．–1+x＝1+2（2–x）D．1–x＝–1–2（x–2）2．【2019宁夏】解方程：2𝑥+2+1=𝑥𝑥−1．【考向03】分式方程的增根【试题】【2019烟台】若关于x的分式方程3𝑥𝑥−2−1=𝑚+3𝑥−2有增根，则m的值为＿＿＿＿＿．要点归纳解分式方程的步骤：(1)去分母：在方程的两边同时乘以最简公分母，把分式方法转化为整式方程；(2)解这个整式方程；(3)检验：把一元一次方程的根代入所乘的最简公分母中，看结果是否为0；(4)写出原分式方程的解．解题技巧代数式的书写规范属于基础知识的考查，解题的关键是掌握相关的书写规则并在日常书写代数式时引起足够重视，严格按规则书写即可．【好题变式练】1．若分式方程3𝑥−𝑎𝑥2−2𝑥+1𝑥−2=2𝑥有增根，则实数a的取值是（）A．0或2B．4C．8D．4或82．当m＝＿＿＿＿＿时，解分式方程𝑥−5𝑥−3=𝑚3−𝑥会出现增根．【考向04】分式方程的应用【试题】【2019湘潭】现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展．据调查，湘潭某家小型快递公司的分拣工小李和小江，在分拣同一类物件时，小李分拣120个物件所用的时间与小江分拣90个物件所用的时间相同，已知小李每小时比小江多分拣20个物件．若设小江每小时分拣x个物件，则可列方程为（）A．120𝑥−20=90𝑥B．120𝑥+20=90𝑥C．120𝑥=90𝑥−20D．120𝑥=90𝑥+20要点归纳分式方程的增根：在去分母，将分式方程转化为整式方程的过程中出现的不适合于原方程的根．增根产生的原因：分式方程两边同乘以一个零因式后，所得的根是整式方程的根，而不是分式方程的根．解题技巧分式方程的增根问题属于分式方程中的重点、难点问题，在涉及到分式方程的相关问题时，一定要注意检验，同时要清楚分式方程增根产生的原因，从而解决与增根有关的问题．【好题变式练】1．【2019辽阳】某施工队承接了60公里的修路任务，为了提前完成任务，实际每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前60天完成了这项任务．设原计划每天修路x公里，根据题意列出的方程正确的是（）A．60×(1+25%)𝑥−60𝑥=60B．60𝑥−60×(1+25%)𝑥=60C．60(1+25%)𝑥−60𝑥=60D．60𝑥−60(1+25%)𝑥=602．【2019朝阳】佳佳文具店购进A，B两种款式的笔袋，其中A种笔袋的单价比B种袋的单价低10%．已知店主购进A种笔袋用了810元，购进B种笔袋用了600元，且所购进的A种笔袋的数量比B种笔袋多20个．请问：文具店购进A，B两种款式的笔袋各多少个？要点归纳列分式方程解应用题的一般步骤（1）审：即审题：根据题意找出已知量和未知量，并找出等量关系．（2）设：即设未知数，设未知数的方法有直接设和间接设，注意单位要统一，选择一个未知量用未知数表示，并用含未知数的代数式表示相关量．（3）列：即列方程，根据等量关系列出分式方程．（4）解：即解所列的分式方程，求出未知数的值．（5）验：即验根，要检验所求的未知数的值是否适合分式方程，还要检验此解是否符合实际意义．（6）答：即写出答案，注意答案完整．解题技巧分式方程的应用的属于高频考点，常以解答题形式出现，且经常和其它知识点（如不等式等）结合进行综合考查，一般难度为中等．列分式方程解应用题的关键是用分式表示一些基本的数量关系，列分式方程解应用题一定要验根，还要保证其结果符号实际意义．过关斩将1．下列关于x的方程中，是分式方程的是（）A．3x=12B．1𝑥=2C．𝑥+25=3+𝑥4D．3x–2y＝12．【2019•遂宁】关于x的方程𝑘2𝑥−4−1=𝑥𝑥−2的解为正数，则k的取值范围是（）A．k＞–4B．k＜4C．k＞–4且k≠4D．k＜4且k≠–43．【2019•哈尔滨】方程23𝑥−1=3𝑥的解为（）A．x=311B．x=113C．x=37D．x=734．如果解关于x的分式方程𝑚𝑥−2−2𝑥2−𝑥=1时出现增根，那么m的值为（）A．–2B．2C．4D．–45．【2019•永州】方程2𝑥−1=1𝑥的解为x＝＿＿＿＿＿．6．【2019•巴中】若关于x的分式方程𝑥𝑥−2+2𝑚2−𝑥=2m有增根，则m的值为＿＿＿＿＿．7．【2019•盘锦】某班学生从学校出发前往科技馆参观，学校距离科技馆15km，一部分学生骑自行车先走，过了15min后，其余学生乘公交车出发，结果同时到达科技馆．已知公交车的速度是自行车速度的1.5倍，那么学生骑自行车的速度是＿＿＿＿＿km/h．8．【2019•济南】为提高学生的阅读兴趣，某学校建立了共享书架，并购买了一批书籍．其中购买A种图书花费了3000元，购买B种图书花费了1600元，A种图书的单价是B种图书的1.5倍，购买A种图书的数量比B种图书多20本．（1）求A和B两种图书的单价；（2）书店在“世界读书日”进行打折促销活动，所有图书都按8折销售．若学校当天再购买A种图书20本和B种图书25本，共需花费多少元？参考答案过关斩将1．B【解析】A、C、D项中的方程分母中不含未知数，故不是分式方程，故选B．2．C【解析】分式方程去分母得：k–（2x–4）＝2x，即k+4＝4x，解得：x=𝑘+44，根据题意得：𝑘+44＞0，且𝑘+44≠2，解得：k＞–4，且k≠4．故选C．3．C【解析】方程两边同时乘以𝑥(3𝑥−1)得：2x＝9x–3，∴x=37；经检验x=37是方程的根，∴方程的解为x=37，故选C．4．D【解析】去分母，方程两边同时乘以x–2，得：m+2x＝x–2，由分母可知，分式方程的增根是2，当x＝2时，m+4＝2–2，m＝–4，故选D．5．–1【解析】去分母得：2x＝x–1，解得：x＝–1，经检验x＝–1是分式方程的解，故答案为：–1．6．1【解析】方程两边都乘x–2，得x–2m＝2m（x–2）∵原方程有增根，∴最简公分母x–2＝0，解得x＝2，当x＝2时，2–2m＝0，即m＝1，故m的值是1，故答案为1．7．20【解析】设学生骑自行车的速度是xkm/h，则公交车的速度是1.5xkm/h，由题意得：15𝑥−151.5𝑥=1560，解得：x＝20，经检验x＝20是原方程的解，答：骑车学生每小时行20千米．8．（1）A种图书的单价为30元，B种图书的单价为20元．（2）共花费880元．【解析】（1）设B种图书的单价为x元，则A种图书的单价为1.5x元，依题意，得：30001.5𝑥−1600𝑥=20，解得：x＝20，经检验，x＝20是所列分式方程的解，且符合题意，∴1.5x＝30．答：A种图书的单价为30元，B种图书的单价为20元．（2）30×0.8×20+20×0.8×25＝880（元）．答：共需花费880元．