2020年中考数学考点专项突破卷19 锐角三角函数和解直角三角形（含解析）

19.1锐角三角函数和解直角三角形精选考点专项突破卷（一）考试范围：锐角三角函数和解直角三角形；考试时间：90分钟；总分：120分一、单选题（每小题3分，共30分)1．（2015·四川中考真题）如图，已知△ABC的三个顶点均在格点上，则cosA的值为（）A．33B．55C．233D．2552．（2018·湖北中考真题）如图，在RtABC中，90C∠，10AB，8AC，则sinA等于（）A．35B．45C．34D．433．（2018·黑龙江中考真题）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD=8，tan∠ABD=34，则线段AB的长为（）A．7B．27C．5D．104．（2014·四川中考真题）如图，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1：√3，堤高BC=10m，则坡面AB的长度是（）A．15mB．20√3𝑚C．20mD．10√3𝑚5．（2018·湖南中考真题）如图，小刚从山脚A出发，沿坡角为的山坡向上走了300米到达B点，则小刚上升了（）A．300sin米B．300cos米C．300tan米D．300tan米6．（2012·山东中考真题）把△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A的正弦函数值（）A．不变B．缩小为原来的13C．扩大为原来的3倍D．不能确定7．（2014·四川中考真题）在△ABC中，若21cos(1tan)2AB=0，则∠C的度数是（）A．45°B．60°C．75°D．105°8．（2018·山东中考真题）如图，在矩形ABCD中，点E是边BC的中点，AE⊥BD，垂足为F，则tan∠BDE的值是（）A．24B．14C．13D．239．（2019·湖南中考真题）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，AB的垂直平分线EF交AC于点D，连接BD，若cos∠BDC＝57，则BC的长是（）A．10B．8C．43D．2610．（2018·浙江中考真题）如图，两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上，量得∠ABC=，∠ADC=，则竹竿AB与AD的长度之比为()A．tantanB．sinsinC．sinsinD．coscos二、填空题（每小题4分，共28分)11．（2013·辽宁中考真题）△ABC中，∠C=90°，AB=8，cosA=34，则BC的长．12．（2019·四川中考真题）如图，在△ABC中，30B，2AC,3cos5C.则AB边的长为___________.13．（2019·山东中考真题）如图，一架长为6米的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时测得70ABO，如果梯子的底端B外移到D，则梯子顶端A下移到C，这时又测得50CDO，那么AC的长度约为______米．（sin700.94，sin500.77，cos700.34，cos500.64）14．（2019·山东中考真题）如图，小明为了测量校园里旗杆AB的高度，将测角仪CD竖直放在距旗杆底部B点6m的位置，在D处测得旗杆顶端A的仰角为53°，若测角仪的高度是1.5m，则旗杆AB的高度约为______m．（精确到0.1m．参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）15．（2019·广西中考真题）如图，在ABC中，1sin3B，2tan2C，3AB，则AC的长为_____．16．（2013·湖北中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，过D点作AB的垂线交AC于点E，BC=6，sinA=35，则DE=．17．（2019·江苏中考真题）如图，在矩形ABCD中，3AB，2BC，H是AB的中点，将CBH沿CH折叠，点B落在矩形内点P处，连接AP，则tanHAP__．三、解答题一（每小题6分，共18分)18．（2019·四川中考真题）计算：201436sin45183o．19．（2019·四川中考真题）计算：21tan45(32)|32|2．20．（2019·四川中考真题）计算：201920(1)(2)(3.14)4cos30|212|四、解答题二（每小题8分，共24分)21．（2014·湖南中考真题）一艘观光游船从港口A以北偏东60°的方向出港观光，航行80海里至C处时发生了侧翻沉船事故，立即发出了求救信号，一艘在港口正东方向的海警船接到求救信号，测得事故船在它的北偏东37°方向，马上以40海里每小时的速度前往救援，求海警船到大事故船C处所需的大约时间．（温馨提示：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6）22．（2019·山东中考真题）自开展“全民健身运动”以来，喜欢户外步行健身的人越来越多，为方便群众步行健身，某地政府决定对一段如图1所示的坡路进行改造．如图2所示，改造前的斜坡200AB米，坡度为1:3；将斜坡AB的高度AE降低20AC米后，斜坡AB改造为斜坡CD，其坡度为1:4．求斜坡CD的长．（结果保留根号）23．（2016·青海中考真题）如图，某校教学楼AB的后面有一建筑物CD，当光线与地面的夹角是22º时，教学楼在建筑物的墙上留下高2m的影子CE；而当光线与地面的夹角是45º时，教学楼顶A在地面上的影子F与墙角C有13m的距离(B、F、C在一条直线上)．(1)求教学楼AB的高度；(2)学校要在A、E之间挂一些彩旗，请你求出A、E之间的距离(结果保留整数)．(参考数据：sin22º≈38，cos22º≈1516，tan22º≈25)五、解答题三（每小题10分，共20分)24．（2017·湖北中考真题）（2017湖北省鄂州市）小明想要测量学校食堂和食堂正前方一棵树的高度，他从食堂楼底M处出发，向前走3米到达A处，测得树顶端E的仰角为30°，他又继续走下台阶到达C处，测得树的顶端E的仰角是60°，再继续向前走到大树底D处，测得食堂楼顶N的仰角为45°．已知A点离地面的高度AB=2米，∠BCA=30°，且B、C、D三点在同一直线上．（1）求树DE的高度；（2）求食堂MN的高度．25．（2018·江苏中考真题）日照间距系数反映了房屋日照情况．如图①，当前后房屋都朝向正南时，日照间距系数=L：（H﹣H1），其中L为楼间水平距离，H为南侧楼房高度，H1为北侧楼房底层窗台至地面高度．如图②，山坡EF朝北，EF长为15m，坡度为i=1：0.75，山坡顶部平地EM上有一高为22.5m的楼房AB，底部A到E点的距离为4m．（1）求山坡EF的水平宽度FH；（2）欲在AB楼正北侧山脚的平地FN上建一楼房CD，已知该楼底层窗台P处至地面C处的高度为0.9m，要使该楼的日照间距系数不低于1.25，底部C距F处至少多远？19.1锐角三角函数和解直角三角形精选考点专项突破卷（一）参考答案1．D【解析】过B点作BD⊥AC，如图，由勾股定理得，AB=221310，AD=222222，cosA=ADAB=2210=255，故选D．2．A【解析】分析：先根据勾股定理求得BC=6，再由正弦函数的定义求解可得．详解：在Rt△ABC中，∵AB=10、AC=8，∴BC=2222=108=6ABAC，∴sinA=63105BCAB.故选：A．点睛：本题主要考查锐角三角函数的定义，解题的关键是掌握勾股定理及正弦函数的定义．3．C【解析】分析：根据菱形的性质得出AC⊥BD，AO=CO，OB=OD，求出OB，解直角三角形求出AO，根据勾股定理求出AB即可．详解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO=CO，OB=OD，∴∠AOB=90°，∵BD=8，∴OB=4，∵tan∠ABD=3 4AOOB，∴AO=3，在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB=2222=34AOOB=5，故选C．点睛：本题考查了菱形的性质、勾股定理和解直角三角形，能熟记菱形的性质是解此题的关键．4．C【解析】试题分析：∵Rt△ABC中，BC=10m，tanA=1：√3，∴AC=BC÷tanA=10√3m．∴AB=√𝑚𝑚2+𝑚𝑚2=√(10√3)2+102=20m．故选C．考点：1．解直角三角形的应用（坡度坡角问题）；2．锐角三角函数定义；3．特殊角的三角函数值．；4．勾股定理．5．A【解析】利用锐角三角函数关系即可求出小刚上升了的高度．【详解】在Rt△AOB中，∠AOB=90°，AB=300米，BO=AB•sinα=300sinα米．故选A．【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，根据题意构造直角三角形，正确选择锐角三角函数得出AB，BO的关系是解题关键．6．A。【解析】锐角三角函数的定义。【分析】因为△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍所得的三角形与原三角形相似，所以锐角A的大小没改变，所以锐角A的正弦函数值也不变。故选A。7．C【解析】根据非负数的性质可得出cosA及tanB的值，继而可得出A和B的度数，根据三角形的内角和定理可得出∠C的度数．【详解】由题意，得cosA=12，tanB=1，∴∠A=60°，∠B=45°，∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-60°-45°=75°．故选C．8．A【解析】证明△BEF∽△DAF，得出EF=12AF，EF=13AE，由矩形的对称性得：AE=DE，得出13EFDE，设EF=x，则DE=3x，由勾股定理求出22=22DFDEEFx再由三角函数定义即可得出答案．【详解】∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，AD∥BC，∵点E是边BC的中点，∴BE=12BC=12AD，∴△BEF∽△DAF，∴12EFBEAFAD，∴EF=12AF，∴EF=13AE，∵点E是边BC的中点，∴由矩形的对称性得：AE=DE，∴EF=13DE，设EF=x，则DE=3x，∴DF=22=22DEEFx，∴tan∠BDE=2422xEFxDF.故选A．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，三角函数等知识；熟练掌握矩形的性质，证明三角形相似是解决问题的关键．9．D【解析】设CD＝5x，BD＝7x，则BC＝26x，由垂直平分线的性质可得BD=AD，可得AC=12x，由AC＝12即可求x，进而求出BC；【详解】∵∠C＝90°，cos∠BDC＝57，设CD＝5x，BD＝7x，∴BC＝26x，∵AB的垂直平分线EF交AC于点D，∴AD＝BD＝7x，∴AC＝12x，∵AC＝12，∴x＝1，∴BC＝26；故选D.【点睛】本题考查直角三角形的性质；熟练掌握直角三角形函数的三角函数值，线段垂直平分线的性质是解题的关键.10．B【解析】在两个直角三角形中，分别求出AB、AD即可解决问题；【详解】在Rt△ABC中，AB=ACsin，在Rt△ACD中，AD=ACsin，∴AB：AD=ACsin：ACsin=sinsin，故选B．【点睛】本题考查解直角三角形的应用、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题．11．27．【解析】首先利用余弦函数的定义求得AC的长，然后利用勾股定理即可求得BC的长：∵△ABC中，∠C=90°，AB=8，，∴3ACABcosA864．∴2222BCABAC8627．故答案为2712．165【解析】过A作AD⊥BC于D点，根据3cos5C，可求得CD，在Rt△ACD中由勾股定理可求得AD，再利用Rt△ADB中30B，可知AB=2AD，即可解题【详解】过A作AD⊥BC于D点，∵3cos5CDCAC，AC=2∴CD=65在Rt△ACD中由勾股定理得：AD=85又∵∠B=30°∴AB=2AD=165.【点睛】本题考查了锐角三角函数，勾股定理求线段长度，30°所对的直角边是斜边的一半，灵活联合运用即可解题.13．1.02【解析】直接利用锐角三角函数关系得出AO，CO的长，进而得出答案．【详解】由题意可得：∵70ABO，6ABm，sin700.946AOAOAB，解得：5.6()4AOm，∵50CDO，6DCm，sin50