2020年中考数学考点一遍过 考点09 一次函数（含解析）

考点09一次函数一、正比例函数的概念一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做正比例系数．二、一次函数1.一次函数的定义一般地，形如y=kx+b(k，b为常数，且k≠0)的函数叫做x的一次函数.特别地，当一次函数y=kx+b中的b=0时，y=kx（k是常数，k≠0）．这时，y叫做x的正比例函数．2.一次函数的一般形式一次函数的一般形式为y=kx+b，其中k，b为常数，k≠0．一次函数的一般形式的结构特征：（1）k≠0，（2）x的次数是1；（3）常数b可以为任意实数.3.注意（1）正比例函数是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数.（2）一般情况下，一次函数的自变量的取值范围是全体实数.（3）如果一个函数是一次函数，则含有自变量x的式子是一次的，系数k不等于0，而b可以为任意实数．（4）判断一个函数是不是一次函数，就是判断它是否能化成y=kx+b（k≠0）的形式.（5）一次函数的一般形式可以转化为含x、y的二元一次方程.三、一次函数的图象及性质1．正比例函数的图象特征与性质正比例函数y=kx（k≠0）的图象是经过原点（0，0）的一条直线．k的符号函数图象图象的位置性质k0图象经过第一、三象限y随x的增大而增大k0图象经过第二、四象限y随x的增大而减小2.一次函数的图象特征与性质（1）一次函数的图象一次函数的图象一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是经过点(0，b)和(-bk，0)的一条直线图象关系一次函数y=kx+b(k≠0)的图象可由正比例函数y=kx(k≠0)的图象平移得到；b0，向上平移b个单位长度；b0，向下平移|b|个单位长度图象确定因为一次函数的图象是一条直线，由两点确定一条直线可知画一次函数图象时，只要取两点即可（2）一次函数的性质函数字母取值图象经过的象限函数性质y=kx+b(k≠0)k0，b0一、二、三y随x的增大而增大k0，b0一、三、四y=kx+b(k≠0)k0，b0一、二、四y随x的增大而减小k0，b0二、三、四3.k，b的符号与直线y=kx+b（k≠0）的关系在直线y=kx+b（k≠0）中，令y=0，则x=-bk，即直线y=kx+b与x轴交于（–bk，0）．①当–bk0时，即k，b异号时，直线与x轴交于正半轴．②当–bk=0，即b=0时，直线经过原点．③当–bk0，即k，b同号时，直线与x轴交于负半轴．4.两直线y=k1x+b1（k1≠0）与y=k2x+b2（k2≠0）的位置关系：①当k1=k2，b1≠b2，两直线平行；②当k1=k2，b1=b2，两直线重合；③当k1≠k2，b1=b2，两直线交于y轴上一点；④当k1·k2=–1时，两直线垂直．四、待定系数法1．定义：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知数的系数，从而得出函数解析式的方法叫做待定系数法．2．待定系数法求正比例函数解析式的一般步骤（1）设含有待定系数的函数解析式为y=kx（k≠0）．（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析式，得到关于系数k的一元一次方程．（3）解方程，求出待定系数k．（4）将求得的待定系数k的值代入解析式．3．待定系数法求一次函数解析式的一般步骤（1）设出含有待定系数k、b的函数解析式y=kx+b．（2）把两个已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析式，得到关于系数k，b的二元一次方程组．（3）解二元一次方程组，求出k，b．（4）将求得的k，b的值代入解析式．五、一次函数与正比例函数的区别与联系正比例函数一次函数区别一般形式y=kx+b（k是常数，且k≠0）y=kx+b（k，b是常数，且k≠0）图象经过原点的一条直线一条直线k，b符号的作用k的符号决定其增减性，同时决定直线所经过的象限k的符号决定其增减性；b的符号决定直线与y轴的交点位置；k，b的符号共同决定直线经过的象限求解析式的条件只需要一对x，y的对应值或一个点的坐标需要两对x，y的对应值或两个点的坐标联系比例函数是特殊的一次函数．②正比例函数图象与一次函数图象的画法一样，都是过两点画直线，但画一次函数的图象需取两个不同的点，而画正比例函数的图象只要取一个不同于原点的点即可．③一次函数y=kx+b（k≠0）的图象可以看作是正比例函数y=kx（k≠0）的图象沿y轴向上（b0）或向下（b0）平移|b|个单位长度得到的．由此可知直线y=kx+b（k≠0，b≠0）与直线y=kx（k≠0）平行．④一次函数与正比例函数有着共同的性质：a．当k0时，y的值随x值的增大而增大；b．当k0时，y的值随x值的增大而减小．六、一次函数与方程（组）、不等式1．一次函数与一元一次方程任何一个一元一次方程都可以转化为kx+b=0(k，b为常数，且k≠0)的形式．从函数的角度来看，解这个方程就是寻求自变量为何值时函数值为0；从函数图象的角度考虑，解这个方程就是确定直线y=kx+b与x轴的交点的横坐标．2．一次函数与一元一次不等式任何一个一元一次不等式都能写成ax+b0（或ax+b0）（a，b为常数，且a≠0）的形式．从函数的角度看，解一元一次不等式就是寻求使一次函数y=ax+b（a≠0）的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=ax+b（a≠0）在x轴上（或下）方部分的点的横坐标满足的条件．3．一次函数与二元一次方程组一般地，二元一次方程mx+ny=p（m，n，p是常数，且m≠0，n≠0）都能写成y=ax+b（a，b为常数，且a≠0）的形式．因此，一个二元一次方程对应一个一次函数，又因为一个一次函数对应一条直线，所以一个二元一次方程也对应一条直线．进一步可知，一个二元一次方程对应两个一次函数，因而也对应两条直线．从数的角度看，解二元一次方程组相当于考虑自变量为何值时，两个函数的值相等，以及这两个函数值是何值；从形的角度看，解二元一次方程组相当于确定两条直线的交点坐标，一般地，如果一个二元一次方程组有唯一解，那么这个解就是方程组对应的两条直线的交点坐标．七、一次函数图象与图形面积解决这类问题的关键是根据一次函数解析式求出一次函数图象与坐标轴的交点的坐标，或两条直线的交点坐标，进而将点的坐标转化成三角形的边长，或者三角形的高．如果围成的三角形没有边在坐标轴上或者与坐标轴平行，可以采用“割”或“补”的方法．八、一次函数的实际应用1．主要题型：（1）求相应的一次函数表达式；（2）结合一次函数图象求相关量、求实际问题的最值等．2．用一次函数解决实际问题的一般步骤为：（1）设定实际问题中的自变量与因变量；（2）通过列方程(组)与待定系数法求一次函数关系式；（3）确定自变量的取值范围；（4）利用函数性质解决问题；（5）检验所求解是否符合实际意义；（6）答．3．方案最值问题：对于求方案问题，通常涉及两个相关量，解题方法为根据题中所要满足的关系式，通过列不等式，求解出某一个事物的取值范围，再根据另一个事物所要满足的条件，即可确定出有多少种方案．4．方法技巧求最值的本质为求最优方案，解法有两种：（1）可将所有求得的方案的值计算出来，再进行比较；（2）直接利用所求值与其变量之间满足的一次函数关系式求解，由一次函数的增减性可直接确定最优方案及最值；若为分段函数，则应分类讨论，先计算出每个分段函数的取值，再进行比较．显然，第（2）种方法更简单快捷．考向一一次函数和正比例函数的定义1．正比例函数是特殊的一次函数．2．正比例函数解析式y=kx（k≠0）的结构特征：①k≠0；②x的次数是1．典例1若y=（m﹣2）x+（m2﹣4）是正比例函数，则m的取值是A．2B．﹣2C．±2D．任意实数【答案】B【解析】由正比例函数的定义可得：m2–4=0，且m–2≠0，解得，m=–2；故选B.典例2下列函数①y=﹣2x+1，②y=ax﹣b，③y=﹣6x，④y=x2+2中，是一次函数的有A．①②B．①C．②③D．①④【答案】B【解析】①y=﹣2x+1符合一次函数定义，故正确；②y=ax﹣b中当a=0时，它不是一次函数，故错误；③y=﹣6x属于反比例函数，故错误；④y=x2+2属于二次函数，故错误；综上所述，是一次函数的有1个．故选B．1．下列各点中，在函数y=–2x+5的图象上的是A．（0，―5）B．（2，9）C．（–2，–9）D．（4，―3）2．若正比例函数y=kx的图象经过点（1，2），则k=_______．考向二一次函数的图象及性质1．通常画正比例函数y=kx（k≠0）的图象时只需取一点（1，k），然后过原点和这一点画直线．2．当k0时，函数y=kx（k≠0）的图象从左向右，呈上升趋势；当k0时，函数y=kx（k≠0）的图象从左向右，呈下降趋势．3．正比例函数y=kx中，|k|越大，直线y=kx越靠近y轴；|k|越小，直线y=kx越靠近x轴．4．一次函数图象的位置和函数值y的增减性完全由b和比例系数k的符号决定．典例3一次函数y=–2x+b，b0，则其大致图象正确的是A．B．C．D．【答案】B【解析】因为k=–2，b0，所以图象在第二、三、四象限，故选B．典例4下列四个选项中，不符合直线y=3x–2的性质的选项是A．经过第一、三、四象限B．y随x的增大而增大C．与x轴交于（–2，0）D．与y轴交于（0，–2）【答案】C【解析】根据一次函数的性质，通过判断k和b的符号来判断函数所过的象限及函数与x轴y轴的交点．在y=3x–2中，∵k=3＞0，∴y随x的增大而增大；∵b=–20，∴函数与y轴相交于负半轴，∴可知函数过第一、三、四象限；∵当x=–2时，y=–8，所以与x轴交于（–2，0）错误，∵当y=–2时，x=0，所以与y轴交于（0，–2）正确，故选C．【名师点睛】牢记一次函数的性质：k0，y随x的增大而增大，函数图象从左到右上升；k0，y随x的增大而减小，函数图象从左到右下降．3．已知正比例函数y=x的图象如图所示，则一次函数y=mx+n图象大致是A．B．C．D．4．在一次函数y=（2m+2）x+4中，y随x的增大而增大，那么m的值可以是A．0B．–1C．–1.5D．–2考向三用待定系数法确定一次函数的解析式运用待定系数法求一次函数解析式的步骤可简单记为：一设，二代，三解，四回代．典例5已知一次函数y=kx+b，当x=3时，y=14，当x=–1时，y=–6.mn（1）求k与b的值；（2）当y与x相等时，求x的值.【解析】（1）∵当x=3时，y=14，当x=–1时，y=–6，∴3146kbkb，∴51kb；（2）∵51kb，∴y=5x–1，当y与x相等时，则x=5x–1，∴x=14.【名师点睛】此题考查了待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．典例6一次函数y=kx+b．当x=﹣3时，y=0；当x=0时，y=﹣4，求k与b的值．【解析】将x=–3，y=0；x=0，y=–4分别代入一次函数解析式得：304kbb，解得434kb，即k=–43，b=–4．【名师点睛】本题考查的是一次函数，熟练掌握待定系数法是解题的关键.5．一个正比例函数的图象经过点（–2，4），它的表达式为A．y=–2xB．y=2xC．y=–xD．y=x6．一次函数的图象经过点A（2，4）和B（﹣1，﹣5）两点．（1）求出该一次函数的表达式；（2）判断（﹣5，﹣4）是否在这个函数的图象上？12127．已知y–1与x+2成正比例，且x=–1时，y=3．（1）求y与x之间的关系式；（2）它的图象经过点（m–1，m+1），求m的值.考向四一次函数与一元一次方程1．方程ax+b=k（a≠0）的解⇔函数y=ax+b（a≠0）中，y=k时x的值.2．方程ax+b=k（a≠0）的解⇔函数y=ax+b（a≠0）的图象与直线y=k的交点的横坐标．典例7已知函数y=kx+b的部分函数值如表所示，则关于x的方程kx+b+3=0的解是x…–2–101…y…531–1…A．x=2B．x=3C．x=–2D．x=–3【答案】A【解析】∵当x=0时，y=1，当