2020年中考数学复习 黄金分割难题训练

2020中考复习--黄金分割专题训练（一）一、选择题1.若P是线段AB的黄金分割点(𝑃𝐴𝑃𝐵)，设𝐴𝐵=1，则PA的长约为()A.0.191B.0.382C.0.5D.0.6182.上海东方明珠电视塔高468𝑚.其上球体位于塔身的黄金分割点，那么它到塔底部的距离大约是()A.289.2𝑚B.178.8𝑚C.110.4𝑚D.468𝑚3.如果把一条线段分为两部分，使其中较长的一段与整条线段的长度比是黄金比，那么较短一段与较长一段的长度比也是黄金比．由此，假设整条线段长为1，较长的一段为x，可以列出的方程为()A.1−𝑥𝑥=𝑥1B.1−𝑥1=1𝑥C.𝑥1−𝑥=1−𝑥1D.1−𝑥𝑥=𝑥√54.已知点C是线段AB的黄金分割点(𝐴𝐶𝐵𝐶)，𝐴𝐵=4，则线段AC的长是()A.2√5−2B.6−2√5C.√5−1D.3−√55.一条线段的黄金分割点有()个A.1B.2C.3D.无数个6.在欧几里得的《几何原本》中给出一个找线段的黄金分割点的方法．如图所示，以线段AB为边作正方形ABCD，取AD的中点E，连结BE，延长DA至点F，使得𝐸𝐹=𝐵𝐸，以AF为边作正方形AFGH，则H即是线段AB的黄金分割点．若记正方形AFGH的面积为𝑆1，矩形BCIH的面积为𝑆2，则𝑆1与𝑆2的大小关系是()A.𝑆1𝑆2B.𝑆1𝑆2C.𝑆1=𝑆2D.不能确定7.已知点C把线段AB分成两条线段AC、BC，且𝐴𝐶𝐵𝐶，下列说法错误的是()A.如果𝐴𝐶𝐴𝐵=𝐵𝐶𝐴𝐶，那么线段AB被点C黄金分割B.如果𝐴𝐶2=𝐴𝐵⋅𝐵𝐶，那么线段AB被点C黄金分割C.如果线段AB被点C黄金分割，那么BC与AB的比叫做黄金比D.0.618是黄金比的近似值8.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=108°，AD、AE将∠BAC三等分交边BC于点D，点E，则下列结论中错误的是()A.点D是线段BC的黄金分割点B.点E是线段BC的黄金分割点C.点E是线段CD的黄金分割点D.𝐸𝐷𝐵𝐸=√5−12二、填空题9.据有关测定，当气温处于人体正常体温(37℃)的黄金比值时，人体感到最舒适，则这个气温约为_________℃(结果保留整数)．10.如果线段𝐴𝐵=10𝑐𝑚，P是线段AB的黄金分割点，那么线段𝐵𝑃=________cm．11.如图是一种贝壳的俯视图，点C分线段AB近似于黄金分割(𝐵𝐶𝐴𝐶).已知𝐴𝐵=4𝑐𝑚，则BC的长约为________𝑐𝑚.(结果精确到0.1)12.在自然界中，蝴蝶的身长与双翅展开后的长度的比接近于0.618.若双翅展开后的长度约为5.62𝑐𝑚，则其身长约为_______𝑐𝑚(保留两位小数)13.美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．某女模特身高165cm，下半身长𝑥(𝑐𝑚)与身高𝑙(𝑐𝑚)的比值是0.60.为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为____．14.在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比.已知这本书的长为20𝑐𝑚，则宽约为________(精确到1𝑐𝑚)．15.已知点C为线段AB的黄金分割点，且𝐴𝐶𝐵𝐶，若P点为线段AB上的任意一点，则P点出现在线段AC上的概率为________．三、解答题16.拥有一个完美的身材是很多人的梦想，世界著名的雕像“维纳斯”就被认为是最美的身材。因为她的身材比例符合黄金分割，这也是人们追求的完美的比例。人体结构就其整体而言，如果肚脐以上与肚脐以下两部分的比和肚脐以下与整体的比相等，就构成了黄金分割，肚脐眼就是黄金分割点，这个比值就是黄金分割比。因为它在造型艺术中具有美学价值，在工艺美术和日用品的长宽设计中，采用这一比值能够引起人们的美感，在实际生活中的应用也非常广泛，建筑物中某些线段的比就科学采用了黄金分割，舞台上的报幕员并不是站在舞台的正中央，而是偏在台上一侧，以站在舞台长度的黄金分割点的位置最美观，声音传播的最好。就连植物界也有采用黄金分割的地方，如果从一棵嫩枝的顶端向下看，就会看到叶子是按照黄金分割的规律排列着的。如果把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比，这个分割点就是黄金分割点，这个比值就是黄金分割比。如图1，点C在线段AB上，若满足𝐶𝐵:𝐴𝐶=𝐴𝐶:𝐴𝐵，则称点C为线段AB的黄金分割点。如图2，△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵=𝐴𝐶，∠𝐴=36°，BD平分∠𝐴𝐵𝐶交AC于点D。点D是线段AC的黄金分割点吗？说明理由。17.如图，以长为2的线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P，连接PD，在BA的延长线上取点F，使𝑃𝐹=𝑃𝐷，以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上．(1)求AM，DM的长．(2)求证：𝐴𝑀2=𝐴𝐷·𝐷𝑀，并根据你在求学中的感悟，说说M点是线段AD上的什么点？，A点是线段BF上的什么点？18.如图，线段𝐴𝐵=2，𝐵𝐷⊥𝐴𝐵于点B，且𝐵𝐷=12𝐴𝐵，在DA上截取𝐷𝐸=𝐷𝐵，在AB上截取𝐴𝐶=𝐴𝐸．求证：点C是线段AB的黄金分割点．19.黄金分割具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值.黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值约为0.618.这个比值，被称为黄金分割数.我国著名数学家华罗庚普及并做出重要贡献的优选法中有一种0.618法也应用了黄金分割数．定义：点C在线段AB上，若满足𝐴𝐶2=BC⋅AB，则称点C为线段AB的黄金分割点(如图1).如图2，△ABC中，AB=AC=1，∠𝐴=36∘，BD平分∠ABC交AC于点D．(1)求证：点D是线段AC的黄金分割点；(2)求出线段AD的长．20.如图①，在线段AB上找一点C，点C把线段AB分为AC和CB两段，其中BC是较短的一段，如果𝐵𝐶·𝐴𝐵=𝐴𝐶2，那么称线段AB被点C黄金分割．为了增加美感，黄金分割经常被应用在绘画、雕塑、建筑等艺术领域．如图②，在我国古代紫禁城的中轴线上，太和门位于太和殿与内金水桥之间靠近内金水桥的一侧，三个建筑的位置关系满足黄金分割．已知太和殿到内金水桥的距离约为100丈，求太和门到太和殿的距离(√5的近似值取2.2)．21.定义：底与腰的比是√5−12的等腰三角形叫做黄金等腰三角形．如图，已知△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐶=𝐵𝐶，∠𝐶=36°，𝐵𝐴1平分∠𝐴𝐵𝐶交AC于𝐴1．(1)证明：𝐴𝐵2=𝐴𝐴1⋅𝐴𝐶；(2)探究：△𝐴𝐵𝐶是否为黄金等腰三角形？请说明理由；(提示：此处不妨设𝐴𝐶=1)(3)应用：已知𝐴𝐶=，作𝐴1𝐵1//𝐴𝐵交BC于𝐵1，𝐵1𝐴2平分∠𝐴1𝐵1𝐶交AC于𝐴2，作𝐴2𝐵2//𝐴𝐵交𝐵2，𝐵2𝐴3平分∠𝐴2𝐵2𝐶交AC于𝐴3，作𝐴3𝐵3//𝐴𝐵交BC于𝐵3，…，依此规律操作下去，用含a，n的代数式表示𝐴𝑛−1𝐴𝑛.(𝑛为大于1的整数，直接回答，不必说明理由)22.如图1，点C将线段AB分成两部分，如果𝐴𝐶𝐴𝐵=𝐵𝐶𝐴𝐶，那么称点C为线段AB的黄金分割点．某研究小组在进行课题学习时，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为𝑆1，𝑆2，如果𝑆1𝑆=𝑆2𝑆1，那么称直线l为该图形的黄金分割线．(1)如图2，在△𝐴𝐵𝐶中，若点D为AB边上的黄金分割点，研究小组猜想：直线CD是△𝐴𝐵𝐶的黄金分割线．你认为对吗？为什么？(2)三角形的中线是该三角形的黄金分割线吗？请直接回答“是”或者“不是”．(3)研究小组在进一步探究中发现：过点C任作一条直线交AB于点E，再过点D作直线𝐷𝐹//𝐶𝐸，交AC于点F，连接𝐸𝐹(如图3)，则直线EF也是△𝐴𝐵𝐶的黄金分割线．请你说明理由．(4)类似“黄金分割线”得“黄金分割面”定义：截面a将一个体积为V的图形分成体积为𝑉1，𝑉2的两个图形，且𝑉1𝑉=𝑉2𝑉1，则称截面a为该图形的黄金分割面．问题：如图4，在长方体𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐸𝐹𝐺𝐻中，T是线段AB上的黄金分割点，请你说明经过点T且平行于平面BCGF的截面QRST是长方体的黄金分割面．答案和解析1.D解：由于P为线段𝐴𝐵=1的黄金分割点，且𝑃𝐴𝑃𝐵，则𝑃𝐴=0.618×1=0.618．2.A解：根据题意得：上球体到塔底部的距离为较长的线段时，则它到塔底部的距离为0.618×468≈289.2米；3.A解：设整个线段长为1，较长段为x，可以列出的方程为1−𝑥𝑥=𝑥1，4.A解：∵线段𝐴𝐵=4，点C是AB黄金分割点，𝐴𝐶𝐵𝐶，∴𝐵𝐶=4×3−√52=6−2√5，𝐴𝐶=𝐴𝐵−𝐵𝐶=4−(6−2√5)=2√5−2．5.B解：一条线段的黄金分割点有2个．6.C解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠𝐸𝐴𝐵=90°，设正方形ABCD的边长为2a，∵𝐸为AD的中点，∴𝐴𝐸=𝑎，在𝑅𝑡△𝐸𝐴𝐵中，由勾股定理得：𝐵𝐸=√𝐴𝐸2+𝐴𝐵2=√𝑎2+(2𝑎)2=√5𝑎，∵𝐸𝐹=𝐵𝐸，∴𝐸𝐹=√5𝑎，∴𝐴𝐹=𝐸𝐹−𝐴𝐸=√5𝑎−𝑎=(√5−1)𝑎，即𝐴𝐹=𝐴𝐻=(√5−1)𝑎，∴𝑆1=𝐴𝐹×𝐴𝐻=(√5−1)𝑎×(√5−1)𝑎=6𝑎2−2√5𝑎2，𝑆2=𝑆正方形𝐴𝐵𝐶𝐷−𝑆长方形𝐴𝐷𝐼𝐻=2𝑎×2𝑎−2𝑎×(√5−1)𝑎=6𝑎2−2√5𝑎2，即𝑆1=𝑆2，7.C解：根据黄金分割的定义可知A、B、D正确;C、如果线段AB被点C黄金分割(𝐴𝐶𝐵𝐶)，那么AC与AB的比叫做黄金比，所以C错误．8.D解：∵𝐴𝐵=𝐴𝐶，∠𝐵𝐴𝐶=108°，∴∠𝐵=∠𝐶=36°，∵∠𝐵𝐴𝐶=108°，AD、AE将∠𝐵𝐴𝐶三等分交边BC于点D，点E，∴∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐷𝐴𝐸=∠𝐸𝐴𝐶=36°，∴△𝐵𝐷𝐴∽△𝐵𝐴𝐶，∴𝐵𝐷𝐵𝐴=𝐵𝐴𝐵𝐶，又∵∠𝐴𝐷𝐶=∠𝐵+∠𝐵𝐴𝐷=72°，∠𝐷𝐴𝐶=∠𝐵𝐴𝐶−∠𝐵𝐴𝐷=72°，∴∠𝐴𝐷𝐶=∠𝐷𝐴𝐶，∴𝐶𝐷=𝐶𝐴=𝐵𝐴，∴𝐵𝐷=𝐵𝐶−𝐶𝐷=𝐵𝐶−𝐴𝐵，则𝐵𝐶−𝐵𝐴𝐵𝐴=√5−12，即𝐵𝐷𝐵𝐴=𝐵𝐴𝐵𝐶=√5−12．故D错误；9.23解：根据黄金比的值得：37×√5−12=37×0.618≈23℃．10.(5√5−5)或(15−5√5)解：∵点P是线段AB的黄金分割点，若BP是较长的线段，若𝐴𝐵=10𝑐𝑚，∴𝐵𝑃𝐵𝐴=√5−12，∴√5−12×10=5√5−5(𝑐𝑚)．∵点P是线段AB的黄金分割点，若BP是较短的线段，若𝐴𝐵=10𝑐𝑚，𝐵𝑃=10−(5√5−5)=15−5√5(𝑐𝑚)，11.1.5解：由题意知AC：𝐴𝐵=𝐵𝐶：AC，∴𝐴𝐶：𝐴𝐵≈0.618，∴𝐵𝐶≈𝐴𝐵(1−0.618)=1.528≈1.5(𝑐𝑚)∴𝐵𝐶=1.512.3.47解：设身长xcm，根据黄金分割的定义得：𝑥5.62=0.618，解得：𝑥≈3.47．13.8cm解：根据已知条件得下半身长是165×0.6=99𝑐𝑚，设需要穿的高跟鞋是ycm，则根据黄金分割的定义得：8,618.016599yyy经检验𝑦=8是方程的解14.12cm解：设宽为xcm，由题意得，x：20=√5−12，解得𝑥=10√5−10≈12．15.√5−12(或0