2020年中考数学必考考点 专题22 正方形（含解析）

专题22正方形1．正方形定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。2．正方形的性质：（1）具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质；（2）正方形的四个角都是直角，四条边都相等；（3）正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角；（4）正方形是轴对称图形，有4条对称轴；（5）正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形分成四个全等的小等腰直角三角形；（6）正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两端点的距离相等。3．正方形的判定判定一个四边形是正方形的主要依据是定义，途径有两种：先证它是矩形，再证有一组邻边相等。即有一组邻边相等的矩形是正方形先证它是菱形，再证有一个角是直角。即有一个角是直角的菱形是正方形。4．正方形的面积：设正方形边长为a，对角线长为b，S正方形=222ba【例题1】（2019湖南郴州）我国古代数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的三角形，如图所示，已知∠A＝90°，BD＝4，CF＝6，则正方形ADOF的边长是（）A．√2B．2C．√3D．4专题知识回顾专题典型题考法及解析【答案】B【解析】设正方形ADOF的边长为x，由题意得：BE＝BD＝4，CE＝CF＝6，∴BC＝BE+CE＝BD+CF＝10，在Rt△ABC中，AC2+AB2＝BC2，即（6+x）2+（x+4）2＝102，整理得，x2+10x﹣24＝0，解得：x＝2，或x＝﹣12（舍去），∴x＝2，即正方形ADOF的边长是2【例题2】（2019•四川省凉山州）如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是OC上一点，连接EB．过点A作AM⊥BE，垂足为M，AM与BD相交于点F．求证：OE＝OF．【答案】见解析。【解析】根据正方形的性质对角线垂直且平分，得到OB＝OA，根据AM⊥BE，即可得出∠MEA+∠MAE＝90°＝∠AFO+∠MAE，从而证出Rt△BOE≌Rt△AOF，得到OE＝OF．证明：∵四边形ABCD是正方形．∴∠BOE＝∠AOF＝90°，OB＝OA．又∵AM⊥BE，∴∠MEA+∠MAE＝90°＝∠AFO+∠MAE，∴∠MEA＝∠AFO．∴△BOE≌△AOF（AAS）．∴OE＝OF．一、选择题1．（2019内蒙古包头）如图，在正方形ABCD中，AB＝1，点E，F分别在边BC和CD上，AE＝AF，∠EAF＝60°，则CF的长是（）A．B．C．﹣1D．【答案】C【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝∠D＝∠BAD＝90°，AB＝BC＝CD＝AD＝1，在Rt△ABE和Rt△ADF中，，∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），∴∠BAE＝∠DAF，∵∠EAF＝60°，∴∠BAE+∠DAF＝30°，∴∠DAF＝15°，在AD上取一点G，使∠GFA＝∠DAF＝15°，如图所示：∴AG＝FG，∠DGF＝30°，∴DF＝FG＝AG，DG＝DF，设DF＝x，则DG＝x，AG＝FG＝2x，∵AG+DG＝AD，∴2x+x＝1，解得：x＝2﹣，专题典型训练题∴DF＝2﹣，∴CF＝CD﹣DF＝1﹣（2﹣）＝﹣1；故选：C．2．（2019湖南张家界）如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形OABC绕点O顺时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2019次得到正方形OA2019B2019C2019，那么点A2019的坐标是（）A．（，﹣）B．（1，0）C．（﹣，﹣）D．（0，﹣1）【答案】A.【解析】解：∵四边形OABC是正方形，且OA＝1，∴A（0，1），∵将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，∴A1（，），A2（1，0），A3（，﹣），…，发现是8次一循环，所以2019÷8＝252…余3，∴点A2019的坐标为（，﹣）故选：A．3.（2019•四川省广安市）把边长分别为1和2的两个正方形按图的方式放置.则图中阴影部分的面积为()A61()B31()C51()D41【答案】A【解析】阴影部分面积=1×32×21=614.（2019•贵州省铜仁市）如图，正方形ABCD中，AB＝6，E为AB的中点，将△ADE沿DE翻折得到△FDE，延长EF交BC于G，FH⊥BC，垂足为H，连接BF、DG．以下结论：①BF∥ED；②△DFG≌△DCG；③△FHB∽△EAD；④tan∠GEB＝；⑤S△BFG＝2.6；其中正确的个数是（）A．2B．3C．4D．5\【答案】C．【解答】∵正方形ABCD中，AB＝6，E为AB的中点∴AD＝DC＝BC＝AB＝6，AE＝BE＝3，∠A＝∠C＝∠ABC＝90°∵△ADE沿DE翻折得到△FDE∴∠AED＝∠FED，AD＝FD＝6，AE＝EF＝3，∠A＝∠DFE＝90°∴BE＝EF＝3，∠DFG＝∠C＝90°∴∠EBF＝∠EFB∵∠AED+∠FED＝∠EBF+∠EFB∴∠DEF＝∠EFB∴BF∥ED故结论①正确；∵AD＝DF＝DC＝6，∠DFG＝∠C＝90°，DG＝DG∴Rt△DFG≌Rt△DCG12∴结论②正确；∵FH⊥BC，∠ABC＝90°∴AB∥FH，∠FHB＝∠A＝90°∵∠EBF＝∠BFH＝∠AED∴△FHB∽△EAD∴结论③正确；∵Rt△DFG≌Rt△DCG∴FG＝CG设FG＝CG＝x，则BG＝6﹣x，EG＝3+x在Rt△BEG中，由勾股定理得：32+（6﹣x）2＝（3+x）2解得：x＝2∴BG＝4∴tan∠GEB＝＝故结论④正确；∵△FHB∽△EAD，且∴BH＝2FH设FH＝a，则HG＝4﹣2a在Rt△FHG中，由勾股定理得：a2+（4﹣2a）2＝22解得：a＝2（舍去）或a＝∴S△BFG＝×4×＝2.4故结论⑤错误。5．（2019黑龙江省绥化）如图，在正方形ABCD中，E、F是对角线AC上的两个动点，P是正方形四边上的任意一点，且AB＝4，EF＝2，设AE＝x．当△PEF是等腰三角形时，下列关于P点个数的说法中，一定正确的是（）①当x＝0（即E、A两点重合）时，P点有6个②当0＜x＜42﹣2时，P点最多有9个③当P点有8个时，x＝22﹣2④当△PEF是等边三角形时，P点有4个A．①③B．①④C．②④D．②③【答案】B【解析】①当x＝0（即E、A两点重合）时，如下图，分别以A、F为圆心，2为半径画圆，各2个P点，以AF为直径作圆，有2个P点，共6个，所以，①正确。②当0＜x＜42﹣2时，P点最多有8个，故②错误。二、填空题6．（2019湖南邵阳）公元3世纪初，中国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”．如图，设勾a=6，弦c=10，则小正方形ABCD的面积是.【答案】4．【解析】∵勾a＝6，弦c＝10，∴股＝＝8，∴小正方形的边长＝8﹣6＝2，∴小正方形的面积＝22＝4.故答案是：4.7．（2019湖南张家界）如图：正方形ABCD的边长为1，点E，F分别为BC，CD边的中点，连接AE，BF交于点P，连接PD，则tan∠APD＝．【答案】2．【解析】解：连接AF，∵E，F分别是正方形ABCD边BC，CD的中点，∴CF＝BE，，在△ABE和△BCF中，，∴Rt△ABE≌Rt△BCF（SAS），∴∠BAE＝∠CBF，又∵∠BAE+∠BEA＝90°，∴∠CBF+∠BEA＝90°，∴∠BPE＝∠APF＝90°，∵∠ADF＝90°，∴∠ADF+∠APF＝180°，∴A、P、F、D四点共圆，∴∠AFD＝∠APD，∴tan∠APD＝tan∠AFD＝＝2，故答案为：2．8.（2019•湖北省随州市）如图，已知正方形ABCD的边长为a，E为CD边上一点（不与端点重合），将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG，CF．给出下列判断：①∠EAG=45°；②若DE=a，则AG∥CF；③若E为CD的中点，则△GFC的面积为a2；④若CF=FG，则DE=（-1）a；⑤BG•DE+AF•GE=a2．其中正确的是______．（写出所有正确判断的序号）【答案】①②④⑤【解析】①∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=AD=a，∵将△ADE沿AE对折至△AFE，∴∠AFE=∠ADE=∠ABG=90°，AF=AD=AB，EF=DE，∠DAE=∠FAE，在Rt△ABG和Rt△AFG中，∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），∴∠BAG=∠FAG，∴∠GAE=∠GAF+∠EAF=90°=45°，故①正确；②∴BG=GF，∠BGA=∠FGA，设BG=GF=x，∵DE=a，∴EF=a，∴CG=a-x，在Rt△EGC中，EG=x+a，CE=a，由勾股定理可得（x+a）2=x2+（a）2，解得x=a，此时BG=CG=a，∴GC=GF=a，∴∠GFC=∠GCF，且∠BGF=∠GFC+∠GCF=2∠GCF，∴2∠AGB=2∠GCF，∴∠AGB=∠GCF，∴AG∥CF，∴②正确；③若E为CD的中点，则DE=CE=EF=，设BG=GF=y，则CG=a-y，CG2+CE2=EG2，即，解得，y=a，∴BG=GF=，CG=a-，∴，∴，故③错误；④当CF=FG，则∠FGC=∠FCG，∵∠FGC+∠FEC=∠FCG+∠FCE=90°，∴∠FEC=∠FCE，∴EF=CF=GF，∴BG=GF=EF=DE，∴EG=2DE，CG=CE=a-DE，∴，即，∴DE=（-1）a，故④正确；⑤设BG=GF=b，DE=EF=c，则CG=a-b，CE=a-c，由勾股定理得，（b+y）2=（a-b）2+（a-c）2，整理得bc=a2-ab-ac，∴=，即S△CEG=BG•DE，∵S△ABG=S△AFG，S△AEF=S△ADE，∴，∵S五边形ABGED+S△CEG=S正方形ABCD，∴BG•DE+AF•EG=a2，故⑤正确．故答案为：①②④⑤．①由折叠得AD=AF=AB，再由HL定理证明Rt△ABG≌Rt△AFG便可判定正误；②设BG=GF=x，由勾股定理可得（x+a）2=x2+（a）2，求得BG=a，进而得GC=GF，得∠GFC=∠GCF，再证明∠AGB=∠GCF，便可判断正误；③设BG=GF=y，则CG=a-y，由勾股定理得y的方程求得BG，GF，EF，再由同高的两个三角形的面积比等于底边之比，求得△CGF的面积，便可判断正误；④证明∠FEC=∠FCE，得EF=CF=GF，进而得EG=2DE，CG=CE=a-DE，由等腰直角三角形的斜边与直角边的关系式便可得结论，进而判断正误；⑤设BG=GF=b，DE=EF=c，则CG=a-b，CE=a-c，由勾股定理得bc=a2-ab-ac，再得△CEG的面积为BG•DE，再由五边形ABGED的面积加上△CEG的面积等于正方形的面积得结论，进而判断正误．9．（2019福建）如图，边长为2的正方形ABCD中心与半径为2的⊙O的圆心重合，E、F分别是AD、BA的延长与⊙O的交点，则图中阴影部分的面积是．（结果保留π）【答案】π﹣1．【解析】延长DC，CB交⊙O于M，N，根据圆和正方形的面积公式即可得到结论．延长DC，CB交⊙O于M，N，则图中阴影部分的面积＝×（S圆O﹣S正方形ABCD）＝×（4π﹣4）＝π﹣1，10.（2019•四川省凉山州）如图，正方形ABCD中，AB＝12，AE＝AB，点P在BC上运动（不与B、C重合），过点P作PQ⊥EP，交CD于点Q，则CQ的最大值为．【答案】4【解析】先证明△BPE∽△CQP，得到与CQ有关的比例式，设CQ＝y，BP＝x，则CP＝12﹣x，代入解析式，得到y与x的二次函数式，根据二次函数的性质可求最值．∵∠BEP+∠BPE＝90°，∠QPC+∠BPE＝90°，∴∠BEP＝∠CPQ．又∠B＝∠C＝90°，∴△BPE∽△CQP．∴．设CQ＝y，BP＝x，则CP＝12﹣x．∴，化简得y＝﹣（x2﹣12x），整理得y＝﹣（x﹣6）2+4，所以当x＝6时，y有最大值为4．11.（2019•广东广州）如图，正方形ABCD的边长为a，点E在边AB上运动（不与点A，B重合），∠DAM＝45°，点F在射线AM上，且AF＝BE，CF与AD相交于点G，连接E