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当前位置:首页 > 临时分类 > 2020年中考数学必考考点 专题19 平行四边形(含解析)
专题19平行四边形1.平行四边形定义:有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。平行四边形用符号“□ABCD”表示,如平行四边形ABCD记作“□ABCD”,读作“平行四边形ABCD”。2.平行四边形的性质:(1)平行四边形的对边平行且相等;(2)平行四边形的对角相等;(3)平行四边形的对角线互相平分。3.平行四边形的判定:(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形;(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形;(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;(4)对角线互相平分的四边形是平行四边形;(5)两组对角分别相等的四边形是平行四边形。4.平行四边形的面积:S平行四边形=底边长×高=ah【例题1】(2019▪广西池河)如图,在△ABC中,D,E分别是AB,BC的中点,点F在DE延长线上,添加一个条件使四边形ADFC为平行四边形,则这个条件是()A.∠B=∠FB.∠B=∠BCFC.AC=CFD.AD=CF【答案】B.【解析】利用三角形中位线定理得到DEAC,结合平行四边形的判定定理进行选择.∵在△ABC中,D,E分别是AB,BC的中点,∴DE是△ABC的中位线,专题知识回顾专题典型题考法及解析∴DEAC.A.根据∠B=∠F不能判定AC∥DF,即不能判定四边形ADFC为平行四边形,故本选项错误.B.根据∠B=∠BCF可以判定CF∥AB,即CF∥AD,由“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”得到四边形ADFC为平行四边形,故本选项正确.C.根据AC=CF不能判定AC∥DF,即不能判定四边形ADFC为平行四边形,故本选项错误.D.根据AD=CF,FD∥AC不能判定四边形ADFC为平行四边形,故本选项错误.【例题2】(2018湖北黄石)如图,△ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°,分别以AB,AC为直角边向外作等腰直角△ABD和等腰直角△ACE,G为BD的中点,连接CG,BE,CD,BE与CD交于点F.(1)判断四边形ACGD的形状,并说明理由.(2)求证:BE=CD,BE⊥CD.【答案】看解析。【解析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质,平行四边形和全等三角形的判定及性质定理,综合运用各种定理是解答此题的关键.(1)利用等腰直角三角形的性质易得BD=2BC,因为G为BD的中点,可得BG=BC,由∠CGB=45°,∠ADB=45得AD∥CG,由∠CBD+∠ACB=180°,得AC∥BD,得出四边形ACGD为平行四边形;(2)利用全等三角形的判定证得△DAC≌△BAE,由全等三角形的性质得BE=CD;首先证得四边形ABCE为平行四边形,再利用全等三角形的判定定理得△BCE≌△CAD,易得∠CBE=∠ACD,由∠ACB=90°,易得∠CFB=90°,得出结论.∵△ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°,∴AB=BC,∵△ABD和△ACE均为等腰直角三角形,∴BD==BC=2BC,∵G为BD的中点,∴BG=BD=BC,∴△CBG为等腰直角三角形,∴∠CGB=45°,∵∠ADB=45°,AD∥CG,∵∠ABD=45°,∠ABC=45°∴∠CBD=90°,∵∠ACB=90°,∴∠CBD+∠ACB=180°,∴AC∥BD,∴四边形ACGD为平行四边形;(2)证明:∵∠EAB=∠EAC+∠CAB=90°+45°=135°,∠CAD=∠DAB+∠BAC=90°+45°=135°,∴∠EAB=∠CAD,在△DAC与△BAE中,,∴△DAC≌△BAE,∴BE=CD;∵∠EAC=∠BCA=90°,EA=AC=BC,∴四边形ABCE为平行四边形,∴CE=AB=AD,在△BCE与△CAD中,,∴△BCE≌△CAD,∴∠CBE=∠ACD,∵∠ACD+∠BCD=90°,∴∠CBE+∠BCD=90°,∴∠CFB=90°,即BE⊥CD.一、选择题1.(福建福州)平面直角坐标系中,已知□ABCD的三个顶点坐标分别是A(m,n),B(2,-l),C(-m,-n),则点D的坐标是()A.(-2,l)B.(-2,-l)C.(-1,-2)D.(-1,2)【答案】A【解析】本题考查了平行四边形的性质、关于原点对称的点的坐标特征,解题关键是熟练掌握平行四边形的性质,得出D和B关于原点对称.由点的坐标特征得出点A和点C关于原点对称,由平行四边形的性质得出D和B关于原点对称,即可得出点D的坐标.∵A(m,n),C(﹣m,﹣n),∴点A和点C关于原点对称,∵四边形ABCD是平行四边形,∴D和B关于原点对称,∵B(2,﹣1),∴点D的坐标是(﹣2,1),故选择A.2.(河北省)关于□ABCD的叙述,正确的是()A.若AB⊥BC,则□ABCD是菱形B.若AC⊥BD,则□ABCD是正方形C.若AC=BD,则□ABCD是矩形D.若AB=AD,则□ABCD是正方形【答案】C【解析】根据菱形、矩形和正方形的判定方法对各选项进行判断.当AB⊥BC时,∠ABC=90°,∴□ABCD是矩形(有一个角是直角的平行四边形是矩形),故选项A不正确;∵AC⊥BD,∴□ABCD是菱形(对角线互相垂直的平行四边形是菱形),故选项B不正确;∵AC=BD,∴□ABCD是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形),故选项C正确;∵AB=AD,∴□ABCD是菱形(有一组邻边相等的平行四边形是菱形),故选项D不正确.3.(湖南湘西)下列说法错误的是()A.对角线互相平分的四边形是平行四边形B.两组对边分别相等的四边形是平行四边形C.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形D.一组对边相等,另一组对边平行的四边形是平行四边形【答案】D【解析】此题主要考查了平行四边形的判定,根据平行四边形的判断定理可作出判断.选项A、B、C都是平行四边形的判定定理,符合选项D条件的除了平行四边形还有等腰梯形,故选择D.专题典型训练题4.(2019•山东临沂)如图,在平行四边形ABCD中,M、N是BD上两点,BM=DN,连接AM、MC、CN、NA,添加一个条件,使四边形AMCN是矩形,这个条件是()A.OM=ACB.MB=MOC.BD⊥ACD.∠AMB=∠CND【答案】A【解析】由平行四边形的性质可知:OA=OC,OB=OD,再证明OM=ON即可证明四边形AMCN是平行四边形.证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC,OB=OD∵对角线BD上的两点M、N满足BM=DN,∴OB﹣BM=OD﹣DN,即OM=ON,∴四边形AMCN是平行四边形,∵OM=AC,∴MN=AC,∴四边形AMCN是矩形.5.(山东淄博)如图,△ABC的面积为16,点D是BC边上一点,且BD=14BC,点G是AB上一点,点H在△ABC内部,且四边形BDHG是平行四边形.则图中阴影的面积是()A.3B.4C.5D.6【答案】B【解析】本题考查三角形的面积的计算,平行四边形的性质,及整体思想,解题关键是能整体求解.这里两阴影部分以公共边GH为底,则高的和=△ABC的BC边的高.设△ABC底边BC上的高为h,△AGH底边GH上的高为h1,△CGH底边GH上的高为h2,则有h=h1+h2.ABCHGDS△ABC=12BC•h=16,S阴影=S△AGH+S△CGH=12GH•h1+12GH•h2=12GH•(h1+h2)=12GH•h.∵四边形BDHG是平行四边形,且BD=14BC,∴GH=BD=14BC.∴S阴影=14×(12BC•h)=14S△ABC=4.故选择B二、填空题6.(2019广西百色)四边形具有不稳定性.如图,矩形ABCD按箭头方向变形成平行四边形A'B'C'D',当变形后图形面积是原图形面积的一半时,则∠A'=.【答案】30°【解析】根据矩形和平行四边形的面积公式可知,平行四边形A'B'C'D'的底边AD边上的高等于AD的一半,据此可得∠A'为30°.∵,∴平行四边形A'B'C'D'的底边AD边上的高等于AD的一半,∴∠A'=30°.6.(2019湖南娄底)如图,平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O,点E是AD的中点,△BCD的周长为18,则△DEO的周长是.【答案】9.【解析】∵E为AD中点,四边形ABCD是平行四边形,∴DE=12AD=12BC,DO=12BD,AO=CO,EOBACD∴OE=12CD,∵△BCD的周长为18,∴BD+DC+B=18,∴△DEO的周长是DE+OE+DO=12(BC+DC+BD)=12×18=97.(2019河南省)如图,在□ABCD中,BE⊥AB交对角线AC于点E,若∠1=20°,则∠2的度数是_________.【答案】110°【解析】本题考查了平行四边形的性质和和三角形外角的性质求角的大小,解题的关键是熟练运用平行四边形性质或三角形外角的有关知识.思路:首先利用平行四边形的性质求出∠BAE的度数,再由∠2是△ABE的外角求出∠2的大小.∵四边形ABCD是平行四边形∴AB∥CD,∴∠BAE=∠1=20°∵BE⊥AB∴∠ABE=90°∵∠2是△ABE的外角∴∠2=∠ABE+∠BAE=90°+20°=110,故答案为110°.8.(2019湖北省十堰市)如图,在平行四边形ABCD中,AB=213cm,AD=4cm,AC⊥BC,则△DBC比△ABC的周长长__________cm.【答案】4【解析】本题属于平面几何的计算题,主要涉及到平行四边形的性质、勾股定理、三角形的周长等;解题的关键是△DBC比△ABC的周长长等于BD-AC;解题的思路是根据平行四边形的性质和勾股定理,分别表示出△DBC的周长与△ABC的周长,找出BD-AC的值即可.如图,设AC与BD交于点F,因为AB=213cm,AD=4cm,AC⊥BC,所以AC=2222(213)4366ABBC;因为平行四边形ABCD中,所以,AF=FC,BF=DF;BF=2222435BCCF,BD=10;因为△DBC的周长=BD+BC+CD=10+AB,△ABC的周长=AB+BC+6,所以△DBC比△ABC的周长长4.9.(2019浙江金华)如图,已知AB∥CD,BC∥DE.若∠A=20°,∠C=120°,则∠AED的度数是.【答案】80°【解析】延长DE交AB于F,根据平行四边形的性质及三角形内外角的关系可以确定∠AED的度数.延长DE交AB于F,因为AB∥CD,BC∥DE,所以四边形BCDF为平行四边形,因为∠C=120°,所以∠BFD=120°,所以∠AFD=60°,又∠A=20°,所以∠AED=60°+20°=80°,故答案为80°.10.(江苏省无锡市)如图,已知□OABC的顶点A、C分别在直线x=1和x=4上,O是坐标原点,则对角线OB长的最小值为_______.F【答案】5.【解析】本题考查了平行四边形的性质,解题的关键是知道点B到直线x=4的距离等于点O到直线x=1的距离.本题的思路是由平行四边形的中心对称的性质可知点O与点A,点C与点B之间的水平距离相等,可求得点B的横坐标,也就是说点B在一条垂直于x轴的直线上运动,我们只需寻找出点B在什么位置时,OB最短即可.∵顶点A、C分别在直线x=1和x=4上,O是坐标原点,∴点B在x=5上,当点B在x轴上时,即OB的最小值为5,故答案为5.11.(2019•湖北武汉)如图,在▱ABCD中,E.F是对角线AC上两点,AE=EF=CD,∠ADF=90°,∠BCD=63°,则∠ADE的大小为.【答案】21°.【解析】设∠ADE=x,∵AE=EF,∠ADF=90°,∴∠DAE=∠ADE=x,DE=AF=AE=EF,∵AE=EF=CD,∴DE=CD,∴∠DCE=∠DEC=2x,∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,∴∠DAE=∠BCA=x,∴∠DCE=∠BCD﹣∠BCA=63°﹣x,∴2x=63°﹣x,解得:x=21°,即∠ADE=21°。三、解答题12.(2019徐州)如图,将平行四边形纸片ABCD沿一条直线折叠,使点A与点C重合,点D落在点G处,折痕为EF.求证:(1)∠ECB=∠FCG;(2)△EBC≌△FGC.【答案】见解析。【解析】依据平行四边形的性质,即可得到∠A=∠BCD,
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