2020年中考数学必考考点 专题14 函数综合题（含解析）

专题14函数的综合问题1.一次函数与二次函数的综合。2.一次函数与反比例函数的综合。3.二次函数与反比例函数的综合。4.一次函数、二次函数和反比例函数的综合。【例题1】(2019黑龙江绥化)一次函数y1＝－x+6与反比例函数y2＝8x(x0)的图象如图所示.当y1y2时,自变量x的取值范围是______.第18题图【答案】2x4【解析】令－x+6＝8x,解得x1＝2,x2＝4,∴根据图象可得,当y1y2时,自变量x的取值范围是2x4.【例题2】（2019吉林长春）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2-2ax+83(a＞0)与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交抛物线于点M，P为抛物线的顶点，若直线OP交直线AM于点B，且M为线段AB的中点，则ɑ的值为专题知识回顾专题典型题考法及解析【答案】2.【解析】本题主要考查二次函数的综合运用，首先根据二次函数的解析式可得出点A和点M的坐标，然后将二次函数的解析式配方写出y=a(x-1)2+83-a的形式，得出点P的坐标，进而得出OP的方程，进而得出点B的坐标，最后根据M为线段AB的中点，可得883a=4，进而得出答案.令x=0，可得y=83，∴点A的坐标为（0，83），∴点M的坐标为（2，83）.∵y=ax2-2ax+83=a(x-1)2+83-a，∴抛物线的顶点P的坐标为（1，83-a），∴直线OP的方程为y=(83-a)x，令y=83，可得x=883a，∴点B的坐标为（883a，83）.∵M为线段AB的中点，∴883a=4，解得a=2。【例题3】（2019广西省贵港市）如图，菱形ABCD的边AB在x轴上，点A的坐标为(1,0)，点(4,4)D在反比例函数(0)kyxx的图象上，直线23yxb经过点C，与y轴交于点E，连接AC，AE．（1）求k，b的值；（2）求ACE的面积．【答案】将解析。【解析】由菱形的性质可知(6,0)B，(9,4)C，点(4,4)D代入反比例函数kyx，求出k；将点(9,4)C代入23yxb，求出b；求出直线223yx与x轴和y轴的交点，即可求AEC的面积；（1）由已知可得5AD，菱形ABCD，(6,0)B，(9,4)C，点(4,4)D在反比例函数(0)kyxx的图象上，16k，将点(9,4)C代入23yxb，2b；（2）(0,2)E，直线223yx与x轴交点为(3,0)，12(24)62AECS1.（2019广东深圳）已知函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则函数y=ax+b与y=cx的图象为（）【答案】C【解析】二次函数的图象与系数的关系；一次函数的图象与系数的关系；反比例函数的图象与系数的关系；符号判断。先根据二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象确定a，b，c的正负，则判断一次函数与反比例函数的图象所在的象限．由二次函数的图象可知，a0，b0，c0．当a0，b0，c0时，一次函数y=ax+b经过第一、二、四象限；反比例函数y=cx位于第二、四象限，选项C符合．故选C．专题典型训练题2.（2019四川省雅安市）已知函数22(0)(0)xxxyxx的图像如图所示，若直线y=x+m与该图像恰有三个不同的交点，则m的取值范围为___________.【答案】0m14【解析】观察图像可知，当直线y=x+m经过原点时与函数22(0)(0)xxxyxx的图像有两个不同的交点，再向上平移，有三个交点，当向上平移到直线y=x+m与22yxx的图像有一个交点时，此直线y=x+m与函数22(0)(0)xxxyxx的图像有两个不同的交点，不符合题意，从而求出m的取值范围．由y=x+m与22yxx得22xmxx，整理得20xxm，当有两个交点224(1)40bacm，解得m14，当直线y=x+m经过原点时与函数22(0)(0)xxxyxx的图像有两个不同的交点，再向上平移，有三个交点，∴m0，∴m的取值范围为0m14，故答案为0m14．3.（2019湖北仙桃）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点坐标分别为O（0，0），A（12，0），B（8，6），C（0，6）．动点P从点O出发，以每秒3个单位长度的速度沿边OA向终点A运动；动点Q从点B同时出发，以每秒2个单位长度的速度沿边BC向终点C运动．设运动的时间为t秒，PQ2＝y．（1）直接写出y关于t的函数解析式及t的取值范围：；（2）当PQ＝3√5时，求t的值；（3）连接OB交PQ于点D，若双曲线y=𝑘𝑘（k≠0）经过点D，问k的值是否变化？若不变化，请求出k的值；若变化，请说明理由．xy00O【答案】见解析。【解析】（1）过点P作PE⊥BC于点E，如图1所示．当运动时间为t秒时（0≤t≤4）时，点P的坐标为（3t，0），点Q的坐标为（8﹣2t，6），∴PE＝6，EQ＝|8﹣2t﹣3t|＝|8﹣5t|，∴PQ2＝PE2+EQ2＝62+|8﹣5t|2＝25t2﹣80t+100，∴y＝25t2﹣80t+100（0≤t≤4）．故答案为：y＝25t2﹣80t+100（0≤t≤4）．（2）当PQ＝3√5时，25t2﹣80t+100＝（3√5）2，整理，得：5t2﹣16t+11＝0，解得：t1＝1，t2=115．（3）经过点D的双曲线y=𝑘𝑘（k≠0）的k值不变．连接OB，交PQ于点D，过点D作DF⊥OA于点F，如图2所示．∵OC＝6，BC＝8，∴OB=√𝑘𝑘2+𝑘𝑘2=10．∵BQ∥OP，∴△BDQ∽△ODP，∴𝑘𝑘𝑘𝑘=𝑘𝑘𝑘𝑘=2𝑘3𝑘=23，∴OD＝6．∵CB∥OA，∴∠DOF＝∠OBC．在Rt△OBC中，sin∠OBC=𝑘𝑘𝑘𝑘=610=34，cos∠OBC=𝑘𝑘𝑘𝑘=810=45，∴OF＝OD•cos∠OBC＝6×45=245，DF＝OD•sin∠OBC＝6×35=185，∴点D的坐标为（245，185），∴经过点D的双曲线y=𝑘𝑘（k≠0）的k值为245×185=43225．4.（2019湖南湘西）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y=𝑘𝑘的图象在第一象限交于点A（3，2），与y轴的负半轴交于点B，且OB＝4．（1）求函数y=𝑘𝑘和y＝kx+b的解析式；（2）结合图象直接写出不等式组0＜𝑘𝑘＜kx+b的解集．【答案】见解析。【解析】（1）把点A（3，2）代入反比例函数y=𝑘𝑘，可得m＝3×2＝6，∴反比例函数解析式为y=6𝑘，∵OB＝4，∴B（0，﹣4），把点A（3，2），B（0，﹣4）代入一次函数y＝kx+b，可得{3𝑘+𝑘=2𝑘=−4，解得{𝑘=2𝑘=−4，∴一次函数解析式为y＝2x﹣4；（2）不等式组0＜𝑘𝑘＜kx+b的解集为：x＞3．5.（2019山东东营）如图，在平面直角坐标系中，直线y=mx与双曲线y=nx相交于A（－2，a）、B两点，BC⊥x轴，垂足为C，△AOC的面积是2．（1）求m、n的值；（2）求直线AC的解析式．【答案】见解析。【解析】根据反比例函数的对称性可得点A与点B关于原点中心对称，则B（2，a），由于BC⊥x轴，所以C（2，0），先利用三角形面积公式得到12×2×a＝2，解得a＝2，则可确定A（﹣2，2），然后把A点坐标代入y＝mxy＝mx和y＝中即可求出m，n；根据待定系数法即可得到直线AC的解析式．（1）∵直线y＝mx与双曲线y＝相交于A（﹣2，a）、B两点，∴点A与点B关于原点中心对称，∴B（2，﹣a），∴C（2，0）；∵S△AOC＝2，∴12×2×a＝2，解得a＝2，∴A（﹣2，2），把A（﹣2，2）代入y＝mx和y＝得﹣2m＝2，2＝，解得m＝﹣1，n＝﹣4；（2）设直线AC的解析式为y＝kx+b，∵直线AC经过A、C，∴，解得∴直线AC的解析式为y＝﹣12x+1．6.（2019湖北咸宁）某工厂用50天时间生产一款新型节能产品，每天生产的该产品被某网店以每件80元的价格全部订购，在生产过程中，由于技术的不断更新，该产品第x天的生产成本y（元/件）与x（天）之间的关系如图所示，第x天该产品的生产量z（件）与x（天）满足关系式z＝﹣2x+120．（1）第40天，该厂生产该产品的利润是元；（2）设第x天该厂生产该产品的利润为w元．①求w与x之间的函数关系式，并指出第几天的利润最大，最大利润是多少？②在生产该产品的过程中，当天利润不低于2400元的共有多少天？【答案】见解析。【解析】由图象可知，第40天时的成本为40元，此时的产量为z＝﹣2×40+120＝40，则可求得第40天的利润．利用每件利润×总销量＝总利润，进而求出二次函数最值即可．（1）由图象可知，第40天时的成本为40元，此时的产量为z＝﹣2×40+120＝40则第40天的利润为：（80﹣40）×40＝1600元故答案为1600（2）①设直线AB的解析式为y＝kx+b（k≠0），把（0，70）（30，40）代入得{𝑘=7030𝑘+𝑘=40，解得{𝑘=70𝑘=−1∴直线AB的解析式为y＝﹣x+70（Ⅰ）当0＜x≤30时w＝[80﹣（﹣x+70）]（﹣2x+120）＝﹣2x2+100x+1200＝﹣2（x﹣25）2+2450∴当x＝25时，w最大值＝2450（Ⅱ）当30＜x≤50时，w＝（80﹣40）×（﹣2x+120）＝﹣80x+4800∵w随x的增大而减小∴当x＝31时，w最大值＝2320∴𝑘={−2𝑘2+100𝑘+1200，(0＜𝑘≤30)−80𝑘+4800，(30＜𝑘≤50)第25天的利润最大，最大利润为2450元②（Ⅰ）当0＜x≤30时，令﹣2（x﹣25）2+2450＝2400元解得x1＝20，x2＝30∵抛物线w＝﹣2（x﹣25）2+2450开口向下由其图象可知，当20≤x≤30时，w≥2400此时，当天利润不低于2400元的天数为：30﹣20+1＝11天（Ⅱ）当30＜x≤50时，由①可知当天利润均低于2400元综上所述，当天利润不低于2400元的共有11天．7.（2019贵州省毕节市）已知抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C，点P为第二象限内抛物线上的动点．（1）抛物线的解析式为，抛物线的顶点坐标为；（2）如图1，连接OP交BC于点D，当S△CPD：S△BPD＝1：2时，请求出点D的坐标；（3）如图2，点E的坐标为（0，﹣1），点G为x轴负半轴上的一点，∠OGE＝15°，连接PE，若∠PEG＝2∠OGE，请求出点P的坐标；（4）如图3，是否存在点P，使四边形BOCP的面积为8？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】见解析。【解析】函数的表达式为：y＝a（x﹣1）（x+3）＝a（x2+2x﹣3），即可求解；S△CPD：S△BPD＝1：2，则BD＝23BC＝23×32＝22，即可求解；∠OGE＝15°，∠PEG＝2∠OGE＝30°，则∠OHE＝45°，故OH＝OE＝1，即可求解；利用S四边形BOCP＝S△OBC+S△PBC＝8，即可求解．（1）函数的表达式为：y＝a（x﹣1）（x+3）＝a（x2+2x﹣3），即：﹣3a＝3，解得：a＝﹣1，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣2x+3…①，顶点坐标为（﹣1，4）；（2）∵OB＝OC，∴∠CBO＝45°，∵S△CPD：S△BPD＝1：2，∴BD＝23BC＝23×32＝22，yD＝BDsin∠CBO＝2，则点D（﹣1，2）；（3）如图2，设直线PE交x轴于点H，∵∠OGE＝15°，∠PEG＝2∠OGE＝30°，∴∠OHE＝45°，∴OH＝OE＝1，则直线HE的表达式为：y＝﹣x﹣1…②，联立①②并解得：x＝1172（舍去正值），故点P（1172，1172）；（4）不存在，理由：连接BC，过点P作y轴的平行线交BC于点H，直线BC的表达式为：y