2020年高考数学一轮复习 专题10.7 椭圆双曲线抛物线与直线的位置关系练习（含解析）

第七讲椭圆双曲线抛物线与直线的位置关系判断直线与圆锥曲线的位置方法1.方法一：代数法（常用）代数法求位置关系的基本思路联立直线方程与圆锥曲线方程，消y（或消x）得到一个关于变量x（或者变量y）的一元方程ax2＋bx＋c＝0（或ay2＋by＋c＝0）当a≠0时，设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的判别式为Δ，则Δ0⇔直线与圆锥曲线C相交；Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C相切；Δ0⇔直线与圆锥曲线C相离.当a＝0，b≠0时，即得到一个一次方程，则直线l与圆锥曲线C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线平行；若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴平行或重合．注意：联立直线与圆锥曲线的方程消元后，应注意讨论二次项系数是否为零的情况2.方法二：几何法：即画出直线与圆锥曲线的图象，根据图象判断公共点个数．3.方法三：数形结合运用（小题）（1）直线过定点时，根据定点的位置和双曲线的渐近线的斜率与直线的斜率的大小关系确定其位置关系(2)直线斜率一定时，通过平行移动直线，比较直线斜率与渐近线斜率的关系来确定其位置关系考向一直线与椭圆的位置关系【例1】已知直线:2lyxm，椭圆C：22142xy．试问当m取何值时，直线l与椭圆C：（1）有两个不重合的公共点；（2）有且只有一个公共点；（3）没有公共点．【修炼套路】---为君聊赋《今日诗》，努力请从今日始【套路秘籍】---千里之行始于足下【答案】见解析【解析】将直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组222142yxmxy得2298240xmxm①，判别式222(8)49(24)8(18)mmm（1）当0，即3232m时，方程①有两个不同的实数解，可知原方程组有两组不同的实数解，这时直线l与椭圆C有两个不重合的公共点（2）当0，即32m时，方程①有两个相同的实数解，可知原方程组有两组相同的实数解，这时直线l与椭圆C有且只有一个公共点（3）当0，即32m或32m时，方程①没有实数解，可知原方程组没有实数解，这时直线l与椭圆C没有公共点【举一反三】1．已知直线𝑙过点(0,−1)，椭圆𝑙：𝑙225+𝑙236=1，则直线𝑙与椭圆𝑙的交点个数为。【答案】2【解析】∵点(0,−1)在椭圆𝑙：𝑙225+𝑙236=1的内部，而直线𝑙过点(0,−1)，∴直线与椭圆相交，交点个数为2，故选C．2．设直线l：y＝2x＋2，若l与椭圆𝑙2+𝑙24=1的交点为A，B，点P为椭圆上的动点，则使△PAB的面积为√2−1的点P的个数为。【答案】3【解析】由直线l的方程与椭圆x2+𝑙24=1的方程组成方程组{𝑙=2𝑙+2𝑙2+𝑙24=1，解得{𝑙=0𝑙=2或{𝑙=−1𝑙=0，则A（0，2），B（﹣1，0），∴AB=√(0+1)2+(2−0)2=√5，∵△PAB的面积为√2﹣1，∴AB边上的高为h=√2−112×√5=2(√2−1)√5．设P的坐标为（a，b），代入椭圆方程得：a2+𝑙24=1，P到直线y=2x+2的距离d=|2𝑙−𝑙+2|√5=2(√2−1)√5，即2a﹣b=2√2﹣4或2a﹣b=﹣2√2；联立得：{2𝑙−𝑙=2√2−4𝑙2+𝑙24=1①或{2𝑙−𝑙=−2√2𝑙2+𝑙24=1②，①中的b消去得：2a2﹣2（√2﹣2）a+5﹣4√2=0，∵△=4（√2﹣2）2﹣4×2×（5﹣4√2）＞0，∴a有两个不相等的根，∴满足题意的P的坐标有2个；由②消去b得：2a2+2√2a+1=0，∵△=（2√2）2﹣4×2×1=0，∴a有两个相等的根，满足题意的P的坐标有1个．综上，使△PAB面积为√2﹣1的点P的个数为3．3．直线y＝x＋m与椭圆𝑙24+𝑙2=1有两个不同的交点，则m的范围是。【答案】－√5＜m＜√5【解析】由{𝑙=𝑙+𝑙𝑙24+𝑙2=1，得5x2+8mx+4m2﹣4=0，结合题意△=64m2﹣20（4m2﹣4）＞0，解得：－√5＜m＜√5，考向二直线与双曲线的位置关系【例2】已知直线ykx与双曲线22416xy．当k为何值时，直线与双曲线：（1）有两个公共点；（2）有一个公共点；（3）没有公共点．【答案】见解析【解析】由2222(4)160416消得ykxykxxy当4-k2=0,2即k，方程无解当22240044)(16)64(4)时，=-（-kkk当0,22即-，方程两解k当0,22,即或方程无解kk当20,40,=且-不存在kk综合上述：当-2k2时，直线与双曲线有两个交点（2）不存在使直线与双曲线有一个公共点的k值（3）当2k或2k时，直线与双曲线没有公共点【举一反三】1．过点P(2，1)作直线l，使l与双曲线𝑙24－y2＝1有且仅有一个公共点，这样的直线l共有条。【答案】2【解析】由双曲线的方程可知其渐近线方程为y＝±12x，则点P(2，1)在渐近线y＝12x上，又双曲线的右顶点为A(2，0)，如图所示．满足条件的直线l有两条：x＝2，y－1＝－12(x－2)．2．直线y＝𝑙𝑙x＋3与双曲线𝑙2𝑙2−𝑙2𝑙2＝1的交点个数是。【答案】1【解析】因为双曲线𝑙2𝑙2−𝑙2𝑙2=1的渐近线方程为：𝑙=±𝑙𝑙𝑙，【套路总结】直线与双曲线有三种位置关系：（1）无公共点，此时直线有可能为双曲线的渐近线．（2）有一个公共点，分两种情况：①直线是双曲线的切线，特别地，直线过双曲线一个顶点，且垂直于实轴；②直线与双曲线的一条渐近线平行，与双曲线的一支有一个公共点．（3）有两个公共点，可能都在双曲线一支上，也可能两支上各有一点从而得到直线𝑙=𝑙𝑙𝑙+3与双曲线𝑙2𝑙2−𝑙2𝑙2=1的一条渐近线平行，所以直线𝑙=𝑙𝑙𝑙+3与双曲线𝑙2𝑙2−𝑙2𝑙2=1的交点个数是1，3．过点(0,1)的直线𝑙与双曲线𝑙:𝑙24−𝑙2=1有且只有一个公共点，这样的直线共有。【答案】4【解析】设过点(0,1)与双曲线𝑙24−𝑙2=1有且只有一个公共点的直线为𝑙=𝑙𝑙+1，代入双曲线方程，消去𝑙整理得(1−4𝑙2)𝑙2−8𝑙𝑙−8=0，1−4𝑙2≠0时,𝑙=64𝑙2+32(1−4𝑙2)=0,∴𝑙=±√22，1−4𝑙2=0时，𝑙=±12，直线与渐近线平行也成立.故过点(0,1)与双曲线𝑙24−𝑙2=1有且只有一个公共点的直线有4条，4．已知双曲线𝑙2−𝑙2𝑙2=1的离心率等于√2，直线𝑙=𝑙𝑙+2与双曲线的左右两支各有一个交点，则𝑙的取值范围是。【答案】(−1,1)【解析】∵双曲线𝑙2−𝑙2𝑙2=1的离心率等于√2,∴𝑙=1,𝑙𝑙=√2,可得𝑙=√2,𝑙=√2−1=1,∴双曲线𝑙2−𝑙2=1,直线𝑙=𝑙𝑙+2与双曲线联立可得(1−𝑙2)𝑙2−4𝑙𝑙−5=0,∵直线𝑙=𝑙𝑙+2与双曲线的左右两支各有一个交点,∴{1−𝑙2≠0𝑙05𝑙2−10,∴−1𝑙1,即𝑙的取值范围是(−1,1).考向三直线与抛物线的位置关系【例3】设直线l：y＝kx＋1，抛物线C：y2＝4x，当k为何值时，l与C相切、相交、相离．【答案】见解析【解析】联立方程组y＝kx＋1，y2＝4x，消去y，整理得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0.若k≠0，方程k2x2＋(2k－4)x＋1＝0为一元二次方程．∴Δ＝(2k－4)2－4k2＝16(1－k)．(1)当Δ＝0，即k＝1时，l与C相切，(2)当Δ0，即k1时，l与C相交，(3)当Δ0，即k1时，l与C相离．若k＝0，直线l方程为y＝1，显然与抛物线C交于14，1.综上所述，当k＝1时，l与C相切；当k1时，l与C相交；当k1时，l与C相离．【举一反三】1．已知直线y＝(a＋1)x－1与曲线y2＝ax只有一个公共点，求实数a的值．【答案】a＝0或a＝－1或a＝－45【解析】由题意可得方程组{𝑙=(𝑙+1)𝑙−1𝑙2=𝑙𝑙，（1）当a＝0时，方程组化为{𝑙=𝑙−1𝑙2=0，解得{𝑙=1𝑙=0，所以直线与曲线只有一个交点(1,0)．（2）当a≠0时，消去x并整理得(a＋1)y2－ay－a＝0.(*)①当a＋1＝0，即a＝－1时，方程化为y＋1＝0，方程组的解为{𝑙=−1𝑙=−1，方程组只有一组解，所以直线与曲线只有一个交点．②当a＋1≠0，即a≠－1时，在方程(*)中，由Δ＝(－a)2＋4a(a＋1)＝0，得𝑙=−45，此时方程组只有一组解，所以直线与曲线只有一个公共点，且为切点．综上所述，当a＝0或a＝－1或𝑙=−45时，直线与曲线y2＝ax只有一个公共点．2．已知抛物线𝑙:𝑙2=𝑙，直线𝑙:𝑙=𝑙𝑙+1，则“𝑙≠0”是“直线l与抛物线C有两个不同交点”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】设直线l与抛物线C有两个不同交点，把联立直线与抛物线方程消去y得y2−𝑙𝑙−1=0,所以𝑙=𝑙2+40，所以m∈R,因为“𝑙≠0”是“m∈R”的充分非必要条件，所以“𝑙≠0”是“直线l与抛物线C有两个不同交点”的充分非必要条件..1．直线𝑙−2𝑙−3=0与椭圆𝑙2+2𝑙2=3的公共点个数是。【答案】1【解析】由题得𝑙=12𝑙−32，代入椭圆方程得𝑙2−2𝑙+1=0,∴𝑙=22-4=0，所以直线和椭圆的交点的个数为1。2．若直线ax＋by—4＝0和圆x2＋y2＝4没有公共点，则过点(a，b)的直线与椭圆𝑙29＋𝑙24＝1的公共点个数为.【答案】2【解析】因为直线ax+by+4=0和圆x2+y2=4没有公共点，所以原点到直线ax+by+4=0的距离d=4√𝑙2+𝑙2＞2，所以a2+b2＜4，所以点P（a，b）是在以原点为圆心，2为半径的圆内的点．∵椭圆的长半轴3，短半轴为2∴圆x2+y2=4内切于椭圆∴点P是椭圆内的点∴过点P（a，b）的一条直线与椭圆的公共点数为2．3．已知椭圆C：𝑙24+𝑙23=1，直线𝑙：𝑙+𝑙𝑙−𝑙=0（𝑙∈𝑙），𝑙与C的公共点个数为.【答案】2【解析】因为直线：𝑙+𝑙𝑙−𝑙=0恒过（0,1），而将（0,1）代入椭圆方程得：131，故此点在椭圆内部，所以直线与椭圆相交，故有两个交点.4．直线𝑙=𝑙𝑙−2与双曲线𝑙2−𝑙2=1有且仅有一个公共点，则𝑙=______．【答案】±1或±√5【解析】联立{𝑙=𝑙𝑙−2𝑙2−𝑙2=1，可得(1−𝑙2)𝑙2+4𝑙𝑙−5=0．①当1−𝑙2=0时，可得𝑙=±1，此时直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线有且只有一个交点，满足题意；②当1−𝑙2≠0时，由直线与双曲线有且只有一个公共点，可得△=16𝑙2+20(1−𝑙2)=0，解得𝑙=±√5，满足条件．综上可得：𝑙=±1，±√5．故答案为：±1，±√5．5．已知双曲线𝑙212−𝑙24=1的右焦点为F，若过点F的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线的斜率的取值范围是______．【运用套路】---纸上得来终觉浅,绝知此事要躬行【答案】[−√33,√33]【解析】双曲线𝑙212−𝑙24=1的渐近线方程𝑙=±√33𝑙，当过焦点的直线与两条渐近线平行时，直线与双曲线右支分别只有一个交点(因为双曲线正在与渐近线无限接近中)，由图可知，斜率不在[−√33,√33]的所有直线与双曲线右支有两点交点（如图中直线𝑙2），斜率在[−√33,√33]的所有直线都与双曲线右支只有一个交点（如图中直线𝑙）．所以此直线的斜率的取值范围[−√33,√33].故答案为[−√33,√33].6．直线𝑙=−2𝑙−3与曲线𝑙29−𝑙|𝑙|4=1的公共点的个