2020年高考数学一轮复习 专题9.7 空间向量在几何体中的运用（一）练习（含解析）

9.7空间向量在空间几何体的运用（一）一．设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面，的法向量分别为1n，2n，则有如下结论：平行问题线线平行,lmkkR∥∥abab线面平行110l∥⊥anan面面平行1212,kkR∥∥nnnn垂直问题线线垂直0lm⊥⊥abab线面垂直11,lkkR⊥∥anan面面垂直12120⊥⊥nnnn夹角问题线线夹角设l，m的夹角为(0)2,则cos|cos,||ab|ab|a||b|线面夹角设l，的夹角为(0)2,则111sin|cos,||an|an|a||n|面面夹角设，的夹角为(0),则121212cos|cos,||nn|nn|n||n|二．点面距已知AB为平面的一条斜线段(A在平面内)，n为平面的法向量，则B到平面的距离为|||cos,|||||||||ABdABABABABnnn||||ABnn．注：空间中其他距离问题一般都可以转化为点面距问题．考向一利用空间向量证明平行【例1】在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别是CC1，B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD．【答案】见解析【解析】法一如图，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，M0，1，12，N12，1，1，于是DA1→＝(1,0,1)，DB→＝(1,1,0)，MN→＝12，0，12.设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)，则n⊥DA1→，n⊥DB→，即n·DA1→＝x＋z＝0，n·DB→＝x＋y＝0，取x＝1，则y＝－1，z＝－1，∴平面A1BD的一个法向量为n＝(1，－1，－1)．又MN→·n＝12，0，12·(1，－1，－1)＝0，∴MN→⊥n.∴MN∥平面A1BD．法二MN→＝C1N→－C1M→＝12C1B1→－12C1C→＝12(D1A1→－D1D→)＝12DA1→，∴MN→∥DA1→，∴MN∥平面A1BD．法三MN→＝C1N→－C1M→＝12C1B1→－12C1C→＝12DA→－12A1A→＝12()DB→＋BA→－12()A1B→＋BA→＝12DB→－12A1B→.即MN→可用A1B→与DB→线性表示，故MN→与A1B→，DB→是共面向量，故MN∥平面A1BD．【拓展】1.(变条件)本例中条件不变，试证明平面A1BD∥平面CB1D1.[证明]由例题解析知，C(0,1,0)，D1(0,0,1)，B1(1,1,1)，则CD1→＝(0，－1,1)，D1B1→＝(1,1,0)，设平面CB1D1的法向量为m＝(x1，μ1，z1)，则m⊥CD1→m⊥D1B1→，即m·CD1→＝－y1＋z1＝0，m·D1B1→＝x1＋y1＝0，令y1＝1，可得平面CB1D1的一个法向量为m＝(－1,1,1)，又平面A1BD的一个法向量为n＝(1，－1，－1)．所以m＝－n，所以m∥n，故平面A1BD∥平面CB1D1.2．(变条件)若本例换为：在如图3­2­4所示的多面体中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF，EF∥BC，BC＝2AD＝4，EF＝3，AE＝BE＝2，G是BC的中点，求证：AB∥平面DEG.图3­2­4[证明]∵EF⊥平面AEB，AE⊂平面AEB，BE⊂平面AEB，∴EF⊥AE，EF⊥BE.又∵AE⊥EB，∴EB，EF，EA两两垂直．以点E为坐标原点，EB，EF，EA分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．由已知得，A(0,0,2)，B(2,0,0)，C(2,4,0)，F(0,3,0)，D(0,2,2)，G(2，2,0)，∴ED→＝(0,2,2)，EG→＝(2,2,0)，AB→＝(2,0，－2)．设平面DEG的法向量为n＝(x，y，z)，则ED→·n＝0，EG→·n＝0，即2y＋2z＝0，2x＋2y＝0，令y＝1，得z＝－1，x＝－1，则n＝(－1,1，－1)，∴AB→·n＝－2＋0＋2＝0，即AB→⊥n.∵AB⊄平面DEG，∴AB∥平面DEG.考向二垂直、【例2】如图1，在四棱锥SABCD中，底面ABCD是正方形，AS⊥底面ABCD，且ASAB，E是SC的中点．求证：（1）直线AD⊥平面SAB；（2）平面BDE⊥平面ABCD．图1图2【答案】见解析【解析】如图2，以A为原点，AB，AD，AS所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Axyz，设2ASAB，则(0,0,0)A，(0,2,0)D，(2,2,0)C，(2,0,0)B，(0,0,2)S，(1,1,1)E易得(0,0,2)AS，(2,0,0)AB设平面SAB的法向量为(,,)xyzn，则ASAB⊥⊥nn，即2020ASzABxnn取1y，可得平面SAB的一个法向量为(0,1,0)n又(0,2,0)AD，所以2ADn，所以AD∥n，所以直线AD⊥平面SAB方法1：如图2，连接AC交BD于点O，连接OE，则点O的坐标为(1,1,0)易得(0,0,1)OE，(0,0,2)AS，显然2ASOE，故ASOE∥，所以ASOE∥又AS⊥底面ABCD，所以OE⊥底面ABCD又OE平面BDE，所以平面BDE⊥平面ABCD方法2：易得(1,1,1)BE，(2,2,0)BD设平面BDE的法向量为(,,)xyzm，则BEBD⊥⊥mm，即0220BExyzBDxymm取1x，得1y，0z，所以平面1ABD的一个法向量为(1,1,0)mAS⊥底面ABCD，可得(0,0,2)AS是平面ABCD的一个法向量因为(0,0,2)(1,1,0)0ASm，所以AS⊥m，所以平面BDE⊥平面ABCD【举一反三】1.如图所示，正三棱柱ABC­A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点，求证：AB1⊥平面A1BD．【答案】见解析【解析】法一：如图所示，取BC的中点O，连接AO.因为△ABC为正三角形，所以AO⊥BC．因为在正三棱柱ABC­A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，所以AO⊥平面BCC1B1.取B1C1的中点O1，以O为原点，以OB→，OO1→，OA→分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则B(1,0,0)，D(－1,1,0)，A1(0,2，3)，A(0,0，3)，B1(1,2,0)．所以AB1→＝(1,2，－3)，BA1→＝(－1,2，3)，BD→＝(－2,1,0)．因为AB1→·BA1→＝1×(－1)＋2×2＋(－3)×3＝0.AB1→·BD→＝1×(－2)＋2×1＋(－3)×0＝0.所以AB1→⊥BA1→，AB1→⊥BD→，即AB1⊥BA1，AB1⊥BD．又因为BA1∩BD＝B，所以AB1⊥平面A1BD．法二：建系同方法一．设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)，则n⊥BA1→n⊥BD→，即n·BA1→＝－x＋2y＋3z＝0，n·BD→＝－2x＋y＝0，令x＝1得平面A1BD的一个法向量为n＝(1,2，－3)，又AB1→＝(1,2，－3)，所以n＝AB1→，即AB1→∥n.所以AB1⊥平面A1BD．考向三利用空间向量解决平行与垂直关系中的探索性问题【例3】如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，BC⊥AC，BC＝AC＝AA1＝2，D为AC的中点．(1)求证：AB1∥平面BDC1；(2)设AB1的中点为G，问：在矩形BCC1B1内是否存在点H，使得GH⊥平面BDC1.若存在，求出点H的位置，若不存在，说明理由．【答案】见解析【解析】(1)证明：连接B1C，设B1C∩BC1＝M，连接MD，在△AB1C中，M为B1C中点，D为AC中点，∴DM∥AB1，又∵AB1不在平面BDC1内，DM在平面BDC1内，∴AB1∥平面BDC1.(2)以C1为坐标原点，C1A1→为x轴，C1C→为y轴，C1B1→为z轴建立空间直角坐标系．依题意，得C1(0,0,0)，D(1,2,0)，B(0,2,2)，G(1,1,1)，假设存在H(0，m，n)，GH→＝(－1，m－1，n－1)，C1D→＝(1,2,0)，DB→＝(－1,0,2)，由GH⊥平面BC1D，得GH→⊥C1D→⇒(－1，m－1，n－1)·(1,2,0)＝0⇒m＝32.同理，由GH→⊥DB→得n＝12，即在矩形BCC1B1内存在点H，使得GH⊥平面BDC1.此时点H到B1C1的距离为32，到C1C的距离为12.【举一反三】1.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，E，F分别为PA，BD中点，PA＝PD＝AD＝2.(1)求证：EF∥平面PBC；(2)在棱PC上是否存在一点G，使GF⊥平面EDF？若存在，指出点G的位置；若不存在，说明理由．【答案】见解析【解析】(1)证明：如图所示，连接AC.因为底面ABCD是正方形，AC与BD互相平分．F是BD中点，所以F是AC中点．在△PAC中，E是PA中点，F是AC中点，所以EF∥PC.又因为EF⊄平面PBC，PC⊂平面PBC，所以EF∥平面PBC.(2)取AD中点O，连接PO.在△PAD中，PA＝PD，所以PO⊥AD.因为平面PAD⊥底面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以PO⊥平面ABCD.因为OF⊂平面ABCD，所以PO⊥OF.又因为F是AC中点，所以OF⊥AD.以O为原点，OA，OF，OP分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．因为PA＝PD＝AD＝2，所以OP＝3，则C(－1,2,0)，D(－1,0,0)，P(0,0，3)，E12，0，32，F(0,1,0)．于是DE→＝32，0，32，DF→＝(1,1,0)．设平面EFD的法向量n＝(x0，y0，z0)．因为n·DF→＝0，n·DE→＝0，所以x0＋y0＝0，32x0＋32z0＝0，即y0＝－x0，z0＝－3x0.令x0＝1，则n＝(1，－1，－3)．假设在棱PC上存在一点G，使GF⊥平面EDF.设G(x1，y1，z1)，则FG→＝(x1，y1－1，z1)．因为EDF的一个法向量n＝(1，－1，－3)．因为GF⊥平面EDF，所以FG→＝λn.于是x1＝λ，y1－1＝－λ，z1＝－3λ，即x1＝λ，y1＝1－λ，z1＝－3λ.又因为点G在棱PC上，所以GC→与PC→共线．因为PC→＝(－1,2，－3)，CG→＝(x1＋1，y1－2，z1)，所以x1＋1－1＝y1－22＝z1－3，即1＋λ－1＝－λ－12＝－3λ－3，无解．故在棱PC上不存在一点G，使GF⊥平面EDF.考向四点面距【例4】如图，已知正方体1111ABCDABCD的棱长为3a，求平面11ABD与平面1BDC之间的距离．【答案】3a．【解析】由正方体的性质，易得平面11ABD∥平面1BDC，则两平面间的距离可转化为点B到平面11ABD的距离．如图，以D为坐标原点，DA，DC，1DD所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，【举一反三】1．在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑（bienao）.已知在鳖臑PABC中，PA平面ABC，2PAABBC，M为PC的中点，则点P到平面MAB的距离为_____．【答案】2【解析】以B为坐标原点，BA,BC所在直线分别为x轴，y轴建立空间直角坐标系，如图，则0,0,0,2,0,0,2,0,2,0,2,0BAPC,由M为PC的中点可得1,1,1M;1,1,1,2,0,0BMBA,2,0,2BP.设,,xyzn为平面ABM的一个法向量