2020年高考数学一轮复习 专题9.4 空间几何体中平行练习（含解析）

9.4空间几何中平行问题一．线面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(简记为“线线平行⇒线面平行”)l∥aa⊂αl⊄α⇒l∥α性质定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”)l∥αl⊂βα∩β＝b⇒l∥b二.面面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”)a∥βb∥βa∩b＝Pa⊂αb⊂α⇒α∥β性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行α∥βα∩γ＝aβ∩γ＝b⇒a∥b如果两个平面互相平行，其中一个平面内的一直线平行与另外平面aa考向一线面平行【例1】（1）如图1，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，E是线段PC上的中点，证明：//PA平面EBD（2）如图2，𝐴𝐴𝐴𝐴是菱形，𝐴𝐴//𝐴𝐴，𝐴𝐴=2𝐴𝐴.求证：𝐴𝐴//平面𝐴𝐴𝐴.（3）如图3，在直角梯形中ABCD，90ADCBAD，截面CDE交SB于点F,求证：//EFCD；（4）如图4，三棱锥PABC中，D是PA的中点，E是CD的中点，点F在PB上且14BFPB，证明：//EF平面ABC；（5）如图5，菱形ABCD与正三角形BCE的边长均为2，且平面ABCD⊥平面BCE，FD平面ABCD，3FD．求证：//EF平面ABCD；（6）如图6，已知P是正方形ABCD所在平面外一点，M，N分别是PA，BD上的点，且PM∶MA＝BN∶ND＝5∶8.求证：直线MN∥平面PBC．图4图5图6【答案】见解析【解析】（1）连接AC交BD于O，连接EO，如图A∵底面ABCD是菱形，∴O是AC中点，又∵E是PC的中点，∴//PAEO，且PA平面EBD，EO平面EBD，∴//PA平面EBD.（2）证明：设𝐴𝐴∩𝐴𝐴=𝐴，取𝐴𝐴中点𝐴，连结𝐴𝐴,𝐴𝐴，如图B所以，𝐴𝐴//12𝐴𝐴且𝐴𝐴=12𝐴𝐴.因为𝐴𝐴//𝐴𝐴，𝐴𝐴=2𝐴𝐴，所以𝐴𝐴//𝐴𝐴且𝐴𝐴=𝐴𝐴，从而四边形𝐴𝐴𝐴𝐴是平行四边形，𝐴𝐴//𝐴𝐴.因为𝐴𝐴⊂平面𝐴𝐴𝐴，𝐴𝐴⊄平面𝐴𝐴𝐴，所以𝐴𝐴//平面𝐴𝐴𝐴，即𝐴𝐴//平面𝐴𝐴𝐴.（3）//CDAB//CD平面SAB又平面CDEF平面SABEF//CDEF（4）证明：如图，取AD中点G，连接GE，GF，如图C则GE//AC，GF//AB，因为GE∩GF=G，AC∩AB=A，所以平面GEF//平面ABC，所以EF//平面ABC．（5）证明：如图，过点E作EHBC于H，连接HD，∴3EH．如图D∵平面ABCD⊥平面BCE，EH平面BCE，平面ABCD平面BCEBC，∴EH⊥平面ABCD，又∵FD⊥平面ABCD，3FD，∴//FDEH，FDEH.∴四边形EHDF为平行四边形．∴//EFHD.∵EF平面ABCD，HD平面ABCD，∴//EF平面ABCD．(6)∵𝐴𝐴⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=𝐴𝐴⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑+𝐴𝐴⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑+𝐴𝐴⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=𝐴𝐴⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑+𝐴𝐴⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑+𝐴𝐴⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=513𝐴𝐴⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑+𝐴𝐴⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑+513𝐴𝐴⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=513(𝐴𝐴⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑−𝐴𝐴⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑)+𝐴𝐴⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑+513(𝐴𝐴⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑+𝐴𝐴⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑)=513𝐴𝐴⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑−𝐴𝐴⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑+513𝐴𝐴⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=513𝐴𝐴⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑−813𝐴𝐴⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑∴𝐴𝐴⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑与𝐴𝐴⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑，𝐴𝐴⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑共面．∴𝐴𝐴⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑∥平面PBC．∵MN⊄平面PBC，∴MN∥平面PBC．【举一反三】1.如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，，点M，N分别为A1C1，AB1的中点，证明：MN∥平面BB1C1C【答案】见解析【解析】证明：连接A1B，BC1，点M，N分别为A1C1，AB1的中点，所以MN为△A1BC1的一条中位线，MN∥BC1，又因为MN⊄平面BB1C1C，BC1⊂平面BB1C1C，所以MN∥平面BB1C1C.2．如图四边形𝐴𝐴𝐴𝐴是平行四边形𝐴𝐴𝐴𝐴为直角梯形，𝐴𝐴=2𝐴𝐴=𝐴𝐴=2𝐴𝐴.求证：𝐴𝐴//平面𝐴𝐴𝐴；【答案】见解析【解析】取𝐴𝐴的中点𝐴，连接𝐴𝐴,𝐴𝐴.∵四边形𝐴𝐴𝐴𝐴为直角梯形，𝐴𝐴=2𝐴𝐴,𝐴是𝐴𝐴的中点，∴𝐴𝐴=𝐴𝐴，且𝐴𝐴//𝐴𝐴.∵四边形𝐴𝐴𝐴𝐴是平行四边形，∴𝐴𝐴=𝐴𝐴，且A𝐴//𝐴𝐴，∴𝐴𝐴=𝐴𝐴，且𝐴𝐴//𝐴𝐴，∴四边形𝐴𝐴𝐴𝐴是平行四边形，∴𝐴𝐴//𝐴𝐴.∵𝐴𝐴⊂平面𝐴𝐴𝐴,𝐴𝐴⊄平面𝐴𝐴𝐴，∴𝐴𝐴//平面𝐴𝐴𝐴.3．如图所示，//,24BECDBECD，F为棱AE的中点，求证://DF平面ABC【答案】见解析【解析】证明：如图，取AB中点G，连接CGFG、，因为F为AE中点，所以//FGBE且12FGCD，2BECD，所以//FGCD且FGCD，所以四边形CDFG为平行四边形，所以//DFCG.CG平面ABC，DF平面ABC，∴//DF平面ABC.4．如下图，在几何体ABCDE中，四边形ABCD为正方形，G是线段BE的中点，2AB，F是线段CD上的中点，求证://GFADE平面【答案】见解析【解析】解法一：取AE的中点H，连接HG，DHG是线段BE的中点，HGAB且12HGAB，四边形ABCD为正方形，F是线段CD上的中点DFAB且12DFAB，∴HGDF且HGDF，四边形DFGH是平行四边形，//GFDH，DHGFADEADE平面，平面，//GFADE平面。解法二：取CE的中点H，连接FH，HGG是线段BE的中点，//GHBC四边形ABCD为正方形，BC//AD，//GHAD，ADGHADEADE平面，平面，H//GADE平面。又F是线段CD上的中点，//DEHF，DEHFADEADE平面，平面，//HGADE平面。/FHGHH，H//FGADE平面平面，FGFHG平面，//GFADE平面。考向二面面平行【例2】如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EFA1∥平面BCHG.【答案】见解析【解析】证明：(1)∵G，H分别是A1B1，A1C1的中点，∴GH是△A1B1C1的中位线，∴GH∥B1C1.又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC，∴B，C，H，G四点共面．(2)∵E，F分别是AB，AC的中点，∴EF∥BC.∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.∵A1G∥EB，A1G=EB∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB.又∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，∴A1E∥平面BCHG.又∵A1E∩EF＝E，A1E，EF⊂平面EFA，∴平面EFA1∥平面BCHG.【拓展】在本例条件下，若D1，D分别为B1C1，BC的中点，求证：平面A1BD1∥平面AC1D.证明如图所示，连接A1C交AC1于点M，∵四边形A1ACC1是平行四边形，∴M是A1C的中点，连接MD，∵D为BC的中点，∴A1B∥DM.∵A1B⊂平面A1BD1，DM⊄平面A1BD1，∴DM∥平面A1BD1.又由三棱柱的性质知，D1C1綊BD，∴四边形BDC1D1为平行四边形，∴DC1∥BD1.又DC1⊄平面A1BD1，BD1⊂平面A1BD1，∴DC1∥平面A1BD1.又∵DC1∩DM＝D，DC1，DM⊂平面AC1D，∴平面A1BD1∥平面AC1D.【举一反三】1．如图，在多面体𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴中，𝐴𝐴𝐴𝐴是正方形，𝐴𝐴//𝐴𝐴，BF=DE点𝐴为棱𝐴𝐴的中点.求证：平面𝐴𝐴𝐴//平面𝐴𝐴𝐴；【解析】连接𝐴𝐴，交𝐴𝐴于点𝐴，∴𝐴为𝐴𝐴的中点，∴𝐴𝐴//𝐴𝐴.∵𝐴𝐴⊄平面𝐴𝐴𝐴，𝐴𝐴⊂平面𝐴𝐴𝐴，∴𝐴𝐴//平面𝐴𝐴𝐴.∵𝐴𝐴//𝐴𝐴，𝐴𝐴=𝐴𝐴，∴𝐴𝐴𝐴𝐴为平行四边形，∴𝐴𝐴//𝐴𝐴.∵𝐴𝐴⊄平面𝐴𝐴𝐴，𝐴𝐴⊂平面𝐴𝐴𝐴，∴𝐴𝐴//平面𝐴𝐴𝐴.又∵𝐴𝐴∩𝐴𝐴=𝐴，∴平面𝐴𝐴𝐴//平面𝐴𝐴𝐴.2．如图，直角梯形𝐴𝐴𝐴𝐴与梯形𝐴𝐴𝐴𝐴全等，其中𝐴𝐴//𝐴𝐴//𝐴𝐴，𝐴𝐴=𝐴𝐴=12𝐴𝐴=1，点𝐴是𝐴𝐴的中，求证：平面𝐴𝐴𝐴//平面𝐴𝐴𝐴；【答案】见解析【解析】∵𝐴𝐴//𝐴𝐴，𝐴𝐴=12𝐴𝐴，𝐴是𝐴𝐴的中点，∴四边形𝐴𝐴𝐴𝐴为平行四边形，∴𝐴𝐴//𝐴𝐴，又∵𝐴𝐴⊂平面𝐴𝐴𝐴，𝐴𝐴⊄平面𝐴𝐴𝐴，∴𝐴𝐴//平面𝐴𝐴𝐴，∵直角梯形𝐴𝐴𝐴𝐴与梯形𝐴𝐴𝐴𝐴全等，𝐴𝐴//𝐴𝐴//𝐴𝐴，∴𝐴𝐴=𝐴𝐴，∴四边形𝐴𝐴𝐴𝐴为平行四边形，∴𝐴𝐴//𝐴𝐴，又∵𝐴𝐴⊂平面𝐴𝐴𝐴，𝐴𝐴⊄平面𝐴𝐴𝐴，∴𝐴𝐴//平面𝐴𝐴𝐴，∵𝐴𝐴∩𝐴𝐴=𝐴，∴平面𝐴𝐴𝐴//平面𝐴𝐴𝐴．考向三定理性质的判断【例3】已知直线和平面，满足.则“”是“”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若，，由线面平行的判定定理可得，若，，与，可以是异面直线，“”是“”的充分而不必要条件，故选A.【举一反三】1.下列命题正确的是（）A.若一直线与两个平面所成角相等，则这两个平面平行B.若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行C.若两个平面垂直于同一个平面，则这两个平面平行D.若两条直线和同一个平面平行，则这两条直线平行【答案】B【解析】对于答案A，这两个平面可以相交，因此答案不正确；对于答案C，这两个平面也可以相交，因此答案也不正确；对于答案D，这两条直线也可以相交或异面，因此答案也不正确；故应选答案B2.空间中，设表示不同的直线，表示不同的平面，则下列命题正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则,mn,mn//mn//m,mn//mn//m,mn//mnmn//mn//m,mn,,,//,mm//,m//m,nmn//m【答案】BD项，若,由同时垂直于一条直线的直线和平面的位置关系可以是直线在平面内或平行可知，直线m在平面内或平行，故D项不合题意.故选B.3.已知命题若,,则//；命题若,,,则，下列是真命题的是()A．B．C．D．【答案】D【解析】若,,则或，故假，真，，,则，正确，故为真，为假，为真，故选D.考向四动点问题【例4】如图，在等腰梯形ABCD中，M为AB的中点，//ADBC，棱AD上是否存在一点N，使得//PD平面MNC？请说明你的结论；【答案】见解析【解析】如图，取N为AD的中点，连接MN，CN，由,MN均为,PAAD的中点，则MN为APD的中位线，所以//MNPD，,nmn又MN面MNC，P