2020年高考数学一轮复习 专题6.6 独立性检验练习（含解析）

6.6独立性检验独立性检验：2×2列联表BB合计An11n12n1＋An21n22n2＋总计n＋1n＋2n构造一个随机变量，利用随机变量χ2来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验：若，则有95%把握认为A与B有关；若，则有99%把握认为A与B有关；其中是判断是否有关系的临界值，应判断为没有充分证据显示A与B有关，而不能作为小于95%的量化值来判断．【例1】某校为了解校园安全教育系列活动的成效，对全校学生进行一次安全意识测试，根据测试成绩评定“合格”、“不合格”两个等级，同时对相应等级进行量化：“合格”记5分，“不合格”记0分.现随机抽取部分学生的成绩，统计结果及对应的频率分布直方图如下所示：等级不合格合格21122122121212nnnnnnnnn23.84126.63523.84123.841【修炼套路】---为君聊赋《今日诗》，努力请从今日始【套路秘籍】---千里之行始于足下得分[20,40)[40,60)[60,80)[80,100)频数6𝑥24𝑥（Ⅰ）若测试的同学中，分数段[20,40)、[40,60)、[60,80)、[80,100]内女生的人数分别为2人、8人、16人、4人，完成2×2列联表，并判断：是否有90%以上的把握认为性别与安全意识有关？是否合格性别不合格合格总计男生女生总计（Ⅱ）用分层抽样的方法，从评定等级为“合格”和“不合格”的学生中，共选取10人进行座谈，现再从这10人中任选4人，记所选4人的量化总分为𝑥，求𝑥的分布列及数学期望𝑥(𝑥)；（Ⅲ）某评估机构以指标𝑥（𝑥=𝑥(𝑥)𝑥(𝑥)，其中𝑥(𝑥)表示𝑥的方差）来评估该校安全教育活动的成效，若𝑥≥0.7，则认定教育活动是有效的；否则认定教育活动无效，应调整安全教育方案.在（Ⅱ）的条件下，判断该校是否应调整安全教育方案？附表及公式：𝑥2=𝑥(𝑥𝑥−𝑥𝑥)2(𝑥+𝑥)(𝑥+𝑥)(𝑥+𝑥)(𝑥+𝑥)，其中𝑥=𝑥+𝑥+𝑥+𝑥.𝑥(𝑥2≥𝑥0)0.150.100.050.0250.010𝑥02.0722.7063.8415.0246.635【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）不需要调整安全教育方案.【解析】（Ⅰ）由频率分布直方图可知，得分在[20,40)的频率为0.005×20=0.1，故抽取的学生答卷总数为60.1=60，∴𝑥=60×0.2=12,𝑥=18.性别与合格情况的2×2列联表为：是否合格性别不合格合格小计男生141630女生102030小计243660∴𝑥2=60×(14×20−10×16)230×30×24×36=1092.706即在犯错误概率不超过90%的前提下，不能认为性别与安全测试是否合格有关.（Ⅱ）“不合格”和“合格”的人数比例为24:36=2:3，因此抽取的10人中“不合格”有4人，“合格”有6人，所以𝑥可能的取值为20、15、10、5、0,𝑥(𝑥=20)=𝑥64𝑥104=114,𝑥(𝑥=15)=𝑥63𝑥41𝑥104=821,𝑥(𝑥=10)=𝑥62𝑥42𝑥104=37,𝑥(𝑥=5)=𝑥61𝑥43𝑥104=435,𝑥(𝑥=0)=𝑥44𝑥104=1210.𝑥的分布列为：𝑥20151050𝑥114821374351210所以𝑥𝑥=20×114+15×821+10×37+5×435+0×1210=12.（Ⅲ）由（Ⅱ）知：𝑥(𝑥)=(20−12)2×114+(15−12)2×821+(10−12)2×37+(5−12)2×435+(0−12)2×1210=16∴𝑥=𝑥(𝑥)𝑥(𝑥)=1216=340.7.故我们认为该校的安全教育活动是有效的，不需要调整安全教育方案.【举一反三】1．为推行“新课堂”教学法,某老师分别用传统教学和“新课堂”两种不同的教学方式在甲、乙两个平行班进行教学实验,为了解教学效果,期中考试后,分别从两个班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计,作出如图所示的茎叶图,若成绩大于70分为“成绩优良”.(1)由统计数据填写下面2×2列联表,并判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”?甲班乙班总计成绩优良成绩不优良总计(2)从甲、乙两班40个样本中,成绩在60分以下(不含60分)的学生中任意选取2人,求抽取的2人中恰有一人来自乙班的概率.20PKk0.100.050.0250.0100k2.7063.8415.0246.635附:22(-)()()()()nadbcKacbdabcd，（nabcd）【答案】（1）见解析；（2）815【解析】(1)根据茎叶图中的数据作出22列联表如表所示：甲班乙班总计成绩优良101626成绩不优良10414总计202040根据22列联表中的数据,得2K的观测值为2240(104-1610)3.9563.84126142020K,所以能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”.(2)样本中成绩在60分以下的学生中甲班有4人,乙班有2人,所以的所有可能取值为0,1,2,114226CC8(1)C15P,1．我市某高中课题组通过随机询问100名不同年级的学生是否能做到“扶跌倒老人”，得到如图所示的列联表，则下列结论正确的是（）做不到能做到高年级4510低年级3015附参照表：2PKk0.1000.0250.010k2.7065.0246.635参考公式：22()()()()()nadbcKabcdacbd，nabcdA．在犯错误的概率不超过90%的前提下，认为“学生能否做到‘扶跌倒老人’与年级高低有关”B．在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“学生能否做到‘扶跌倒老人’与年级高低无关”C．有90%以上的把握认为“学生能否做到‘扶跌倒老人’与年级高低有关”【运用套路】---纸上得来终觉浅,绝知此事要躬行D．有90%以上的把握认为“学生能否做到‘扶跌倒老人’与年级高低无关”【答案】C【解析】由列联表数据可得：22100451510303.032.70675255545K有90%以上的把握认为“学生能否做到‘扶跌倒老人’与年级高低有关”本题正确选项：C2．“支付宝捐步”已经成为当下最热门的健身方式，为了了解是否使用支付宝捐步与年龄有关，研究人员随机抽取了5000名使用支付宝的人员进行调查，所得情况如下表所示：50岁以上50岁以下使用支付宝捐步10001000不使用支付宝捐步2500500（1）由上表数据，能否有99.9%的把握认为是否使用支付宝捐步与年龄有关？（2）55岁的老王在了解了捐步功能以后开启了自己的捐步计划，可知其在捐步的前5天，捐步的步数与天数呈线性相关．第x天第1天第2天第3天第4天第5天步数𝑥𝑥40004200430050005500（i）根据上表数据，建立𝑥关于𝑥的线性回归方程𝑥̂=𝑥̂𝑥+𝑥̂；（ii）记由（i）中回归方程得到的预测步数为𝑥𝑥′，若从5天中任取3天，记𝑥𝑥′𝑥𝑥的天数为X，求X的分布列以及数学期望．附参考公式与数据：𝑥̂=∑(𝑥𝑥−𝑥)(𝑥𝑥−𝑥)𝑥𝑥=1∑(𝑥𝑥−𝑥)2𝑥𝑥=1，𝑥̂=𝑥−𝑥̂⋅𝑥；K2=𝑥(𝑥𝑥−𝑥𝑥)2(𝑥+𝑥)(𝑥+𝑥)(𝑥+𝑥)(𝑥+𝑥)；P(K2≥k0)0.1000.0500.0100.001k02.7063.8416.63510.828【答案】（1）有99.9%的把握认为是否使用支付宝捐步与年龄有关；（2）（i）𝑥̂=380𝑥+3460,（ii）X的分布列为：X123𝑥31035110𝑥𝑥=1×310+2×35+3×110=1.8。【解析】（1）𝑥2=5000×(1000×500−1000×2500)22000×3000×3500×1500=63510.828，所以有99.9%的把握认为是否使用支付宝捐步与年龄有关；（2）（i）𝑥=1+2+3+4+55=3,𝑥=4000+4200+4300+5000+55005=4600,∑𝑥𝑥⋅5𝑥=1𝑥𝑥=1×4000+2×4200+3×4300+4×5000+5×5500=72800,∑𝑥𝑥25𝑥=1=12+22+32+42+52=55𝑥̂=∑(𝑥𝑥−5𝑥=1𝑥)⋅(𝑥𝑥−𝑥)∑(𝑥𝑥5𝑥=1−𝑥)2=∑𝑥𝑥⋅5𝑥=1𝑥𝑥−𝑥⋅𝑥⋅𝑥∑𝑥𝑥25𝑥=1−𝑥⋅𝑥2=72800−5×3×460055−5×9=380，𝑥̂=𝑥̅̅̅−𝑥̂⋅𝑥̅̅̅=3460.所以𝑥关于𝑥的线性回归方程为𝑥̂=380𝑥+3460。（ii）根据线性回归方程，把𝑥=1，2，3，4，5分别代入线性回归方程中，求出每天的预测步数，如下表所示：第x天第1天第2天第3天第4天第5天步数𝑥𝑥40004200430050005500预测步数为𝑥𝑥′38404220460049805360由表中可知：𝑥𝑥′𝑥𝑥的天数共有3天，从5天中任取3天，记𝑥𝑥′𝑥𝑥的天数为X，X=1，2，3；𝑥(𝑥=1)=𝑥22⋅𝑥31𝑥53=310,𝑥(𝑥=2)=𝑥21⋅𝑥32𝑥53=35,𝑥(𝑥=3)=𝑥33𝑥53=110,X的分布列为：X123𝑥31035110𝑥𝑥=1×310+2×35+3×110=1.8。3．2019年2月25日，第11届罗马尼亚数学大师赛（简称𝑥𝑥𝑥）于罗马尼亚首都布加勒斯特闭幕，最终成绩揭晓，以色列选手排名第一，而中国队无一人获得金牌，最好成绩是获得银牌的第15名，总成绩排名第6.而在分量极重的国际数学奥林匹克（𝑥𝑥𝑥）比赛中，过去拿冠军拿到手软的中国队，也已经有连续4年没有拿到冠军了.人们不禁要问“中国奥数究竟怎么了？”，一时间关于各级教育主管部门是否应该下达“禁奥令”成为社会热点.某重点高中培优班共50人，现就这50人“禁奥令”的态度进行问卷调查，得到如下的列联表：不应下“禁奥令”应下“禁奥令”合计男生5女生10合计50若采用分层抽样的方法从50人中抽出10人进行重点调查，知道其中认为不应下“禁奥令”的同学共有6人.（1）请将上面的列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为对下“禁奥令”的态度与性别有关？请说明你的理由；（2）现从这10人中抽出2名男生、2名女生，记此4人中认为不应下“禁奥令”的人数为𝑥，求𝑥的分布列和数学期望.参考公式与数据：𝑥2=𝑥(𝑥𝑥−𝑥𝑥)2(𝑥+𝑥)(𝑥+𝑥)(𝑥+𝑥)(𝑥+𝑥)𝑥(𝑥2≥𝑥0)0.1000.0500.0100.001𝑥02.7063.8416.63510.828【答案】（1）有99%的把握；（2）见解析.【解析】（1）列联表补充如下：所以𝑥2的观测值，𝑥2=50×(20×15−10×5)230×20×25×25=253≈8.3336.635,所以有99%的把握认为是否应该下“禁奥令”与性别有关.(2)由题意，可知在这10人中，男、女生各5人，其中男生有4人、女生有2人认为不应该下“禁奥令”，𝑥所有可能取值有1,2,3,4.𝑥(𝑥=1)=𝑥41𝑥11𝑥32𝑥52𝑥52=12100;𝑥(𝑥=2)=𝑥42𝑥32+𝑥41𝑥11𝑥21𝑥31𝑥52𝑥52=42100;𝑥(𝑥=3)=𝑥41𝑥11𝑥22+𝑥42𝑥21𝑥31𝑥52𝑥52=40100;𝑥(𝑥=4)=𝑥42𝑥22𝑥52𝑥52=6100.所以𝑥的分布列是所以𝑥(𝑥)=12+2×42+3×40+4×6100=2.4（人）4．手机支付也称为移动支付，是指允许用户使用其移动终端(通常是手