2020年高考数学一轮复习 专题6.3 几何概型练习（含解析）

6.3几何概型1．几何概型设D是一个可度量的区域(例如线段、平面图形、立体图形等)，每个基本事件可以视为从区域D内随机地取一点，区域D内的每一点被取到的机会都一样；随机事件A的发生可以视为恰好取到区域D内的某个指定区域d中的点．这时，事件A发生的概率与d的测度(长度、面积、体积等)成正比，与d的形状和位置无关．我们把满足这样条件的概率模型称为几何概型．2．几何概型的概率计算公式一般地，在几何区域D中随机地取一点，记事件“该点落在其内部一个区域d内”为事件A，则事件A发生的概率P(A)＝d的测度D的测度.3．要切实理解并掌握几何概型试验的两个基本特点(1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个；(2)等可能性：每个结果的发生具有等可能性．4．随机模拟方法(1)使用计算机或者其他方式进行的模拟试验，以便通过这个试验求出随机事件的概率的近似值的方法就是模拟方法．(2)用计算器或计算机模拟试验的方法为随机模拟方法．这个方法的基本步骤是①用计算器或计算机产生某个范围内的随机数，并赋予每个随机数一定的意义；②统计代表某意义的随机数的个数M和总的随机数个数N；③计算频率fn(A)＝MN作为所求概率的近似值．考向一长度【例1】某公司的班车在7：00，8：00,8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且【修炼套路】---为君聊赋《今日诗》，努力请从今日始【套路秘籍】---千里之行始于足下到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是________．【答案】12【解析】如图所示，画出时间轴．小明到达的时间会随机的落在图中线段AB中，而当他的到达时间落在线段AC或DB上时，才能保证他等车的时间不超过10分钟，根据几何概型，得所求概率P＝10＋1040＝12.【举一反三】1．在区间[0,5]上随机地选择一个数p，则方程x2＋2px＋3p－2＝0有两个负根的概率为________．【答案】23【解析】方程x2＋2px＋3p－2＝0有两个负根，则有Δ≥0，x1＋x20，x1x20，即4p2－43p－2≥0，－2p0，3p－20，解得p≥2或23p≤1，又p∈[0,5]，则所求概率为P＝3＋135＝1035＝23.2．在区间[0,2]上随机地取一个数x，则事件“－1≤121log()2x≤1”发生的概率为_______．【套路总结】求解与长度、角度有关的几何概型的方法求与长度(角度)有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模型转化为长度(角度)，然后求解．要特别注意“长度型”与“角度型”的不同．解题的关键是构建事件的区域(长度或角度)．【答案】34【解析】由－1≤121log()2x≤1，得12≤x＋12≤2，得0≤x≤32.由几何概型的概率计算公式，得所求概率P＝32－02－0＝34.考向二面积【例2】（1）一只蚂蚁在边长分别为6,8,10的△ABC区域内随机爬行，则其恰在到顶点A或顶点B或顶点C的距离小于1的地方的概率为________．(2)设不等式组y≤x，y≥－x，2x－y－4≤0所表示的平面区域为M，x2＋y2≤1所表示的平面区域为N，现随机向区域M内抛一粒豆子，则豆子落在区域N内的概率为________．【答案】（1）π48（2）3π64【解析】（1）蚂蚁活动的范围是在三角形的内部，三角形的边长为6,8,10，是直角三角形，∴面积为12×6×8＝24，而“恰在离三个顶点距离都小于1”正好是一个半径为1的半圆，面积为12π×12＝π2，∴根据几何概型的概率公式可知其到三角形顶点的距离小于1的地方的概率为π224＝π48.(2)画出两不等式组表示的平面区域，则图中阴影部分为两不等式组的公共部分，易知A(4,4)，B43，－43，OA⊥OB，平面区域M的面积S△AOB＝12×423×42＝163，阴影部分的面积S＝14×π×12＝π4.由几何概型的概率计算公式，得P＝SS△AOB＝π4163＝3π64【举一反三】1．已知P是△ABC所在平面内一点，PB→＋PC→＋2PA→＝0，现将一粒黄豆随机撒在△ABC内，则黄豆落在△PBC内的概率是________．【答案】12【解析】以PB，PC为邻边作平行四边形PBDC，则PB→＋PC→＝PD→，因为PB→＋PC→＋2PA→＝0，所以PB→＋PC→＝－2PA→，得PD→＝－2PA→，由此可得，P是△ABC边BC上的中线AO的中点，点P到BC的距离等于A到BC距离的12，所以S△PBC＝12S△ABC，所以将一粒黄豆随机撒在△ABC内，黄豆落在△PBC内的概率为S△PBCS△ABC＝12.2．在区间[1,5]和[2,4]上分别各取一个数，记为m和n，则方程x2m2＋y2n2＝1表示焦点在x轴上的椭圆的概率是________．【答案】12【套路总结】求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解．【解析】∵方程x2m2＋y2n2＝1表示焦点在x轴上的椭圆，∴mn.如图，由题意知，在矩形ABCD内任取一点Q(m，n)，点Q落在阴影部分的概率即为所求的概率，易知直线m＝n恰好将矩形平分，∴所求的概率为P＝12.考向三体积【例3】（1）在棱长为2的正方体ABCD—A1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCD—A1B1C1D1内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为________．（2）如图，在一个棱长为2的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底圆锥形容器，圆锥的底面圆周与鱼缸的底面正方形相切，圆锥的顶点在鱼缸的缸底上，现在向鱼缸内随机地投入一粒鱼食，则“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是________．【答案】（1）1－π12（2）1－π4【解析】（1）记“点P到点O的距离大于1”为A，P(A)＝23－12×43π×1323＝1－π12.（2）鱼缸底面正方形的面积为22＝4，圆锥底面圆的面积为π.所以“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是1－π4.【举一反三】1．如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，有一动点在此长方体内随机运动，则此动点在三棱锥A—A1BD内的概率为______．【答案】16【解析】因为1AABDV＝1AABDV＝13AA1×S△ABD＝16×AA1×S矩形ABCD＝16V长方体，故所求概率为1AABDVV长方体＝16.考向四角度【例4】如图，四边形ABCD为矩形，AB＝3，BC＝1，在∠DAB内任作射线AP，则射线AP与线段BC有公共点的概率为________．【答案13【解析】因为在∠DAB内任作射线AP，所以它的所有等可能事件所在的区域H是∠DAB，当射线AP与线段BC有公共点时，射线AP落在∠CAB内，则区域H为∠CAB，所以射线AP与线段BC有公共点的概率为∠CAB∠DAB＝30°90°＝13.【套路总结】对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求．【举一反三】1．在Rt△ABC中，∠A＝30°，过直角顶点C作射线CM交线段AB于点M，则AMAC的概率为________．【答案】16【解析】设事件D为“作射线CM，使AMAC”．在AB上取点C′使AC′＝AC，因为△ACC′是等腰三角形，所以∠ACC′＝180°－30°2＝75°，事件D发生的区域μD＝90°－75°＝15°，构成事件总的区域μΩ＝90°，所以P(D)＝μDμΩ＝15°90°＝16.1．如图所示的长方形内，两个半圆均以长方形的一边为直径且与对边相切，在长方形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（）A．34B．332C．334D．33【答案】C【解析】如下图所示：【运用套路】---纸上得来终觉浅,绝知此事要躬行设长方形的长为4，宽为2，则120AOB阴影部分的面积21182223123323S所求概率为：823334234p本题正确选项：C2．最近各大城市美食街火爆热开，某美食店特定在2017年元旦期间举行特大优惠活动，凡消费达到88元以上者，可获得一次抽奖机会.已知抽奖工具是一个圆面转盘，被分为6个扇形块，分别记为1，2，3，4，5，6，其面积成公比为3的等比数列（即扇形块2是扇形块1面积的3倍），指针箭头指在最小的1区域内时，就中“一等奖”，则一次抽奖抽中一等奖的概率是（）A．140B．1121C．1364D．11093【答案】C【解析】由题意，可设1,2,3,4,5,6扇形区域的面积分别为,3,9,27,81,243xxxxxx，则由几何概型得，消费88元以上者抽中一等奖的概率1392781243364xPxxxxxx，故选C.3．已知在椭圆方程22221xyab中，参数,ab都通过随机程序在区间0,t上随机选取，其中0t，则椭圆的离心率在3,12之内的概率为（）A．12B．13C．14D．23【答案】A【解析】当ab时2223142ababa，当ab时,同理可得2ba,则由下图可得所求的概率21121222ttPt，故选A.4．在区间1,4上随机选取一个数x，则1x的概率为（）A．25B．35C．15D．23【答案】A【解析】因为5,112Dd，所以由几何概型的计算公式可得25dPD，应选答案A。5．三国时代吴国数学家赵爽所注《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明．下面是赵爽的弦图及注文，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实．图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红（朱）色及黄色，其面积称为朱实、黄实，利用2勾股(股勾2)4朱实黄实弦实，化简，得勾2股2弦2．设勾股形中勾股比为1:3，若向弦图内随机抛掷1000颗图钉（大小忽略不计），则落在黄色图形内的图钉数大约为（）A．866B．500C．300D．134【答案】D【解析】由题意，大正方形的边长为2，中间小正形的边长为31，则所求黄色图形内的图钉数大约为23110001342，故选D.6．1876年4月1日，加菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了勾股定理的一种证明方法，即在如图的直角梯形𝐴𝐴𝐴𝐴中，利用“两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形的面积之和等于直角梯形面积”，可以简洁明了地推证出勾股定理.1881年加菲尔德就任美国第二十任总统.后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、易懂的证明，就把这一证明方法称为“总统证法”.如图，设∠𝐴𝐴𝐴=15°，在梯形𝐴𝐴𝐴𝐴中随机取一点，则此点取自等腰直角𝐴𝐴𝐴𝐴中（阴影部分）的概率是（）A．√32B．34C．23D．√22【答案】C【解析】在直角𝐴𝐴𝐴𝐴中，𝐴=𝐴cos15°，𝐴=𝐴sin15°，则𝐴=𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴梯形𝐴𝐴𝐴𝐴=12𝐴212(𝐴+𝐴)2=𝐴2𝐴2(cos15°+sin15°)2=11+sin30°=23，故选C.7．函数22846fxxxx，在其定义域内任取一点0x，使00fx≥的概率是（）A．310B．23C．35D．45【答案】C【解析】由题意，知00fx≥，即200280xx，解得0024xx，所以由长度的几何概型可得概率为4(2)36(4)5P，故选C.8．阳马，中国古代算数中的一种几何形体，是底面长方形，两个三角面与底面垂直的四棱锥体，在阳马PABCD中，PC为阳马PABCD中最长的棱，1,2,3ABADPC，若在阳马PABCD的外接球内部随机取一点，则该点位阳马内的概率为（）A．127B．427C．827D．49【答案】C【解析】根据题意，PC的长等于其外