2020年高考数学一轮复习 专题5.2 平面向量的基本定理练习（含解析）

5.2平面向量的坐标运算一、平面向量的坐标运算1．向量坐标的求法（1）若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则AB=（x2－x1，y2－y1）.2．向量加法、减法、数乘向量及向量的模设a=（x1，y1），b=（x2，y2），则a＋b=（x2+x1，y2+y1），a－b=（x1－x2，y1－y2），λa=（λx1，λy1），|a|=2211+xy，|a＋b|=221212(+)+(+)xxyy.3．平面向量共线的坐标表示设a=（x1，y1），b=（x2，y2），则a∥b⇔x1y2－x2y1=0.4．向量的夹角已知两个非零向量a和b，作OA=a，OB=b，则∠AOB=θ（0°≤θ≤180°）叫做向量a与b的夹角.如果向量a与b的夹角是90°，我们说a与b垂直，记作a⊥b.考向一坐标运算【例1】（1）已知点M(5，－6)和向量a＝(1，－2)，若MN→＝－3a，则点N的坐标为．(2)已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设AB→＝a，BC→＝b，CA→＝c，a＝mb＋nc(m，n∈R)，则m＋n＝【答案】（1）(2,0)（2）-2【解析】（1）设N(x，y)，则(x－5，y＋6)＝(－3,6)，∴x＝2，y＝0.（2）由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)．【修炼套路】---为君聊赋《今日诗》，努力请从今日始【套路秘籍】---千里之行始于足下∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，∴－6m＋n＝5，－3m＋8n＝－5，解得m＝－1，n＝－1.∴m＋n＝－2.【举一反三】1.设OA→＝(1，－2)，OB→＝(a，－1)，OC→＝(－b,0)，a0，b0，O为坐标原点，若A，B，C三点共线，则1a＋2b的最小值是()A．2B．4C．6D．8【答案】D【解析】由题意可得，OA→＝(1，－2)，OB→＝(a，－1)，OC→＝(－b,0)，所以AB→＝OB→－OA→＝(a－1,1)，AC→＝OC→－OA→＝(－b－1，2)．又∵A，B，C三点共线，∴AB→∥AC→，即(a－1)×2－1×(－b－1)＝0，∴2a＋b＝1，又∵a0，b0，∴1a＋2b＝1a＋2b(2a＋b)＝4＋ba＋4ab≥4＋4＝8，当且仅当ba＝4ab时，取“＝”．故选D.2．已知点P(－1,2)，线段PQ的中点M的坐标为(1，－1)．若向量PQ→与向量a＝(λ，1)共线，则λ＝________.【答案】－23【解析】点P(－1,2)，线段PQ的中点M的坐标为(1，－1)，∴向量PQ→＝2PM→＝2(1＋1，－1－2)＝(4，－6)．又PQ→与向量a＝(λ，1)共线，∴4×1＋6λ＝0，即λ＝－23.3.已知a＝(5，－2)，b＝(－4，－3)，若a－2b＋3c＝0，则c等于()A.1，83B.－133，83C.133，43D.－133，－43【套路总结】平面向量坐标运算的技巧(1)利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．(2)解题过程中，常利用“向量相等，则坐标相同”这一结论，由此可列方程(组)进行求解．【答案】D【解析】由已知3c＝－a＋2b＝(－5,2)＋(－8，－6)＝(－13，－4)．所以c＝－133，－43.考向二平面向量在几何中的运用【例2】已知△ABC的三个顶点的坐标为A(0，1)，B(1,0)，C(0，－2)，O为坐标原点，动点M满足|CM→|＝1，则|OA→＋OB→＋OM→|的最大值是()A.2＋1B.7＋1C.2－1D.7－1【答案】A【解析】设点M的坐标是(x，y)，∵C(0，－2)，且|CM→|＝1，∴x2＋y＋22＝1，则x2＋(y＋2)2＝1，即动点M的轨迹是以C为圆心、1为半径的圆，∵A(0,1)，B(1,0)，∴OA→＋OB→＋OM→＝(x＋1，y＋1)，则|OA→＋OB→＋OM→|＝x＋12＋y＋12，几何意义表示：点M(x，y)与点N(－1，－1)之间的距离，即圆C上的点与点N(－1，－1)的距离，∵点N(－1，－1)在圆C外部，∴|OA→＋OB→＋OM→|的最大值是|NC|＋1＝0＋12＋－2＋12＋1＝2＋1.故选A.【举一反三】1.在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线与圆相交于两点，．若点在圆上，则实数（）O:10lxky22:4Cxy,ABOMOAOBMCkA．B．C．D．【答案】C考向三向量中的坐标【例3】给定两个长度为1的平面向量,OAOB，它们的夹角为120.如图1所示，点C在以O为圆心的圆弧AB上变动.若,OCxOAyOB其中,xyR，则xy的最大值是______.【答案】2【解析】解法1（考虑特值法）当C与A重合时，10,OCOAOB1xy，当C与B重合时，01,OCOAOB1xy，当C从AB的端点向圆弧内部运动时，1xy，于是猜想当C是AB的中点时，xy取到最大值.2101当C是AB的中点时，由平面几何知识OACB是菱形，∴,OCOAOB∴112.xy猜想xy的最大值是2.解法二（考虑坐标法）建立如图3，所示的平面直角坐标系，设AOC，则13(1,0),(,),(cos,sin)22ABC.于是OCxOAyOB可化为：13(cos,sin)(1,0)(,)22xy，∴1cos,23sin.2xyy（1）解法2函数法求最值由方程组（1）得：1cossin,32sin.3xy∴3sincos2sin(30)xy，又0120，∴当30时，max()2.xy解法3不等式法求最值由方程组（1）得：222221sincos()3xyxyxyxy，∴211()33xyxy，由0,0xy，及2xyxy得：2()4xyxy，∴2()4xy，∴2xy，当且仅当1xy时取等号.∴max()2.xy思考方向三考虑向量的数量积的运算解法4两边点乘同一个向量∵,OCxOAyOB∴,.OCOAxOAOAyOBOAOCOBxOAOByOBOB设AOC，则120BOC，又||||||1OCOAOB，∴1cos,21cos(120).2xyxy∴2[coscos(120)]2sin(30)xy，∴当30时，max()2.xy解法5两边平方法∵,OCxOAyOB∴22(),OCxOAyOB∴2221()3xyxyxyxy222()()()344xyxyxy，∴2xy，当且仅当1xy时取等号，∴max()2.xy思考方向四考虑平行四边形法则过C作CM∥OB交OA于M，作CN∥OA交OB于N，则OMCN是平行四边形，由向量加法的平行四边形法则得：OCOMON，在OMC中，设AOC，则120BOC，且||,||.OMxMCy解法6利用正弦定理sinsinsinOMMCOCOCMCOMOMC，1sin(60)sinsin60xy，由等比性值得：1sin(60)sinsin60xy，∴2sin(30)xy，∴当30时，max()2.xy解法7利用余弦定理222||||||2||||cos60,OCOMMCOMMC∴2221()3xyxyxyxy222()()()344xyxyxy，∴2xy，当且仅当1xy时取等号，∴max()2.xy【举一反三】1.如图，已知平面内有三个向量OA→，OB→，OC→，其中OA→与OB→的夹角为120°，OA→与OC→的夹角为30°，且|OA→|＝|OB→|＝1，|OC→|＝23.若OC→＝λOA→＋μOB→(λ，μ∈R)，求λ＋μ的值．【答案】6【解析】方法一如图，作平行四边形OB1CA1，则OC→＝OB1→＋OA1→，因为OA→与OB→的夹角为120°，OA→与OC→的夹角为30°，所以∠B1OC＝90°.在Rt△OB1C中，∠OCB1＝30°，|OC→|＝23，所以|OB1→|＝2，|B1C→|＝4，所以|OA1→|＝|B1C→|＝4，所以OC→＝4OA→＋2OB→，所以λ＝4，μ＝2，所以λ＋μ＝6.方法二以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(1,0)，B－12，32，C(3，3)．由OC→＝λOA→＋μOB→，得3＝λ－12μ，3＝32μ，解得λ＝4，μ＝2.所以λ＋μ＝6.2.如图，四边形ABCD是正方形，延长CD至E，使得DE＝CD，若点P为CD的中点，且AP→＝λAB→＋μAE→，则λ＋μ＝.【答案】52【解析】由题意，设正方形的边长为1，建立平面直角坐标系如图，则B(1,0)，E(－1,1)，∴AB→＝(1,0)，AE→＝(－1,1)，∵AP→＝λAB→＋μAE→＝(λ－μ，μ)，又∵P为CD的中点，∴AP→＝12，1，∴λ－μ＝12，μ＝1，∴λ＝32，μ＝1，∴λ＋μ＝52.1．在▱ABCD中，AC为一条对角线，AB→＝(2,4)，AC→＝(1,3)，则向量BD→的坐标为__________．【答案】(－3，－5)【解析】∵AB→＋BC→＝AC→，∴BC→＝AC→－AB→＝(－1，－1)，【运用套路】---纸上得来终觉浅,绝知此事要躬行∴BD→＝AD→－AB→＝BC→－AB→＝(－3，－5)．2.已知向量a＝(3，1)，b＝(0，－1)，c＝(k，3)，若a－2b与c共线，则k＝________.【答案】1【解析】∵a－2b＝(3，3)，且a－2b∥c，∴3×3－3k＝0，解得k＝1.3.线段AB的端点为A(x,5)，B(－2，y)，直线AB上的点C(1,1)，使|AC→|＝2|BC→|，则x＋y＝.【答案】－2或6【解析】由已知得AC→＝(1－x，－4)，2BC→＝2(3,1－y)．由|AC→|＝2|BC→|，可得AC→＝±2BC→，则当AC→＝2BC→时，有1－x＝6，－4＝2－2y，解得x＝－5，y＝3，此时x＋y＝－2；当AC→＝－2BC→时，有1－x＝－6，－4＝－2＋2y，解得x＝7，y＝－1，此时x＋y＝6.综上可知，x＋y＝－2或6.4.已知O为坐标原点，点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，则AC与OB的交点P的坐标为．【答案】(3,3)【解析】方法一由O，P，B三点共线，可设OP→＝λOB→＝(4λ，4λ)，则AP→＝OP→－OA→＝(4λ－4,4λ)．又AC→＝OC→－OA→＝(－2,6)，由AP→与AC→共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，解得λ＝34，所以OP→＝34OB→＝(3,3)，所以点P的坐标为(3,3)．方法二设点P(x，y)，则OP→＝(x，y)，因为OB→＝(4,4)，且OP→与OB→共线，所以x4＝y4，即x＝y.又AP→＝(x－4，y)，AC→＝(－2,6)，且AP→与AC→共线，所以(x－4)×6－y×(－2)＝0，解得x＝y＝3，所以点P的坐标为(3,3)．5.已知向量a＝8，x2，b＝(x,1)，其中x0，若(a－2b)∥(2a＋b)，则x＝.【答案】4【解析】∵向量a＝8，x2，b＝(x,1)，∴a－2b＝8－2x，x2－2，2a＋b＝(16＋x，x＋1)，∵(a－2b)∥(2a＋b)，∴(8－2x)(x＋1)－(16＋x)x2－2＝0，即－52x2＋40＝0，又∵x0，∴x＝4.6．在矩形ABCD中，