2020年高考数学一轮复习 专题4.1 等差数列练习（含解析）

第一讲等差数列一．等差数列的概念1.文字表达：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示，可正可负可为零．2.数学表达式：1nnaad二.通项公式1.公式an＝a1＋(n－1)d2.推广公式①an＝dn＋(a1－d)(n∈N＋)-----几何意义是点(n，an)均在直线y＝dx＋(a1－d)上．②an＝am＋(n－m)d(m，n∈N＋)----可以用来利用任一项及公差直接得到通项公式，不必求a1.③d＝an－amn－m(m，n∈N＋，且m≠n)----即斜率公式k＝y2－y1x2－x1，可用来由等差数列任两项求公三．求和公式：1.公式：Sn＝n（a1＋an）2＝na1＋n（n－1）2d；2等差数列的前n项和公式与函数的关系Sn＝d2n2＋a1－d2n.数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)．四．性质：①若m，n，p，q，t∈N*，且m＋n＝p＋q=2t，则am＋an＝ap＋aq=2at②Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…，成等差数列.③S2n－1＝(2n－1)an.④等差数列的前n项和的最值在等差数列{an}中，a10，d0，则Sn存在最大值；若a10，d0，则Sn存在最小值．考向一等差数列的判断与证明【例1】已知数列{an}，满足a1＝2，an＋1＝2anan＋2.【修炼套路】---为君聊赋《今日诗》，努力请从今日始【套路秘籍】---千里之行始于足下(1)数列1an是否为等差数列？说明理由；(2)求an.【答案】见解析【解析】(1)数列1an是等差数列，理由如下：∵a1＝2，an＋1＝2anan＋2，∴1an＋1＝an＋22an＝12＋1an，∴1an＋1－1an＝12，即1an是首项为1a1＝12，公差为d＝12的等差数列．(2)由上述可知1an＝1a1＋(n－1)d＝n2，∴an＝2n.【拓展1】(变条件，变结论)将例题中的条件“a1＝2，an＋1＝2anan＋2”换为“a1＝4，an＝4－4an－1(n1)，记bn＝1an－2”．(1)试证明数列{bn}为等差数列；(2)求数列{an}的通项公式．【答案】见解析【解析】(1)证明：bn＋1－bn＝1an＋1－2－1an－2＝14－4an－2－1an－2＝an2an－2－1an－2＝an－22an－2＝12.又b1＝1a1－2＝12，∴数列{bn}是首项为12，公差为12的等差数列．(2)由(1)知bn＝12＋(n－1)×12＝12n.∵bn＝1an－2，∴an＝1bn＋2＝2n＋2.∴数列{an}的通项公式为an＝2n＋2.【拓展2】．(变条件)将例题中的条件“a1＝2，an＋1＝2anan＋2”换为“a1＝1，a2＝2,2an＋1＝2an＋3(n≥2，n∈N*)”试判断数列{an}是否是等差数列．【答案】见解析【解析】当n≥2时，由2an＋1＝2an＋3，得an＋1－an＝32，但a2－a1＝1≠32，故数列{an}不是等差数列．【举一反三】已知数列{an}满足(an＋1－1)(an－1)＝3(an－an＋1)，a1＝2，令bn＝1an－1.(1)证明：数列{bn}是等差数列；(2)求数列{an}的通项公式．【答案】见解析【解析】(1)∵1an＋1－1－1an－1＝an－an＋1an＋1－1an－1＝13，∴bn＋1－bn＝13，∴{bn}是等差数列．(2)由(1)及b1＝1a1－1＝12－1＝1，知bn＝13n＋23，∴an－1＝3n＋2，∴an＝n＋5n＋2(n∈N*)．考向二等差数列的性质【例2】（1）等差数列{an}中，a4＋a5＝15，a7＝12，则a2等于（2）等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，且SnTn＝3n－12n＋3，则a10b10＝________.(3)已知等差数列{an}的前n项和为Sn.若S5＝7，S10＝21，则S15＝________.(4)已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＝－2018，S20192019－S20132013＝6，则S2020＝________.(5)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S130，S140，则Sn取最大值时n的值为________．【答案】（1）3（2）5641（3）42（4)2020(5)7【解析】（1）由数列的性质，得a4＋a5＝a2＋a7，所以a2＝15－12＝3.（2）在等差数列中，S19＝19a10，T19＝19b10，因此a10b10＝S19T19＝3×19－12×19＋3＝5641.（3）在等差数列{an}中，S5，S10－S5，S15－S10成等差数列，即7，14，S15－21成等差数列，【套路总结】判断一个数列是否为等差数列的常用方法1.定义法：an＋1－an(n≥1，n∈N*)是不是一个与n无关的常数．即判断从第二项起该数列的每一项减去它的前一项的差是否为同一个常数，但当数列项数较多或是无穷数列时，逐一验证显然不行，这时可以验证2.中项性质：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔{an}是等差数列；3.函数角度：an＝kn＋b(k，b为常数，n∈N*)⇔{an}是等差数列．若证明一个数列不是等差数列，则只需举出反例即可．所以7＋(S15－21)＝2×14，解得S15＝42.(4)由等差数列的性质可得Snn也为等差数列．设其公差为d，则S20192019－S20132013＝6d＝6，∴d＝1.故S20202020＝S11＋2019d＝－2018＋2019＝1，∴S2020＝1×2020＝2020.(5)根据S130，S140，可以确定a1＋a13＝2a70，a1＋a14＝a7＋a80，所以可以得到a70，a80，所以Sn取最大值时n的值为7.【举一反三】1．在等差数列{an}中，Sn是其前n项和，a1＝－9，S99－S77＝2，则S10＝________.【答案】0【解析】设公差为d，则Snn＝a1＋n－12d，∵S99－S77＝2，∴9－12d－7－12d＝2，∴d＝2，∵a1＝－9，∴S10＝10×(－9)＋10×92×2＝0.2.在等差数列{an}中，已知a1＝13,3a2＝11a6，则数列{an}的前n项和Sn的最大值为________．【答案】49【解析】设{an}的公差为d.法一：由3a2＝11a6，得3(13＋d)＝11(13＋5d)，【套路总结】1.等差数列和的性质：在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，则数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列，且有S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；S2n－1＝(2n－1)an；若n为偶数，则S偶－S奇＝nd2；若n为奇数，则S奇－S偶＝a中(中间项)．2.求等差数列前n项和的最值的方法(1)运用配方法转化为二次函数，借助二次函数的单调性以及数形结合的思想，从而使问题得解．(2)通项公式法：求使an≥0(an≤0)成立时最大的n值即可．一般地，等差数列{an}中，若a10，且Sp＝Sq(p≠q)，则：①若p＋q为偶数，则当n＝p＋q2时，Sn最大；②若p＋q为奇数，则当n＝p＋q－12或n＝p＋q＋12时，Sn最大．解得d＝－2，所以an＝13＋(n－1)×(－2)＝－2n＋15.由an≥0，an＋1≤0，得－2n＋15≥0，－2n＋1＋15≤0，解得6.5≤n≤7.5.因为n∈N*，所以当n＝7时，数列{an}的前n项和Sn最大，最大值为S7＝713－2×7＋152＝49.法二：由3a2＝11a6，得3(13＋d)＝11(13＋5d)，解得d＝－2，所以an＝13＋(n－1)×(－2)＝－2n＋15.所以Sn＝n13＋15－2n2＝－n2＋14n＝－(n－7)2＋49，所以当n＝7时，数列{an}的前n项和Sn最大，最大值为S7＝49.3．在等差数列{an}中，已知a2＋2a8＋a14＝120，则2a9－a10＝________.【答案】30【解析】∵a2＋2a8＋a14＝4a8＝120，∴a8＝30.2a9－a10＝2(a10－d)－a10＝a10－2d＝a8＝30.4.已知等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝15，a2a4a6＝45，求此数列的通项公式．【答案】见解析【解析】方法一因为a1＋a7＝2a4，a1＋a4＋a7＝3a4＝15，所以a4＝5.又因为a2a4a6＝45，所以a2a6＝9，所以(a4－2d)(a4＋2d)＝9，即(5－2d)(5＋2d)＝9，解得d＝±2.若d＝2，an＝a4＋(n－4)d＝2n－3，n∈N＋；若d＝－2，an＝a4＋(n－4)d＝13－2n，n∈N＋.方法二设等差数列的公差为d，则由a1＋a4＋a7＝15，得a1＋a1＋3d＋a1＋6d＝15，即a1＋3d＝5.①由a2a4a6＝45，得(a1＋d)(a1＋3d)(a1＋5d)＝45，将①代入上式，得(5－2d)×5×(5＋2d)＝45，即(5－2d)(5＋2d)＝9，②联立①②解得a1＝－1，d＝2或a1＝11，d＝－2，即an＝－1＋2(n－1)＝2n－3，n∈N＋；或an＝11－2(n－1)＝－2n＋13，n∈N＋.1．等差数列{an}中，a1＋3a8＋a15＝120，则2a9－a10的值是()A．20B．22C．24D．－8【答案】C【解析】因为a1＋3a8＋a15＝5a8＝120，所以a8＝24，所以2a9－a10＝a10＋a8－a10＝a8＝24.故选C.2．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若S8＝4a3，a7＝－2，则a9等于()A．－6B．－4C．－2D．2【答案】A【运用套路】---纸上得来终觉浅,绝知此事要躬行【解析】S8＝8a1＋a82＝4(a3＋a6)．因为S8＝4a3，所以a6＝0.又a7＝－2，所以d＝a7－a6＝－2，所以a8＝－4，a9＝－6.故选A.3.已知数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，若a1a2a3＝10，且5S1S5＝15，则a2＝()A．2B．3C．4D．5【答案】A【解析】依题意得55a1a3＝15，a1a3＝5，a2＝10a1a3＝2.故选A.4．已知Sn表示等差数列{an}的前n项和，且S5S10＝13，那么S5S20等于()A.110B.19C.18D.13【答案】A5．已知数列{an}是等差数列，a4＝15，a7＝27，则过点P(3，a3)，Q(5，a5)的直线斜率为()A．4B.14C．－4D．－14【答案】A【解析】由数列{an}是等差数列，知an是关于n的“一次函数”，其图象是一条直线上的等间隔的点(n，an)，因此过点P(3，a3)，Q(5，a5)的直线斜率即过点(4,15)，(7,27)的直线斜率，所以直线的斜率k＝27－157－4＝4.故选A.6.等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝13，S3＝S11，当Sn最大时，n的值是()A.5B.6C.7D.8【答案】C【解析】(1)法一由S3＝S11，得a4＋a5＋…＋a11＝0，根据等差数列的性质，可得a7＋a8＝0.根据首项等于13可推知这个数列递减，从而得到a70，a80，故n＝7时Sn最大.法二由S3＝S11，可得3a1＋3d＝11a1＋55d，把a1＝13代入，得d＝－2，故Sn＝13n－n(n－1)＝－n2＋14n.根据二次函数的性质，知当n＝7时Sn最大.7．若{an}是等差数列，首项a1＞0，a2017＋a2018＞0，a2017·a2018＜0，则使前n项和Sn＞0成立的最大正整数n是()A．2017B．2018C．4034D．4035【答案】C【解析】因为a1＞0，a2017＋a2018＞0，a2017·a2018＜0，所以d＜0，a2017＞0，a2018＜0，所以S4034＝4034a1＋a40342＝4034a2017＋a20182＞0