2020年高考数学一轮复习 专题2.11 导数的概念及计算练习（含解析）

第十一讲导数的概念及计算一.函数y＝f(x)在x＝x0处的导数(1)定义：称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率0limxf（x0＋Δx）－f（x0）Δx＝0limxΔyΔx为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝0limxΔyΔx＝0limxf（x0＋Δx）－f（x0）Δx.(2)几何意义：函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))处的切线的斜率.相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0).二.函数y＝f(x)的导函数如果函数y＝f(x)在开区间(a，b)内的每一点处都有导数，其导数值在(a，b)内构成一个新函数，函3.基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝0f(x)＝xα(α∈Q*)f′(x)＝αxα－1f(x)＝sinxf′(x)＝cosxf(x)＝cosxf′(x)＝－sinxf(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝ax(a＞0)f′(x)＝axlnaf(x)＝lnxf′(x)＝1xf(x)＝logax(a＞0，a≠1)f′(x)＝1xlna三.导数的运算法则若f′(x)，g′(x)存在，则有：(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；(3)f（x）g（x）′＝f′（x）g（x）－f（x）g′（x）[g（x）]2(g(x)≠0).四.复合函数的导数【套路秘籍】---千里之行始于足下复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′.数f′(x)＝0limxf（x＋Δx）－f（x）Δx称为函数y＝f(x)在开区间内的导函数.考向一导数的概念【例1】设)(xf是可导函数，且3)2()(lim000xxxfxxfx，则)(0xf。【答案】-1【解析】由题意000000Δ0Δ0(Δ)(2Δ)(Δ)()[(2Δ)()]limlimΔΔxxfxxfxxfxxfxfxxfxxx0000Δ0Δ0(Δ)()(2Δ)()limlimΔΔxxfxxfxfxxfxxx0000Δ0Δ0(Δ)()(2Δ)()lim2limΔ2Δxxfxxfxfxxfxxx000'()2'()3'()fxfxfx=3，所以0'()fx1．【举一反三】1.设函数𝑦=𝑦(𝑦)可导，则lim△𝑦→0𝑦(1+3△𝑦)−𝑦(1)△𝑦等于。【答案】13𝑦′(1)【解析】∵函数y=f（x）可导，根据导数的定义𝑦′(1)=𝑦𝑦𝑦△𝑦→0𝑦(𝑦+△𝑦)−𝑦(𝑦)△𝑦可知13𝑦𝑦𝑦△𝑦→0𝑦(1+3△𝑦)−𝑦(1)3△𝑦=13𝑦′(1)。2．若lim𝑦𝑦→0𝑦(𝑦0+3𝑦𝑦)−𝑦(𝑦0)𝑦𝑦=1，则𝑦′(𝑦0)=。【答案】13【解析】由题得lim𝑦𝑦→0𝑦(𝑦0+3𝑦𝑦)−𝑦(𝑦0)𝑦𝑦=1，所以3lim𝑦𝑦→0𝑦(𝑦0+3𝑦𝑦)−𝑦(𝑦0)3𝑦𝑦=1，所以3𝑦′(𝑦0)=1，所以𝑦′(𝑦0)=13.考向二利用公式及运算法则求导【例2】求下列函数的导数2311(1)()yxxxx（2）（3）)11)(1(xxy2cos2sinxxxy【修炼套路】---为君聊赋《今日诗》，努力请从今日始234(21)xyx(5)sin2xyex【答案】见解析【解析】（1）,（2）先化简,，（3）先使用三角公式进行化简.3222642(21)3(21)222(4)'(21)(21)xxxxxxyxx；5'sin22cos22cos2sin2xxxyexexexx.【举一反三】1．下列求导运算正确的是（）A．(3𝑦)′=𝑦•3𝑦−1B．(2𝑦𝑦)′=2𝑦𝑦（其中e为自然对数的底数）C．(𝑦2+1𝑦)′=2𝑦+1𝑦2D．(𝑦cos𝑦)′=cos𝑦−𝑦sin𝑦cos2𝑦【答案】B【解析】分析：运算导数的加减乘除的运算法则进行计算．详解：(3𝑦)′=3𝑦ln3，(2𝑦𝑦)′=2(𝑦𝑦)′=2𝑦𝑦，(𝑦2+1𝑦)′=2𝑦−1𝑦2，(𝑦cos𝑦)′=cos𝑦+𝑦sin𝑦cos2𝑦，2311xxy.2332'xxy2121111xxxxxxy.112121212321'xxxxyxxxxxysin212cos2sin.cos211)(sin21sin21''''xxxxxy【套路总结】导数计算的原则和方法1.原则：先化简解析式，使之变成能用八个求导公式求导的函数的和、差、积、商，再求导。2.方法：①连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导；②分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；③对数形式：先化为和、差和的形式，再求导；④根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；⑤三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导。因此只有B正确．故选B．2．求下列函数的导数：（1）𝑦=√𝑦5+√𝑦7+√𝑦9√𝑦；（2）𝑦=𝑦⋅tan𝑦(3)y＝xnlgx；(4)y＝1𝑦+2𝑦2+1𝑦3；【答案】见解析【解析】（1）因为𝑦=√𝑦5+√𝑦7+√𝑦9√𝑦=𝑦2+𝑦3+𝑦4，所以𝑦′=2𝑦+3𝑦2+4𝑦3.（2）𝑦′=(𝑦⋅tan𝑦)′=(𝑦sin𝑦cos𝑦)′=(𝑦sin𝑦)′cos𝑦−𝑦sin𝑦(cos𝑦)′cos2𝑦=(sin𝑦+𝑦cos𝑦)cos𝑦+𝑦sin2𝑦cos2𝑦=sin𝑦cos𝑦+𝑦cos2𝑦。(3)y′＝nxn－1lgx＋xn·＝xn－1(nlgx＋)．(4)y′＝′＋′＋′＝(x－1)′＋(2x－2)′＋(x－3)′＝－x－2－4x－3－3x－4＝－－－.考向三复合函数求导【例3】求下列函数导数（1）y＝sin(2x＋1)(2)cos2fxxx（3）coslnyx【答案】（1）2cos(2x＋1)（2）cos22sin2xxx【解析】（1）y＝sin(2x＋1)是由函数y＝sinμ和μ＝2x＋1复合而成的，所以y′x＝y′μ·μ′x＝cosμ·(2x＋1)′＝2cosμ＝2cos(2x＋1)．（2）,fxgxhxfxgxhxgxhxcos22sin2fxxxx（3）'sinln1coslnsinlnxyxxxx【举一反三】求下列函数的导数：（1）2112yx；（2）sin()eaxby；（3）2(πsin2)3yx；（4）2()5log21yx.【解析】（1）设12yu，212ux，则1333222222211()(12)()(4)(12)(4)2(12)22xyuxuxxxxx.（2）设euy，sinuv，vaxb，则sin()ecoscos()euaxbxuvxyyuvvaaaxb.（3）设2yu，sinuv，π23vx，则2π2cos24sincos2sin22sin(4)3xuvxyyuvuvvvvx.（4）设25logyu，21ux，则210105(log)(21)ln2(21)ln2xyuxux.考向四利用导数求值【例4】（1）f(x)＝x(2019＋lnx)，若f′(x0)＝2020，则x0＝.【套路总结】求复合函数的导数的关键环节和方法步骤①中间变量的选择应是基本函数结构；②正确分析出复合过程；③一般是从最外层开始，由外及里，一层层地求导；④善于把一部分表达式作为一个整体；⑤最后结果要把中间变量换成自变量的函数.（2）下面四个图象中，有一个是函数f(x)＝13x3＋ax2＋(a2－1)·x＋1(a∈R)的导函数y＝f′(x)的图象，则f(－1)＝。【答案】（1）1（2）－13或53【解析】（1）f′(x)＝2019＋lnx＋x·1x＝2020＋lnx，由f′(x0)＝2020，得2020＋lnx0＝2020，∴x0＝1.（2）∵f′(x)＝x2＋2ax＋a2－1，∴f′(x)的图象开口向上，则②④排除．若f′(x)的图象为①，此时a＝0，f(－1)＝53；若f′(x)的图象为③，此时a2－1＝0，又对称轴为x＝－a，－a0，∴a＝－1，∴f(－1)＝－13.【举一反三】1.已知y＝f(x)是可导函数．如图，直线y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝。【答案】0【解析】∵y＝f(x)在x＝3处的切线的斜率为－13，∴f′(3)＝－13.∵g(x)＝xf(x)，∴g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，∴g′(3)＝f(3)＋3f′(3)，由题图知f(3)＝1，∴g′(3)＝1＋3×－13＝0.2．若f(x)＝x2＋2x·f′(1)，则f′(0)＝.【答案】－4【解析】∵f′(x)＝2x＋2f′(1)，∴f′(1)＝2＋2f′(1)，即f′(1)＝－2，∴f′(x)＝2x－4，∴f′(0)＝－4.3.已知函数fx的导函数为fx，且满足2elnfxxfx（其中e为自然对数的底数），则ef。【答案】1e【解析】根据题意，f（x）=2xf'（e）+lnx，其导数12efxfx（）（），令x=e，可得1e2eeff（）（），变形可得1eef（），1.若函数3'2125fxxfxx，则'(2)f。【答案】2233'22''2'125'3212'13212522'1'2322122'233fxxfxxfxxfxffffff【解析】2.已知f(x)＝12x2＋2xf′(2014)＋2014lnx，则f′(2014)＝。【答案】－2015【解析】f′(x)＝x＋2f′(2014)＋2014x，所以f′(2014)＝2014＋2f′(2014)[phone]，即f′(2014)＝－(2014＋1)＝－2015.3．已知函数f(x)＝lnx－f′(12)x2＋3x－4，则f′(1)＝________．【答案】-1【解析】根据题意，函数f(x)＝lnx－f′(12)x2＋3x－4，其导数𝑦′（𝑦）=1𝑦−2𝑦𝑦′（12）+3，令𝑦=12，𝑦′（12）=112−2×12×𝑦′（12）+3,∴𝑦′（12）=52,令𝑦=1，则𝑦′（𝑦）=11−2×1×52+3=−1.即答案为-1.4.已知函数xaxfsin)(，且2)1()1(lim0hfhfh，则a=。【答案】2【运用套路】---纸上得来终觉浅,绝知此事要躬行【解析】因为()cosfxax，又由题意，得(1)cos2faa5．设f(x)存在导函数且满足limΔx→0f(1)−f(1−2Δx)2Δx=−1，则曲线y=f(x)上的点(1,f(1))处的切线的斜率为。【答案】-1【解析】根据导数的几何意义的推导过程得到：y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为f′(1)=limΔx→0f(1)−f(1−2Δx)2Δx=−1,6．已知函数𝑦(𝑦)=(𝑦3−2𝑦)𝑦𝑦，则lim𝑦�