2020年高考数学一轮复习 专题2.9 零点定理练习（含解析）

第九讲零点定理1.函数的零点(1)函数零点的定义对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．(2)三个等价关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．(3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a0)的图象与零点的关系Δ0Δ＝0Δ0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a0)的图象与x轴的交点(x1,0)，(x2,0)(x1,0)无交点零点个数2103．一元二次方程根的分布情况设x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a，b，c∈R，且a0)的两实数根，则x1，x2的分布情况与一元二次方程的系数之间的关系如下表：(m，n，p为常数，且mnp)二、二分法（1）二分法及步骤对于在区间[,]ab上连续不断，且满足0)()(bfaf的函数()yfx，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到函数零点近似值的方法叫做二分法。（2）给定精确度，用二分法求函数的零点近似值的步骤如下：第一步：确定区间[,]ab，验证0)()(bfaf，给定精确度。第二步：求区间(,)ab的中点1x。【套路秘籍】---千里之行始于足下第三步：计算1()fx：①若1()fx=0，则1x就是函数的零点；②若1()()0fafx，则令1bx（此时零点01(,)xax）③若1()()0fxfb，则令1ax（此时零点01(,)xxb）第四步：判断是否达到精确度即若ab，则得到零点值a或b，否则重复第二至第四步。考向一零点区间【例1】判断下列函数在给定区间上是否存在零点．(1)f(x)＝x2－3x－18，x∈[1,8]；(2)f(x)＝x3－x－1，x∈[－1,2]；(3)f(x)＝log2(x＋2)－x，x∈[1,3]．【答案】见解析【解析】(1)方法一因为f(1)＝－200，f(8)＝220，所以f(1)f(8)0，故f(x)＝x2－3x－18在[1,8]上存在零点．方法二令x2－3x－18＝0，解得x＝－3或6，所以函数f(x)＝x2－3x－18在[1,8]上存在零点．(2)因为f(－1)＝－10，f(2)＝50，f(－1)f(2)0，故f(x)＝x3－x－1在[－1,2]上存在零点．(3)因为f(1)＝log2(1＋2)－1＝log23－1log22－1＝0，f(3)＝log2(3＋2)－3＝log25－3log28－3＝0，所以f(1)f(3)0，故f(x)＝log2(x＋2)－x在[1,3]上存在零点【举一反三】1.函数21fxxlogx＝－的零点所在区间是()A．11(,)42B．1(,1)2C．1,2D．2,3【答案】C【套路总结】判断函数零点所在区间的三种方法1．解方程法：当对应方程f(x)＝0易解时，可先解方程，然后再看求得的根是否落在给定区间上．2．定义法：利用函数零点的存在性定理，首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．3．图象法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断．【修炼套路】---为君聊赋《今日诗》，努力请从今日始【解析】f14＝1－14log214＝1＋12＝32＞0，f12＝1－12log212＝1＋12＝32＞0，f（1）＝1－0＝1＞0，f（2）＝1－2log22＝－1＜0，由f（1）f（2）＜0知选C．2.已知函数21()2xfxlnx＝－的零点为x0，则0x所在的区间是()A．(0，1)B．(1，2)C．(2，3)D．(3，4)【答案】C【解析】∵21()2xfxlnx＝－在(0，＋∞)上是增函数，又1111()ln1202fln＝－，0122()ln2102fln＝－，1332fln＝－．故f(x)的零点0(23)x，．3．若abc，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间()A．(a，b)和(b，c)内B．(－∞，a)和(a，b)内C．(b，c)和(c，＋∞)内D．(－∞，a)和(c，＋∞)内【答案】A【解析】∵abc，∴f(a)＝(a－b)(a－c)0，f(b)＝(b－c)(b－a)0，f(c)＝(c－a)(c－b)0，由函数零点存在性定理可知，在区间(a，b)，(b，c)内分别存在零点，又函数f(x)是二次函数，最多有两个零点．因此函数f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)，(b，c)内，故选A.4．设f(x)＝lnx＋x－2，则函数f(x)的零点所在的区间为()A．(0,1)B．(1,2)C．(2,3)D．(3,4)【答案】B【解析】解法一：函数f(x)的零点所在的区间可转化为函数g(x)＝lnx，h(x)＝－x＋2图象交点的横坐标所在的取值范围．作图如下：可知f(x)的零点所在的区间为(1,2)．故选B.解法二：易知f(x)＝lnx＋x－2在(0，＋∞)上为增函数，且f(1)＝1－2＝－10，f(2)＝ln20.所以根据函数零点存在性定理可知在区间(1,2)内函数存在零点．故选B.考向二零点个数【例2】函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数为()A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】令f(x)＝2x|log0.5x|－1＝0，得|log0.5x|＝12x.设g(x)＝|log0.5x|，h(x)＝12x，在同一坐标系下分别画出函数g(x)，h(x)的图象(如图)．由图象知，两函数的图象有两个交点，因此函数f(x)有2个零点．故选B.【举一反三】1.已知f(x)＝|lgx|，x0，2|x|，x≤0，则函数y＝2[f(x)]2－3f(x)＋1的零点个数是________.【答案】5【解析】由2[f(x)]2－3f(x)＋1＝0得f(x)＝12或f(x)＝1，作出函数y＝f(x)的图象.由图象知y＝12与y＝f(x)的图象有2个交点，y＝1与y＝f(x)的图象有3个交点.因此函数y＝2[f(x)]2－3f(x)＋1的零点有5个.2.如图，函数f(x)的图象为折线ACB，则不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是()【套路总结】函数零点个数的判断方法(1)直接求零点．(2)利用零点存在性定理再结合函数的单调性确定零点个数．(3)利用函数图象的交点个数判断．A.{x|－1x≤0}B.{x|－1≤x≤1}C.{x|－1x≤1}D.{x|－1x≤2}【答案】C【解析】令g(x)＝y＝log2(x＋1)，作出函数g(x)图象如图，由x＋y＝2，y＝log2（x＋1），得x＝1，y＝1.∴结合图象知不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集为{x|－1x≤1}.3.函数f(x)＝x2－2，x≤0，2x－6＋lnx，x0的零点个数是．【答案】2【解析】当x≤0时，令x2－2＝0，解得x＝－2(正根舍去)，所以在(－∞，0]上，f(x)有一个零点；当x0时，f′(x)＝2＋1x0恒成立，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数．又因为f(2)＝－2＋ln20，f(3)＝ln30，所以f(x)在(0，＋∞)上有一个零点，综上，函数f(x)的零点个数为2.4.函数f(x)＝|x－2|－lnx在定义域内的零点的个数为．【答案】2【解析】由题意可知f(x)的定义域为(0，＋∞)，在同一直角坐标系中画出函数y＝|x－2|(x0)，y＝lnx(x0)的图象，如图所示．由图可知函数f(x)在定义域内的零点个数为2.5.函数f(x)＝x－cosx在[0，＋∞)内零点个数为．【答案】1【解析】当x∈(]0，1时，因为f′(x)＝12x＋sinx，x0，sinx0，所以f′(x)0，故f(x)在[0,1]上单调递增，且f(0)＝－10，f(1)＝1－cos10，所以f(x)在[0,1]内有唯一零点．当x1时，f(x)＝x－cosx0，故函数f(x)在[0，＋∞)上有且仅有一个零点．考向三利用零点求参数【例3】已知函数f(x)＝2－|x|，x≤2，x－22，x2，函数g(x)＝b－f(2－x)，其中b∈R.若函数y＝f(x)－g(x)恰有4个零点，则b的取值范围是()A.74，＋∞B.－∞，74C.0，74D.74，2【答案】D【解析】由y＝f(x)－g(x)＝0得f(x)＋f(2－x)＝b，设F(x)＝f(x)＋f(2－x)，则F(2－x)＝f(2－x)＋f(x)，所以F(2－x)＝F(x)，F(x)关于直线x＝1对称．当0x≤1时，F(x)＝f(x)＋f(2－x)＝2－x＋2－(2－x)＝2；当x≤0时，F(x)＝f(x)＋f(2－x)＝2＋x＋(2－x－2)2＝x2＋x＋2＝x＋122＋74，作出函数F(x)的图象如图所示，由图象可知，当F(x)＝b有4个零点时74b2，故选D.【举一反三】1.已知函数f(x)满足f(x)＝f1x，当x∈[1,3]时，f(x)＝lnx，若在区间13，3内，曲线g(x)＝f(x)－ax【套路总结】1.已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围常用的方法（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．2.在求和函数零点有关的参数范围问题中，一般有两种思路：(1)函数零点个数可转化为两个函数图象的交点个数，利用数形结合求解参数范围．(2)“a＝f(x)有解”型问题，可以通过求函数y＝f(x)的值域解决．与x轴有三个不同的交点，则实数a的取值范围是()A.0，1eB.0，12eC.ln33，1eD.ln33，12e【答案】C【解析】当x∈13，1时，1x∈[1,3]，f(x)＝f1x＝－lnx，所以f(x)＝lnx，x∈[1，3]，－lnx，x∈13，1，作出其图象，如图所示．设x∈[1,3]时，直线y＝ax与y＝lnx的图象相切，其切点为(x0，y0)，则1x0＝a，所以x0＝1a，所以y0＝1，所以1＝ln1a，所以a＝1e.又点(3，ln3)与原点连线的斜率为ln33，可知曲线g(x)＝f(x)－ax与x轴有三个不同的交点，则实数a的取值范围是ln33，1e.故选C.2.已知函数f(x)＝2x＋x＋1，g(x)＝log2x＋x＋1，h(x)＝log2x－1的零点依次为a，b，c，则()A．abcB．acbC．bcaD．bac【答案】A【解析】作出y＝2x，y＝log2x，y＝－x－1的图象，如图．令函数f(x)＝2x＋x＋1＝0，可知x0，即a0；令g(x)＝log2x＋x＋1＝0，则0x1，即0b1；令h(x)＝log2x－1＝0，可知x＝2，即c＝2，显然abc.故选A.【运用套路】---纸上得来终觉浅,绝知此事要躬行1．下列图像表示的函数中能用二分法求零点的是()【答案】C【解析】A中函数没有零点，因此不能用二分法求零点；B中函数的图像不连续；D中函数在x轴下方没有图像，故选C．2.已知23xfxxxx，则yfx的零点个数是（）A．4B．3C