2020年高考数学一轮复习 专题2.4 函数的周期性、对称性练习（含解析）

第四讲函数的周期性与对称性一．对称性（一）对称轴1.概念：如果一个函数的图像沿着一条直线对折，直线两侧的图像能够完全重合，则称函数具备对称性中的轴对称，该直线称为函数的对称轴。2.常见函数的对称轴①常数函数：既是轴对称又是中心对称，其中直线上的所有点均为它的对称中心，与该直线相垂直的直线均为它的对称轴②一次函数：既是轴对称又是中心对称，其中直线上的所有点均为它的对称中心，与该直线相垂直的直线均为它的对称轴③二次函数：是轴对称，不是中心对称，其对称轴方程为x=-b/(2a)④反比例函数：既是轴对称又是中心对称，其中原点为它的对称中心，y=x与y=-x均为它的对称轴⑤指数函数：既不是轴对称，也不是中心对称⑥对数函数：既不是轴对称，也不是中心对称⑦幂函数：显然幂函数中的奇函数是中心对称，对称中心是原点；幂函数中的偶函数是轴对称，对称轴是y轴；而其他的幂函数不具备对称性⑧正弦函数：既是轴对称又是中心对称，其中（kπ，0）是它的对称中心，x=kπ+π/2是它的对称轴⑨正弦型函数：正弦型函数y=Asin(ωx+φ)既是轴对称又是中心对称，只需从ωx+φ=kπ中解出x，就是它的对称中心的横坐标，纵坐标当然为零；只需从ωx+φ=kπ+π/2中解出x，就是它的对称轴；需要注意的是如果图像向上向下平移，对称轴不会改变，但对称中心的纵坐标会跟着变化⑩余弦函数：既是轴对称又是中心对称，其中x=kπ是它的对称轴，（kπ+π/2，0）是它的对称中心⑾正切函数：不是轴对称，但是是中心对称，其中（kπ/2，0）是它的对称中心，容易犯错误的是可能有的同学会误以为对称中心只是（kπ,0）⑿对号函数：对号函数y=x+a/x(其中a0)因为是奇函数所以是中心对称，原点是它的对称中心。⒀三次函数：显然三次函数中的奇函数是中心对称，对称中心是原点，而其他的三次函数是否具备对称性得因题而异。⒁绝对值函数：这里主要说的是y=f(│x│)和y=│f(x)│两类。前者显然是偶函数，它会关于y轴对称;后者是把x轴下方的图像对称到x轴的上方，是否仍然具备对称性，这也没有一定的结论，例如y=│lnx│就没有对称性，而y=│sinx│却仍然是轴对称【套路秘籍】---千里之行始于足下（二）中心对称1.概念：如果一个函数的图像沿一个点旋转180度，所得的图像能与原函数图像完全重合，则称该函数具备对称性中的中心对称，该点称为该函数的对称中心2.对称性的三个常用结论(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a－x)＝f(a＋x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称；(2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称；(3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，即f(－x＋b)＋f(x＋b)＝0，则函数y＝f(x)关于点(b,0)中心对称．二、．周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．考向一周期性【例1】（1）若函数f(x)(x∈R)是周期为4的奇函数，且在[0,2]上的解析式为f(x)＝x1－x，0≤x≤1，sinπx，1x≤2，则f294＋f416＝________.（2）已知定义在R上的函数f(x)满足f(2)＝2－3，且对任意的x都有f(x＋2)＝1－fx，则f(2020)＝________.（3）已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋4)＝f(x－2)．若当x∈[－3,0]时，f(x)＝6－x，则f(919)＝________【答案】（1）516（2）－2－3（3）6【解析】（1）由于函数f(x)是周期为4的奇函数，所以f294＋f416＝f2×4－34＋f2×4－76＝f－34＋f－76＝－f34－f76＝－316＋sinπ6＝516.（2）由f(x＋2)＝1－fx，得f(x＋4)＝1－fx＋2＝f(x)，所以函数f(x)的周期为4，所以f(2020)＝【修炼套路】---为君聊赋《今日诗》，努力请从今日始f(4)．因为f(2＋2)＝1－f2，所以f(4)＝－1f2＝－12－3＝－2－3.故f(2020)＝－2－3.（3）∵f(x＋4)＝f(x－2)，∴f((x＋2)＋4)＝f((x＋2)－2)，即f(x＋6)＝f(x)，∴f(x)是周期为6的周期函数，∴f(919)＝f(153×6＋1)＝f(1)．又f(x)是定义在R上的偶函数，∴f(1)＝f(－1)＝6，即f(919)＝6.【举一反三】1．设定义在R上的函数f(x)同时满足以下条件：①f(x)＋f(－x)＝0；②f(x)＝f(x＋2)；③当0≤x1时，f(x)＝2x－1，则f12＋f(1)＋f32＋f(2)＋f52＝________.【答案】2－1【解析】依题意知：函数f(x)为奇函数且周期为2，则f(1)＋f(－1)＝0，f(－1)＝f(1)，即f(1)＝0.∴f12＋f(1)＋f32＋f(2)＋f52＝f12＋0＋f－12＋f(0)＋f12＝f12－f12＋f(0)＋f12＝f12＋f(0)＝122－1＋20－1＝2－1.【套路总结】函数周期的常见结论设函数y＝f(x)，x∈R，a0.(1)若f(x＋a)＝f(x－a)，则函数的周期为2a；(2)若f(x＋a)＝－f(x)，则函数的周期为2a；(3)若f(x＋a)＝1fx，则函数的周期为2a；(4)若f(x＋a)＝－1fx，则函数的周期为2a；(5)若函数f(x)关于直线x＝a与x＝b对称，那么函数f(x)的周期为2|b－a|；(6)若函数f(x)关于点(a,0)对称，又关于点(b,0)对称，则函数f(x)的周期是2|b－a|；(7)若函数f(x)关于直线x＝a对称，又关于点(b,0)对称，则函数f(x)的周期是4|b－a|；(8)若函数f(x)是偶函数，其图象关于直线x＝a对称，则其周期为2a；(9)若函数f(x)是奇函数，其图象关于直线x＝a对称，则其周期为4a.2.已知函数f(x)的定义域为R.当x0时，f(x)＝x3－1；当－1≤x≤1时，f(－x)＝－f(x)；当x12时，fx＋12＝fx－12.则f(6)＝()A.－2B.－1C.0D.2【答案】D【解析】当x12时，由f(x＋12)＝f(x－12)，得f(x)＝f(x＋1)，∴f(6)＝f(1)，又由题意知f(1)＝－f(－1)，且f(－1)＝(－1)3－1＝－2.因此f(6)＝－f(－1)＝2.答案D3．定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x)，当－3≤x－1时，f(x)＝－(x＋2)2；当－1≤x3时，f(x)＝x.则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2018)等于()A．336B．339C．1678D．2012【答案】B【解析】∵f(x＋6)＝f(x)，∴函数f(x)的周期T＝6.∵当－3≤x－1时，f(x)＝－(x＋2)2；当－1≤x3时，f(x)＝x，∴f(1)＝1，f(2)＝2，f(3)＝f(－3)＝－1，f(4)＝f(－2)＝0，f(5)＝f(－1)＝－1，f(6)＝f(0)＝0，∴f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝1.∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2015)＋f(2016)＝1×20166＝336.又f(2017)＝f(1)＝1，f(2018)＝f(2)＝2，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2018)＝339.故选B.4.设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[－1，1]上，f(x)＝ax＋1，－1≤x0，bx＋2x＋1，0≤x≤1，其中a，b∈R.若f12＝f32，则a＋3b的值为________．【答案】－10【解析】因为f(x)是定义在R上且周期为2的函数，所以f32＝f－12且f(－1)＝f(1)，故f12＝f－12，从而12b＋212＋1＝－12a＋1，即3a＋2b＝－2.①由f(－1)＝f(1)，得－a＋1＝b＋22，即b＝－2a.②由①②得a＝2，b＝－4，从而a＋3b＝－10.考向二对称性【例2】（1）已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+6)=f(x),且y=f(x+3)为偶函数，若f(x)在(0,3)内单调递减，则下面结论正确的是（）A．f(−4.5)𝑓(3.5)𝑓(12.5)B．f(3.5)𝑓(−4.5)𝑓(12.5)C．f(12.5)𝑓(3.5)𝑓(−4.5)D．f(3.5)𝑓(12.5)𝑓(−4.5)（2）已知函数f(x)满足f(1−x)=f(1+x)，当(−∞,1]时，函数f(x)单调递减，设a=f(log412),b=f(log133),c=f(log39)，则a,b,c的大小关系是（）A．a𝑓𝑓B．c𝑓𝑓C．a𝑓𝑓D．c𝑓𝑓（3）已知函数f(x−1)(x∈R)是偶函数，且函数f(x)的图象关于点(1,0)成中心对称，当x∈[−1,1]时，f(x)=x−1，则f(2019)=()A．−2B．−1C．0D．2【答案】（1）B（2）B（3）D【解析】（1）由f(x+6)=f(x)，可得T=6，又y=f(x+3)为偶函数，f(x)的图像关于x=3对称，所以f(3.5)=f(2.5)f(−4.5)=f(1.5)，f(12.5)=f(0.5).又f(x)在(0,3)内单调递减∴f(3.5)𝑓(−4.5)𝑓(12.5).故选B.（2）根据题意，函数f(x)满足f(1−x)=f(1+x)，则函数f(x)关于直线x=1对称，又由当(−∞,1]时，函数f(x)单调递减，则函数在[1,+∞)上单调递增，又由a=f(log412)=f(−log42)=f(−12)=f(52)，b=f(log133)=f(−1)=f(3)，c=f(log39)=f(2)，则有c𝑓𝑓，故选B.（3）根据题意，函数f(x−1)(x∈R)是偶函数，则函数f(x)的对称轴为x=−1，则有f(x)=f(−2−x)，又由函数f(x)的图象关于点(1,0)成中心对称，则f(x)=−f(2−x)，则有f(−2−x)=−f(2−x)，即f(x+4)=−f(x)，变形可得f(x+8)=f(x)，则函数是周期为8的周期函数，f(2019)=f(3+252×8)=f(3)=−f(−1)=−(−1−1)=2；故选D．【举一反三】1．设函数f(x)的定义域为[0,4]，若f(x)在[0,2]上单调递减，且f(x+2)为偶函数，则下列结论正确的是A．f(e)𝑓(√5)𝑓(1)B．f(1)𝑓(√5)𝑓(𝑓)C．f(√5)𝑓(𝑓)𝑓(1)D．f(√5)𝑓(1)𝑓(𝑓)【答案】C【解析】f(x+2)为偶函数，则f(x+2)=f(−x+2)，函数图像关于直线x=2对称，f(x)在[0,2]上单调递减，则f(x)在[2,4]上单调递增，由对称性可得f(1)=f(3)，由于√5𝑓3，故f(√5)𝑓(e)𝑓(3)，即f(√5)𝑓(𝑓)𝑓(1).本题选择C选项.2．定义在R上的函数y=f(x)满足以下三个条件：①对于任意的x∈R，都有f(x+1)=f(x−1)；【套路总结】一．对称轴常见类型1.()()()2abfxafbxyfxx图像关于直线对称2.)()(xafxa