2020年高考数学一轮复习 专题2.3 函数的奇偶性练习（含解析）

第三讲函数的奇偶性函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数关于y轴对称奇函数一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数关于原点对称考向一奇偶性的判断【例1】判断下列函数的奇偶性：（1）f(x)＝(1－x)1＋x1－x；(2)f(x)＝－x2＋2x＋1，x0，x2＋2x－1，x0；(3)f(x)＝4－x2|x＋3|－3.（4）f(x)＝3－x2＋x2－3；【答案】见解析【解析】(1)当且仅当1＋x1－x≥0时函数有意义，所以－1≤x1，由于定义域关于原点不对称，所以函数f(x)是非奇非偶函数．(2)函数的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，当x0时，－x0，f(－x)＝x2－2x－1＝－f(x)，当x0时，－x0，f(－x)＝－x2－2x＋1＝－f(x)．所以f(－x)＝－f(x)，即函数f(x)是奇函数．(3)解法一：因为4－x2≥0，|x＋3|≠3⇒－2≤x≤2且x≠0，所以函数的定义域关于原点对称．所以f(x)＝4－x2x＋3－3＝4－x2x，又f(－x)＝4－－x2－x＝－4－x2x，所以f(－x)＝－f(x)，即函数f(x)是奇函数．解法二：求得函数f(x)的定义域为[－2,0)∪(0,2]．化简函数f(x)，可得f(x)＝4－x2x，由y1＝x是奇函数，y2＝4－x2是偶函数，可得f(x)＝4－x2x为奇函数．【修炼套路】---为君聊赋《今日诗》，努力请从今日始【套路秘籍】---千里之行始于足下（4）由3－x2≥0，x2－3≥0，得x2＝3，解得x＝±3，即函数f(x)的定义域为{－3，3}，从而f(x)＝3－x2＋x2－3＝0.因此f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)，∴函数f(x)既是奇函数又是偶函数.【举一反三】1.判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝36－x2＋x2－36；(2)f(x)＝ln1－x2|x－2|－2；(3)f(x)＝x2＋x，x0，－x2＋x，x0.【答案】见解析【解析】(1)由36－x2≥0，x2－36≥0，得x2＝36，解得x＝±6，即函数f(x)的定义域为{－6,6}，关于原点对称，∴f(x)＝36－x2＋x2－36＝0.∴f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)，∴函数f(x)既是奇函数又是偶函数．【套路总结】一、判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系．在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数)是否成立．二、判断函数奇偶性的方法1．定义法：利用奇、偶函数的定义或定义的等价形式：f－xfx＝±1(f(x)≠0)判断函数的奇偶性．2．图象法：利用函数图象的对称性判断函数的奇偶性．3．验证法：即判断f(x)±f(－x)是否为0.4．性质法：设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上，有下面结论：(2)由1－x20，|x－2|≠2，得定义域为(－1,0)∪(0,1)，关于原点对称．∴x－20，∴|x－2|－2＝－x，∴f(x)＝ln1－x2－x.又∵f(－x)＝ln[1－－x2]x＝ln1－x2x＝－f(x)，∴函数f(x)为奇函数．(3)显然函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．∵当x0时，－x0，则f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f(x)；当x0时，－x0，则f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x)；综上可知，对于定义域内的任意x，总有f(－x)＝－f(x)，∴函数f(x)为奇函数．2.下列函数中，既不是奇函数也不是偶函数的是________．(填序号)①f(x)＝x＋sin2x;②f(x)＝x2－cosx；③f(x)＝3x－13x；④f(x)＝x2＋tanx.【答案】④【解析】对于①，函数的定义域为R，f(－x)＝－x＋sin2(－x)＝－(x＋sin2x)＝－f(x)，所以f(x)＝x＋sin2x为奇函数；对于②，函数的定义域为R，f(－x)＝(－x)2－cos(－x)＝x2－cosx＝f(x)，所以f(x)＝x2－cosx为偶函数；对于③，函数的定义域为R，f(－x)＝3－x－13－x＝－3x－13x＝－f(x)，所以f(x)＝3x－13x为奇函数；对于④，f(x)＝x2＋tanx既不是奇函数也不是偶函数．考向二奇偶性运用一---求解析式【例2】（1）已知f(x)为偶函数，当x≤0时，f(x)＝e－x－1－x，则f(x)＝________.（2）已知函数𝑓(𝑓)是定义在(−∞   ,   +∞)上的奇函数，当𝑓∈[0   ,   +∞)时，𝑓(𝑓)=𝑓2−4𝑓，则当𝑓∈(−∞   ,   0)时，𝑓(𝑓)=______.【答案】（1）e－x－1－x，x≤0，ex－1＋x，x0（2）−𝑓2−4𝑓【解析】（1）∵当x0时，－x0，∴f(x)＝f(－x)＝ex－1＋x，∴f(x)＝e－x－1－x，x≤0，ex－1＋x，x0.（2）当x∈(−∞   ,   0)时，−x∈(0   ,   +∞)),由奇函数可得f(x)=−f(−x)=−[(−x)2−4(−x)]=−x2−4x.故答案为−x2−4x【举一反三】1．已知函数𝑓(𝑓)是奇函数，当𝑓0时𝑓(𝑓)=2𝑓−1𝑓，则𝑓(−1)=______．【答案】−1【解析】∵函数𝑓(𝑓)是奇函数，∴𝑓(−1)=−𝑓(1)=−(2−1)=−1，故答案为：−1．2.已知函数𝑓(𝑓)是定义在( −∞,  +∞ )上的偶函数.当𝑓∈( −∞,  0 )时，𝑓(𝑓)=𝑓−𝑓4，则当𝑓∈( 0,  +∞ )时，𝑓(𝑓)=_________________.【答案】−𝑓−𝑓4【解析】设x∈（0，+∞），则﹣x∈（﹣∞，0），∵当x∈（﹣∞，0）时，f（x）＝x﹣x4，∴f（﹣x）＝﹣x﹣x4，又∵f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的偶函数，∴f（x）＝f（﹣x）＝﹣x﹣x4，故答案为：−𝑓−𝑓4．3．已知𝑓(𝑓)是偶函数，当𝑓0时，𝑓(𝑓)=𝑓(𝑓+1)，则当𝑓0时，𝑓(𝑓)=。【答案】𝑓(𝑓−1)【解析】设𝑓0，则−𝑓0，故𝑓(𝑓)=𝑓(−𝑓)=(−𝑓)(−𝑓+1)=𝑓(𝑓−1).考向三奇偶性运用二--求值【例3】已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝()A．－3B．－1C．1D．3【答案】C【解析】∵f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，∴f(－x)－g(－x)＝－x3＋x2＋1，又由题意可知f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，∴f(x)＋g(x)＝－x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝1.故选C【举一反三】1．已知𝑓(𝑓)，𝑓(𝑓)分别是定义在𝑓上的偶函数和奇函数，且𝑓(𝑓)−𝑓(𝑓)=2𝑓+𝑓2+1，则𝑓(1)+𝑓(1)=。【答案】52【解析】因为𝑓(𝑓)是偶函数，𝑓(𝑓)是奇函数，所以𝑓(𝑓)=𝑓(−𝑓)，−𝑓(𝑓)=𝑓(−𝑓)，因为𝑓(−1)−𝑓(−1)=2−1+(−1)2+1=52，𝑓(−1)=𝑓(1)，−𝑓(−1)=𝑓(1)所以𝑓(1)+𝑓(1)=𝑓(−1)−𝑓(−1)=52，。2.．已知函数𝑓(𝑓)=log2(√1+𝑓2−𝑓)+2，𝑓(𝑓)=4则f(−𝑓)的值。【答案】0【解析】∵𝑓(𝑓)+𝑓(−𝑓)=log2(√1+𝑓2−𝑓)+log2(√1+𝑓2+𝑓)+4=4,∴𝑓(𝑓)+𝑓(−𝑓)=4,𝑓(−𝑓)=4−𝑓(𝑓)=0.3．设f（x）是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f（x）=2x2-x，则f（1）=。【答案】-3【解析】∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（-x）=-f（x），又当x≤0时，f（x）=2x2-x，∴f（-1）=3，∴f（1）=-f（-1）=-3，考向四奇偶性运用二---求参数【例4】（1）函数f(x)＝x＋2x＋ax是奇函数，则实数a＝________.(2)若函数f(x)＝xln(x＋a＋x2)为偶函数，则a＝__________.(3)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x0时，f(x)＝－x2＋ax－1－a，若函数f(x)为R上的减函数，则a的取值范围是____________．（4）已知函数𝑓(𝑓)=𝑓3+𝑓𝑓2+𝑓是定义在[−1+𝑓,2𝑓+7]上的奇函数，则𝑓+𝑓=_________.【答案】（1）－2（2）1（3）[－1,0]（4）-2【解析】（1）解法一：函数的定义域为{x|x≠0}，f(x)＝x2＋a＋2x＋2ax＝x＋2ax＋a＋2.因函数f(x)是奇函数，则f(－x)＝－f(x)，即－x－2ax＋a＋2＝－x＋2ax＋a＋2＝－x－2ax－(a＋2)，则a＋2＝－(a＋2)，即a＋2＝0，则a＝－2.解法二：由题意知f(1)＝－f(－1)，即3(a＋1)＝a－1，得a＝－2，将a＝－2代入f(x)的解析式，得f(x)＝x＋2x－2x，经检验，对任意x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都满足f(－x)＝－f(x)，故a＝－2.（2）∵f(－x)＝f(x)，∴－xln(a＋x2－x)＝xln(x＋a＋x2)，∴ln[(a＋x2)2－x2]＝0.∴lna＝0，∴a＝1.(3)因为函数f(x)是R上的奇函数，所以f(0)＝0，若函数f(x)为R上的减函数，则满足当x0时，函数为减函数，且－1－a≤0，此时－a－2＝a2≤0，－1－a≤0，即a≤0，a≥－1，即－1≤a≤0.（4）由题意得，{𝑓=0−1+𝑓+2𝑓+7=0，解得{𝑓=0𝑓=−2，∴𝑓+𝑓=−2.故答案为：−2【举一反三】1.若f(x)＝ln(e3x＋1)＋ax是偶函数，则a＝________.【答案】－32【解析】函数f(x)＝ln(e3x＋1)＋ax是偶函数，故f(－x)＝f(x)，即ln(e－3x＋1)－ax＝ln(e3x＋1)＋ax，化简得ln1＋e3xe3x＋e6x＝2ax＝lne2ax，即1＋e3xe3x＋e6x＝e2ax，整理得e3x＋1＝e2ax＋3x(e3x＋1)，所以2ax＋3x＝0恒成立，所以a＝－32.2．若函数𝑓(𝑓)=log3(9𝑓+1)+𝑓𝑓（𝑓∈𝑓）为偶函数，则𝑓的值为________【答案】−1【解析】根据题意，函数𝑓(𝑓)=𝑓𝑓𝑓3(9𝑓+1)+𝑓𝑓（k∈R）为偶函数，则有f（﹣x）＝f（x），即log3（9x+1）+kx＝log3（9﹣x+1）+k（﹣x），变形可得：2kx＝log3（9﹣x+1）﹣log3（9x+1）＝﹣2x，则有k＝﹣1；故答案为：﹣13．已知𝑓(𝑓)=(𝑓−1)𝑓3+𝑓𝑓2是定义在[𝑓，2+𝑓]上的偶函数，则a+b等于______．【答案】0【解析】根据题意，已知f（x）=（a-1）x3+bx2是定义在[b，2+b]上的偶函数，有b+2+b=0，解可得b=-1，则f（x）=（a-1）x3-x2，若f（x）为[-1，1]上的偶函数，则有f（-x）=f（x），即（a-1）（-x）3-（-x）2=（a-1）x3-x2，分析可得：a=1，则a+b=0；故答案为：0．考向五单调性与奇偶性综合运用【例4】(1)已知