2020年八年级数学下学期开学摸底考（A卷） 北师大版

2020年开学摸底考八年级数学（北师大版A卷）一、选择题（本题共计6小题，每题3分，共计18分）1.下列不等式的变形正确的是（）A．若ambm，则abB．若am2bm2，则abC．若ab，则am2bm2D．若ab且ab0，则ba11【答案】B2.如图，△ABC中，AC=AD=BD,∠DAC=80°，则∠B的度数是（）A．20°B．25°C．35°D．40°【答案】B3.如图，将周长为8的△ABC沿BC方向平移1个单位得到△DEF，则四边形ABFD的周长是（）A．8B．10C．12D．14【答案】B4.如图，等腰△ABC中，AB=AC,∠A=36°．用尺规作图作出线段BD，则下列结论错误的是（）A．AD=BDB．∠DBC=36°C．S△ABD=S△BCDD．△ABC的周长=AB+BC【答案】C5.如图，△ABC中，AB=AC=10，BC=8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为（）A．20B．12C．14D．13【答案】C6.若不等式组mxxx632无解，那么m的取值范围是()A．m2B．m2C．2mD．2m【答案】D二、填空题（本题共计6小题，每题3分，共计18分）7.如图，BE,CD是△ABC的高，且BD=EC，判定△BCD≌△CBE的依据是“________”．【答案】HL8.一次函数y=kx+b的图象如图所示，若当kx+b0时，则x的取值范围为________．【答案】x19.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，连接BE，则∠CBE的度数为________°．【答案】3010.在如图所示的方格纸（1格长为1个单位长度）中，△ABC的顶点都在格点上，将△ABC绕点O按顺时针方向旋转得到△A'B'C'，使各顶点仍在格点上，则其旋转角的度数是________．【答案】90°11.如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转90°后，得到矩形AB'C'D'，如果CD=3DA=3，那么CC'=________．【答案】5212.对于x，符号[x]表示不大于x的最大整数．如：[3.14]=3,[-7.59]=-8，则满足关系式4773x的x的整数值有.【答案】7,8,9.三、解答题（本题共计11小题，共计84分）13.（6分）解下列不等式组xxxx5)1(36172；并把解集在数轴上表示．【答案】解：{2𝑥+71−𝑥…6−3(1−𝑥)5𝑥…，由①得：𝑥−2由②得：𝑥32∴不等式的解是−2𝑥32．数轴表示正确14.（6分）如图，在△ABC中，AB=AC，AE⊥AB于A，∠BAC=120°，AE=3cm．求BC的长．【答案】解：过点𝑥作𝑥𝑥⊥𝑥𝑥交𝑥𝑥于𝑥，∵𝑥𝑥=𝑥𝑥，∠𝑥𝑥𝑥=120∘，∴∠𝑥=∠𝑥=30∘，𝑥𝑥=2𝑥𝑥.在𝑥𝑥△𝑥𝑥𝑥中，𝑥𝑥=2𝑥𝑥=6cm，𝑥𝑥=√𝑥𝑥2−𝑥𝑥2=√62−32=3√3.在𝑥𝑥△𝑥𝑥𝑥中，𝑥𝑥=12𝑥𝑥=3√32，𝑥𝑥=√𝑥𝑥2−𝑥𝑥2=√(3√3)2−(3√32)2=92.∴𝑥𝑥=2𝑥𝑥=2×92=9．15.（6分）某批服装进价为每件200元，商店标价为每件300元．现商店准备将这批服装打折出售，但要保证毛利润不低于8%，商店最低可按标价的几折出售？（通过列不等式进行解答）【答案】商店最低可按标价的7.2折出售16.(6分)如图，在平面直角坐标系中，𝑥𝑥△𝑥𝑥𝑥的三个顶点分别是𝑥(−4, 2)，𝑥(0, 4)，𝑥(0, 2).(1)画出△𝑥𝑥𝑥关于点𝑥成中心对称的△𝑥1𝑥1𝑥；平移△𝑥𝑥𝑥，若点𝑥的对应点𝑥2的坐标为(0, −4)，画出平移后对应的△𝑥2𝑥2𝑥2；(2)△𝑥1𝑥1𝑥和△𝑥2𝑥2𝑥2关于某一点成中心对称，则对称中心的坐标为________．【答案】(1)根据网格结构找出点𝑥，𝑥关于点𝑥成中心对称的点𝑥1，𝑥1的位置，再与点𝑥顺次连接即可；根据网格结构找出点𝑥，𝑥，𝑥平移后的对应点𝑥2，𝑥2，𝑥2的位置，然后顺次连接即可；如图所示；(2)(2, −1)17.（6分）已知：如图，△𝑥𝑥𝑥中，𝑥𝑥，𝑥𝑥分别是∠𝑥𝑥𝑥和∠𝑥𝑥𝑥的平分线，过𝑥点的直线分别交𝑥𝑥、𝑥𝑥于点𝑥、𝑥，且𝑥𝑥 // 𝑥C．若𝑥𝑥=6cm，𝑥𝑥=8cm，求△𝑥𝑥𝑥的周长.【答案】解：∵𝑥𝑥 // 𝑥𝑥∴∠𝑥𝑥𝑥=∠𝑥𝑥𝑥，又∵𝑥𝑥是∠𝑥𝑥𝑥的角平分线，∴∠𝑥𝑥𝑥=∠𝑥𝑥𝑥，∴∠𝑥𝑥𝑥=∠𝑥𝑥𝑥，∴𝑥𝑥=𝑥𝑥，同理：𝑥𝑥=𝑥𝑥，∴△𝑥𝑥𝑥的周长=𝑥𝑥+𝑥𝑥+𝑥𝑥+𝑥𝑥=𝑥𝑥+𝑥𝑥+𝑥𝑥+𝑥𝑥=𝑥𝑥+𝑥𝑥=14cm．18.（8分）是否存在这样的整数𝑥，使得关于𝑥，𝑥的方程组{𝑥+𝑥=2𝑥+12𝑥−𝑥=𝑥−4的解满足𝑥0且𝑥0？若存在，求出整数𝑥；若不存在，请说明理由．【答案】解方程组{𝑥+𝑥=2𝑥+12𝑥−𝑥=𝑥−4得：{𝑥=𝑥−1𝑥=𝑥+2，根据题意，得：{𝑥−10𝑥+20，解得：−2𝑥1，则整数𝑥为−1，0．19.(8分)某商店欲购进𝑥、𝑥两种商品，已知购进𝑥种商品3件和𝑥种商品4件共需220元；若购进𝑥种商品5件和𝑥种商品2件共需250元．（1）求𝑥、𝑥两种商品每件的进价分别是多少元？（2）若每件𝑥种商品售价48元，每件𝑥种商品售价31元，且商店将购进𝑥、𝑥两种商品共50件全部售出后，要获得的利润不少于360元，问𝑥种商品至少购进多少件？【答案】(1)𝑥种商品每件的进价为40元，𝑥种商品每件的进价为25元(2)𝑥种商品至少购进30件20.(8分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，E为AB边的中点，以BE为边作等边△BDE，连结AD，CD．（1）求证：△ADE≌△CDB;（2）若BC=3，在AC边上找一点H，使得BH+EH最小，并求出这个最小值．【答案】（1）证明：在𝑥𝑥△𝑥𝑥𝑥中，∠𝑥𝑥𝑥=30∘，𝑥为𝑥𝑥边的中点，∴𝑥𝑥=𝑥𝑥，∠𝑥𝑥𝑥=60∘．∵△𝑥𝑥𝑥为等边三角形，∴𝑥𝑥=𝑥𝑥，∠𝑥𝑥𝑥=∠𝑥𝑥𝑥=60∘，∴∠𝑥𝑥𝑥=120∘，∠𝑥𝑥𝑥=120∘，∴∠𝑥𝑥𝑥=∠𝑥𝑥𝑥，∴△𝑥𝑥𝑥≅△𝑥𝑥𝑥(𝑥𝑥𝑥)．（2）解：如解图，作点𝑥关于直线𝑥𝑥对称点𝑥′，连结𝑥𝑥′交𝑥𝑥于点𝑥．则点𝑥即为符合条件的点，连结𝑥𝑥′．由作图可知：𝑥𝑥+𝑥𝑥=𝑥𝑥′，𝑥𝑥′=𝑥𝑥，∠𝑥′𝑥𝑥=∠𝑥𝑥𝑥=30∘．∴∠𝑥𝑥𝑥′=60∘，∴△𝑥𝑥𝑥′为等边三角形，∴𝑥𝑥′=𝑥𝑥=12𝑥𝑥，∴∠𝑥𝑥′𝑥=90∘，在𝑥𝑥△𝑥𝑥𝑥中，∠𝑥𝑥𝑥=30∘，𝑥𝑥=√3，∴𝑥𝑥=2√3，𝑥𝑥′=𝑥𝑥=√3，∴在𝑥𝑥△𝑥𝑥𝑥′中，由勾股定理得𝑥𝑥′=√𝑥𝑥2−𝑥𝑥′2=3，∴𝑥𝑥+𝑥𝑥的最小值为3．21.(9分)如图在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(-3,5),B(-2,1),C(-1,3).（1）若△𝑥𝑥𝑥经过平移后得到△A1B1C1，已知点C1坐标为(4,0)，画出△A1B1C1并写出顶点A1,B1的坐标；（2）将△ABC绕着点O按逆时针方向旋转90°得到△A2B2C2，画出△A2B2C2．（3）求出△A2B2C2的面积.【答案】(1)如图所示，△𝑥1𝑥1𝑥1即为所求，其中𝑥1的坐标为(2, 2)，𝑥1的坐标为(3, −2)．(2)如图所示，△𝑥2𝑥2𝑥2即为所求．(3)△𝑥2𝑥2𝑥2的面积＝2×4−12×2×2−12×1×2−12×1×4＝3．22.(9分)某甜品店用A,B两种原料制作成甲、乙两款甜品进行销售，制作每份甜品的原料所需用量如表所示．该店制作甲款甜品x份，乙款甜品y份，共用去A原料2000克．原料款式A原料（克）B原料（克）甲款甜品3015乙款甜品1020（1）求y关于x的函数表达式．（2）已知每份甲甜品的利润为a元（a正整数），每份乙甜品的利润为2元．假设两款甜品均能全部卖出．①当a=3时，若获得总利润不少于220元，则至少要用去B原料多少克？②现有B原料3100克，要使获利为450元且尽量不浪费原材料，甲甜品的每份利润应定为多少元？【答案】(1)由题可得，30𝑥+10𝑥＝2000，即𝑥＝200−3𝑥故𝑥关于𝑥的函数表达式为𝑥＝200−3𝑥(2)①由题意：3𝑥+2𝑥≥220，而由（1）可知3𝑥＝200−𝑥代入可得：200−𝑥+2𝑥≥220∴𝑥≥20设𝑥原料的用量为𝑥，则𝑥＝15𝑥+20𝑥，即𝑥＝15𝑥+1000∵𝑥＝15，𝑥随𝑥的增大而增大∴当𝑥取最小值20时，可得𝑥的最小值为15×20+1000＝1300故若获得总利润不少于220元，则至少要用去𝑥原料1300克．②由题意：15𝑥+20𝑥≤3100即：15𝑥+20(200−3𝑥)≤3100，解得𝑥≥20又∵𝑥𝑥+2𝑥＝450即：𝑥𝑥+2(200−3𝑥)＝450，𝑥＝6+50𝑥，而𝑥，𝑥均为正整数且𝑥≥20，于是可得𝑥＝50，𝑥＝7或𝑥＝25，𝑥＝8当𝑥＝50时，需要𝑥原料1750；当𝑥＝25时，需要𝑥原料2875，为了尽量不浪费原材料，𝑥应取8．故在设定条件下，甲甜品的每份利润应定为8元．23.(12分)如图（1），在等边△ABC中，点D,E分别在边AB,AC上，AD=AE，连结BE,CD，点M,N,P分别是BE,CD,BC的中点，连结DE,PM,PN,MN.（1）观察猜想图（1）中△PMN是________（填特殊三角形的名称）．（2）探究证明如图（2），△ADE绕点A按逆时针方向旋转，则△PMN的形状是否发生改变？并就图（2）说明理由．（3）拓展延伸若△ADE绕点A在平面内自由旋转，AD=1,AB=3,请直接写出△PMN的周长的最大值．【答案】（1）等边三角形解：（2）△𝑥𝑥𝑥的形状不发生改变，仍为等边三角形．理由如下：连结𝑥𝑥，𝑥𝑥．由旋转可得∠𝑥𝑥𝑥=∠𝑥𝑥𝑥，∵△𝑥𝑥𝑥是等边三角形，∴𝑥𝑥=𝑥𝑥，∠𝑥𝑥𝑥=∠𝑥𝑥𝑥=60，又∵𝑥𝑥=𝑥𝑥，∴△𝑥𝑥𝑥≅△𝑥𝑥𝑥，∴𝑥𝑥=𝑥𝑥，∠𝑥𝑥𝑥=∠𝑥𝑥𝑥．∵𝑥是𝑥𝑥的中点，𝑥是𝑥𝑥的中点，∴𝑥𝑥是△𝑥𝑥𝑥的中位线，∴𝑥𝑥=12𝑥𝑥，且𝑥𝑥//𝑥𝑥．同理可证𝑥𝑥=12𝑥𝑥且𝑥𝑥//𝑥𝑥，∴𝑥𝑥=𝑥𝑥，∠𝑥𝑥𝑥=∠𝑥𝑥𝑥，∠𝑥𝑥𝑥=∠𝑥𝑥𝑥，∴∠𝑥𝑥𝑥+∠𝑥𝑥𝑥=∠𝑥𝑥𝑥+∠𝑥𝑥𝑥=(∠𝑥𝑥𝑥+∠𝑥𝑥𝑥)+(∠𝑥𝑥𝑥−∠𝑥𝑥𝑥)=∠𝑥𝑥𝑥+∠𝑥𝑥𝑥=120，∴∠𝑥𝑥𝑥=60，∴△𝑥𝑥𝑥是等边三角形．（3）△𝑥𝑥𝑥的周长的最大值为6．解法提示：易证在△𝑥𝑥𝑥的旋转的过程中，△𝑥𝑥𝑥恒为等边三角形．如图，当点𝑥，𝑥，𝑥在同一线上，且点𝑥在𝑥𝑥上时，△𝑥𝑥𝑥的周长最大，易知此时点𝑥，𝑥，𝑥在同一直线上．∵点𝑥，𝑥分布为𝑥𝑥，𝑥𝑥的中点，∴𝑥𝑥=12𝑥𝑥=12(