2020届高考数学总复习 第十二章 选修四 12-2 参数方程课时作业 文（含解析）新人教A版

12-2参数方程课时作业A组——基础对点练1．(2019·芜湖质检)在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为x＝3＋12t，y＝32t(t为参数)．以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C的极坐标方程为ρ＝23sinθ.(1)写出⊙C的直角坐标方程．(2)P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求P的直角坐标．【解析】(1)由ρ＝23sinθ，得ρ2＝23ρsinθ，所以x2＋y2＝23y，所以⊙C的直角坐标方程为x2＋(y－3)2＝3.(2)设P3＋12t，32t，又C(0，3)，则|PC|＝3＋12t2＋32t－32＝t2＋12，故当t＝0时，|PC|取得最小值，此时，点P的直角坐标为(3，0)．2．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为x＝1＋12t，y＝32t(t为参数)，椭圆C的参数方程为x＝cosθ，y＝2sinθ(θ为参数)．设直线l与椭圆C相交于A，B两点，求线段AB的长．【解析】直线l的参数方程化为普通方程为3x－y－3＝0，椭圆C的参数方程化为普通方程为x2＋y24＝1，联立方程组3x－y－3＝0，x2＋y24＝1，解得x1＝1，y1＝0或x2＝－17，y2＝－837，不妨取A(1，0)，B－17，－837，则|AB|＝1＋172＋0＋8372＝167.3．已知曲线C1：x＝－4＋cost，y＝3＋sint(t为参数)，C2：x＝8cosθ，y＝3sinθ(θ为参数)．(1)化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线．(2)若C1上的点P对应的参数为t＝π2，Q为C2上的动点，求PQ的中点M到直线C3：x＝3＋2t，y＝－2＋t(t为参数)距离的最小值．【解析】(1)C1：(x＋4)2＋(y－3)2＝1，C2：x264＋y29＝1，C1表示圆心是(－4，3)，半径是1的圆，C2表示中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．(2)当t＝π2时，P(－4，4)，又Q(8cosθ，3sinθ)，故M－2＋4cosθ，2＋32sinθ，又C3的普通方程为x－2y－7＝0，则M到C3的距离d＝55|4cosθ－3sinθ－13|＝55·|3sinθ－4cosθ＋13|＝55|5sin(θ－φ)＋13|其中φ满足tanφ＝43，所以d的最小值为855.4．已知椭圆C：x24＋y23＝1，直线l：x＝－3＋3t，y＝23＋t(t为参数)．(1)写出椭圆C的参数方程及直线l的普通方程．(2)设A(1，0)，若椭圆C上的点P满足到点A的距离与到直线l的距离相等，求点P的坐标．【解析】(1)椭圆C的参数方程为x＝2cosθ，y＝3sinθ(θ为参数)，直线l的普通方程为x－3y＋9＝0.(2)设P(2cosθ，3sinθ)，则|AP|＝（2cosθ－1）2＋（3sinθ）2＝2－cosθ，P到直线l的距离d＝|2cosθ－3sinθ＋9|2＝2cosθ－3sinθ＋92.由|AP|＝d，得3sinθ－4cosθ＝5，又sin2θ＋cos2θ＝1，得sinθ＝35，cosθ＝－45.故P－85，335.B组——能力提升练1．(2018·全国Ⅲ卷)在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为x＝cosθy＝sinθ(θ为参数)，过点(0，－2)且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点．(1)求α的取值范围．(2)求AB中点P的轨迹的参数方程．【解析】(1)⊙O的直角坐标方程为x2＋y2＝1.当α＝π2时，l与⊙O交于两点．当α≠π2时，记tanα＝k，则l的方程为y＝kx－2.l与⊙O交于两点当且仅当21＋k2＜1，解得k＜－1或k＞1，即α∈π4，π2或α∈π2，3π4.综上，α的取值范围是π4，3π4.(2)l的参数方程为x＝tcosα，y＝－2＋tsinαt为参数，π4＜α＜3π4.设A，B，P对应的参数分别为tA，tB，tP，则tP＝tA＋tB2，且tA，tB满足t2－22tsinα＋1＝0.于是tA＋tB＝22sinα，tP＝2sinα.又点P的坐标(x，y)满足x＝tPcosα，y＝－2＋tPsinα，所以点P的轨迹的参数方程是x＝22sin2α，y＝－22－22cos2αα为参数，π4＜α＜3π4.2．在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为x＝2＋t，y＝kt(t为参数)，直线l2的参数方程为x＝－2＋m，y＝mk(m为参数)．设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C.(1)写出C的普通方程．(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ(cosθ＋sinθ)－2＝0，M为l3与C的交点，求M的极径．【解析】(1)消去参数t，得l1的普通方程l1：y＝k(x－2)；消去参数m，得l2的普通方程l2：y＝1k(x＋2)．设P(x，y)，由题设得y＝k（x－2），y＝1k（x＋2）.消去k得x2－y2＝4(y≠0)．所以C的普通方程为x2－y2＝4(y≠0)．(2)C的极坐标方程为ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4(0＜θ＜2π，θ≠π)．联立ρ2（cos2θ－sin2θ）＝4，ρ（cosθ＋sinθ）－2＝0，得cosθ－sinθ＝2(cosθ＋sinθ)．故tanθ＝－13，从而cos2θ＝910，sin2θ＝110.代入ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4，得ρ2＝5，所以交点M的极径为5.3．已知直线l的参数方程为x＝－1－32t，y＝3＋12t(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝4sinθ－π6.(1)求圆C的直角坐标方程．(2)点P(x，y)是直线l与圆面ρ≤4sinθ－π6的公共点，求3x＋y的取值范围．【解析】(1)因为圆C的极坐标方程为ρ＝4sinθ－π6，所以ρ2＝4ρsinθ－π6＝4ρ32sinθ－12cosθ.又ρ2＝x2＋y2，x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，所以x2＋y2＝23y－2x，所以圆C的直角坐标方程为x2＋y2＋2x－23y＝0.(2)设z＝3x＋y，由圆C的直角坐标方程为x2＋y2＋2x－23y＝0，得(x＋1)2＋(y－3)2＝4，所以圆C的圆心是(－1，3)，半径是2.将x＝－1－32t，y＝3＋12t代入到z＝3x＋y，得z＝－t.又直线l过C(－1，3)，圆C的半径是2，所以－2≤t≤2，所以－2≤－t≤2，即3x＋y的取值范围是[－2，2]．4．已知曲线C1的参数方程是x＝2cosθ，y＝2＋2sinθ(θ为参数)，以直角坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ＝－4cosθ.(1)求曲线C1与C2的交点的极坐标．(2)A，B两点分别在曲线C1与C2上，当|AB|最大时，求△OAB的面积(O为坐标原点)．【解析】(1)由x＝2cosθ，y＝2＋2sinθ，得x＝2cosθ，y－2＝2sinθ，两式平方相加，得x2＋(y－2)2＝4，即x2＋y2－4y＝0.①由ρ＝－4cosθ，得ρ2＝－4ρcosθ，即x2＋y2＝－4x.②①－②得x＋y＝0，代入①得交点为(0，0)，(－2，2)．其极坐标为(0，0)，22，3π4.(2)如图．由平面几何知识可知，A，C1，C2，B依次排列且共线时|AB|最大，此时|AB|＝22＋4，点O到AB的距离为2.所以△OAB的面积为S＝12×(22＋4)×2＝2＋22.